(Отрицание делает противоположным смысл предложения.)
5.24. Операция проявляется в переменной; она показывает, как из одной формы предложения можно получить другую.
Она дает выражение различию форм.
И общим между основаниями и результатом операции как раз и являются сами основания.
5.241. Операция характеризует не форму, а только различие форм.
5.242. Та же самая операция, которая выводит "q" из "p", выводит из "q" из "p" и так далее. Это может быть выражено только тем, что "р", "q", "r" и т. д. Являются переменными, которые дают общее выражение определенным формальным отношениям.
5.25. Наличие операции не характеризует смысла предложения.
Операция ведь ничего не утверждает, утверждает только ее результат, а это зависит от оснований операции.
(Операцию и функцию не следует путать друг с другом.)
5.251. Функция не может быть своим собственным аргументом, а результат операции может быть ее собственным основанием.
5.252. Только так возможен переход от члена к члену в формальном ряду (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда). (Рассел и Уайтхед не признавали возможности этого перехода, но всегда его употребляли.)
5.2521. Повторное применение операции к своему собственному результату я называю ее последовательным применением ("0' 0' 0', а") есть результат трехразового последовательного применения "0' " к "а").
В подобном же смысле я говорю о последовательном применении многих операций к определенному количеству предложений.
5.2522. Общий член формального ряда а, О', а, О' О' а… я пишу поэтому так: "[а, x, О', х]". Это выражение в скобках есть переменная. Первый член выражения в скобках есть начало формального ряда, второй – форма произвольного члена х ряда и третий – форма того члена ряда, который непосредственно следует за х.
5.2523. Понятие последовательного применения операции эквивалентно понятию "и так далее".
5.253. Одна операция может аннулировать результат другой. Операции могут друг друга аннулировать.
5.254. Операция может исчезать (например, отрицание в "~ ~ p". ~ ~ р=р).
5.3. Все предложения представляют результат операций – истинности с элементарными предложениями.
Операция истинности есть способ возникновения функции истинности из элементарных предложений.
5.31. Схемы № 4.31 имеют значение также тогда, когда "р", "q", "r" и т. д. не являются элементарными предложениями.
И легко увидеть, что пропозициональный знак в № 4.42 выражает одну функцию истинности элементарных предложений, даже если "р" и "q" являются функциями истинности элементарных предложений.
5.32. Все функции истинности являются результатами последовательного применения конечного количества операций истинности к элементарным предложениям.
5.4. Здесь становится ясным, что нет "логических объектов", "логических констант" (в смысле Фреге и Рассела).
5.41. Ибо все те результаты операций истинности над функциями истинности, которые являются одной и той же функцией истинности элементарных предложений, тождественны.
5.42. Очевидно, что V, É и т. д. не являются отношениями в смысле правого и левого.
Возможность перекрестного определения логических "первичных знаков" Фреге и Рассела уже показывает, что они не являются "первичными знаками" и не обозначают никаких отношений.
И очевидно, что "É", которое мы определяем через "~" и "V" тождественно тому, посредством чего мы определяем "\/" с помощью "~", и что это "V" тождественно с первым, и так далее.
5.43. Заранее, однако, довольно трудно поверить в то, что из факта р должно следовать бесконечно много других фактов, а именно ~ ~ р, ~ ~ ~ ~р и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное количество предложений логики (математики) следует из полдюжины "исходных предложений".
Но все предложения логики говорят одно и то же. А именно ничего.
5.44. Функции истинности не являются материальными функциями.
Если можно, например, получить утверждение через двойное отрицание, то содержится ли тогда отрицание в каком‑либо смысле – в утверждении?
Отрицает ли "~~р" ~р или оно утверждает р? Или то и другое?
Предложение "~ р" не трактует отрицание как объект; возможность отрицания, пожалуй, предрешается уже в утверждении.
И если бы существовал объект, называемый "~", то "~~р" должно было бы говорить нечто другое, чем "р".
Так как одно предложение говорило бы о ~, другое – нет.
5.441. Это исчезновение мнимых логических констант выступает и в том случае, если "~($ х). ~fx" говорит то же самое, что и "(х). fx, или если "~($ х). ~fxх = a" говорит то же самое, что и "fа".
5.442. Если нам дано предложение, то вместе с ним уже даны результаты всех операций истинности, основанием которых оно является.
5.45. Если есть логические первичные знаки, то правильная логика должна уяснить их место по отношению друг к другу и оправдать их существование. Конструкция логики из ее первичных знаков должна стать ясной.
5.451. Если логика имеет исходные понятия, то они должны быть независимыми друг от друга. Если введено исходное понятие, то оно должно быть введено во всех связях, в которых оно вообще имеет место. Следовательно, нельзя вводить понятие сначала для одной связи, а потом для другой. Например: если введено отрицание, то мы должны его понимать в предложениях формы "~ p" так же, как в предложениях вида – ~ p V q)", "($ х). ~fx " и других. Мы не можем вводить его сначала для одного класса случаев, потом для другого, потому что тогда оставалось бы сомнительным, является ли его значение в обоих случаях одинаковым, и не было бы основания для употребления в обоих случаях одного и того же способа символизации.
(Короче, для введения первичных знаков имеет значение mutatis mutandis, то же самое, что Фреге в работе "Основные законы арифметики" говорил относительно введения знаков через определения.)
5.452. Введение нового знака в символизм логики должно быть всегда чревато последствиями. Ни один новый знак не должен вводиться в логике – так сказать, с совершенно невинной миной – в скобках или в сноске.
(Так, в "Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда встречаются словесные определения и исходные предложения. Почему здесь внезапно появляются слова? Это нуждается в оправдании. Но оправдания нет и не может быть, так как этот процесс фактически не дозволен.)
Но если введение нового знака является необходимо доказанным в каком‑либо месте, то должны тотчас же спросить: где должен этот знак постоянно применяться? Отныне его место в логике должно быть выяснено.
5.453. Все числа в логике должны допускать оправдание.
Или – скорее – должно выявиться, что в логике нет никаких чисел.
Нет никаких привилегированных чисел.
5.454. В логике нет соседства, нельзя дать никакой классификации.
В логике не может быть более общего и более особенного.
5.4541. Решения логических проблем должны быть простыми, так как они устанавливают стандарт простоты.
Люди всегда догадывались, что должна быть дана область вопросов, ответы на которые априори симметричны и объединяются в законченные регулярные структуры.
5.46. Если логические знаки вводятся правильно, то тем самым вводится смысл всех их комбинаций, следовательно, не только "pVq", но также и "~(pV~q)" и т. д. Тем самым вводится результат всех возможных комбинаций скобок. И благодари этому становится ясным, что собственно общими первичными знаками являются не "p\/q", ($ х) f(x)" и т. д., а самая общая форма их комбинаций.
5.461. Большое значение имеет тот кажущийся неважным факт, что логические псевдоотношения, как V и É, нуждаются в скобках, в отличие от действительных отношений.
Употребление, скобок при этих псевдопервичных знаках уже указывает на то, что они не являются в действительности первичными знаками. Все‑таки, по‑видимому, никто не верит, что скобки имеют самостоятельное значение.
5.4611. Логические знаки операций являются пунктуациями.
5.47. Ясно, что все то, что может быть сказано заранее о форме всех предложений вообще, может быть сказано за один раз.
Ведь все логические операции уже содержатся в элементарном предложении. Потому что "о" говорит то же самое, что и "($ х)fх. х. == а".
Где есть композиция, там есть аргумент и функция, а где есть они, там есть уже все логические константы.
Можно было бы сказать: одна логическая константа есть то, что все предложения, по своей природе, имеют общим друг с другом.
Но это есть общая форма предложения.
5.471. Общая форма предложения есть сущность предложения.
5.4711. Дать сущность предложения значит дать сущность всех описаний, следовательно, дать сущность мира.
5.472. Описание самой общей формы предложения есть описание одного и единственного общего первичного знака в логике.
5.473. Логика должна сама о себе заботиться. Возможный знак тоже должен быть способен обозначать.
Все то, что в логике возможно, является также дозволенным. ("Сократ тождествен" ничего не означает потому, что нет свойства, называемого "тождественный". Предложение бессмысленно потому, что мы не дали некоторого произвольного определения, а не потому, что символ сам по себе не дозволен.)
В некотором смысле мы не можем делать ошибок в логике.
5.4731. Самоочевидность, о которой так много говорил Рассел, в логике может стать лишней только благодаря тому, что язык сам предотвращает каждую логическую ошибку. Априорность логики заключается в том, что нельзя нелогически мыслить.
5.4732. Мы не можем дать знаку неправильный смысл.
5.47321. "Бритва" Оккама не является, конечно, произвольным правилом или правилом, оправданным своим практическим успехом: она просто говорит, что не необходимый элемент символики ничего не значит.
Знаки, служащие для одной цели, логически эквивалентны; знаки, не служащие ни для какой цели, логически незначимы.
5.4733. Фреге говорит: каждое законно образованное предложение должно иметь некоторый смысл; и я говорю: каждое возможное предложение образовано законно, и если оно не имеет смысла, то это может быть только потому, что мы не дали некоторым его составным частям никакого значения…
5.474. Количество необходимых основных операций зависит только от нашего способа записи.
5.475. Это только вопрос построения системы знаков с определенным числом измерений‑с определенной математической множественностью.
5.476. Ясно, что здесь речь идет не о количестве исходных понятий, которые должны обозначаться, но только о выражении правила.
5.501. Выражение в скобках, члены которого являются предложениями, я обозначаю – если последовательность членов в скобках безразлична – знакам вида "x". "X" есть переменная, значения которой являются членами выражения, заключенного в скобки; и черточка над переменной означает, что она заменяет все свои значения в скобках.
(Если, например, "x" имеет три значения: Р, W, R, то, следовательно, (x) = (Р, W, R)
Значения переменных устанавливаются. Установление есть описание предложений, заменяемых переменной. Как происходит описание членов выражения, заключенного в скобки, не существенно.
Мы можем различать три вида описаний:
I. Прямое перечисление. В этом случае мы можем просто вместо переменной поставить ее постоянное значение.
II. Указание функции fx, значения которой для всех значений х являются описываемыми предложениями.
III. Указание формального закона, по которому образованы эти предложения. В этом случае члены выражения, заключенного в скобки, суть все члены формального ряда.
5.502. Я, следовательно, пишу вместо " (‑ – И) (x…)", N(x)".
N(x) есть отрицание всех значений пропозициональной переменной.
5.503. Так как, очевидно, легко выразить, как посредством этой операции могут образовываться предложения и как посредством ее они не должны образовываться, то поэтому данное обстоятельство также должно допускать точное выражение.
5.51. Если x имеет только одно значение, то N(x) = ~ р (не р), и если имеет два значения, то N(x) = ~ p. ~ q (ни р, ни q).
5.511. Как может всеобъемлющая, отражающая мир логика употреблять такие специальные трюки и манипуляции? Только связывая все это в бесконечно тонкую сеть, в огромное зеркало.
5.512. "~ р" истинно, если "p" ложно. Следовательно, в истинном предложении "~ р" "р" есть ложное предложение. Как может теперь штрих "~" привести его в соответствие с действительностью?
Но то, что отрицает в "~ р", есть, однако, не "~", но то, что является общим для всех знаков этого способа записи, отрицающих р.
Отсюда общее правило, по которому образуются "~ р", "~ ~ ~ р", "~ р V ~ p", "~ p ~ p" и т. д. (до бесконечности). И это общее вновь отражает отрицание.
5.513. Можно было бы сказать: общее всех символов, которые утверждают как р, так и q, есть предложение "pVq". Общее всех символов, которые утверждают или р, или q, есть предложение "рVq".
Итак, можно сказать: два предложения друг другу противоречат, когда они не имеют ничего общего друг с другом; и каждое предложение имеет только одно отрицание, так как имеется только одно предложение, которое полностью лежит вне его.
Таким же образом в расселовском способе записи обнаруживается, что "q: pV~ p" говорит то же самое, что и "q"; что "р V ~ p" ничего не говорит.
5.514. Если установлен способ записи, то в нем имеется правило, по которому образуются все предложения, отрицающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р или q, и т. д.
Эти правила эквивалентны символам, и в них снова отражается их смысл.
5.515. Следует показать в наших символах, что то, что связывается посредством "V", "." и т. д., должно быть предложениями.
Именно это имеет место, так как символы "р" и "q" ведь сами предполагают "V", "~" и т. д. Если знак "р" в "pVq" не замещает комплексного знака, то он сам по себе не может иметь смысла, но тогда знаки "рVр", "р. р" и т. д., имеющие тот же смысл, что и "р", также не имеют смысла. Но если "рVр" не имеет смысла, то "рVq" также не может иметь смысла.
5.5151. Должен ли знак отрицательного предложения образовываться с помощью знака положительного? Почему нельзя выразить отрицательное предложение посредством отрицательного факта? (Например, если "а" не стоит в определенном отношении к "b", то это можно было выразить тем, что aRb не имеет места.)
Но ведь здесь отрицательное предложение также косвенно образовано через положительное.
Положительное предложение предполагает существование отрицательного предложения и наоборот.
5.52. Если значения S являются всеми значениями функции fx для всех значений х, то N(x) = ~($x). fx
5.521. Я отделяю понятие "все" от функции истинности.
Фреге и Рассел вводили общность в связи с логическим произведением или логической суммой. Так было труднее понять предложения "($x). fх" и "(x)fx", в которых скрыты обе эти идеи.
5.522. Своеобразие "символики общности", во‑первых, в том, что она ссылается на логический первообраз, и, во‑вторых, что она подчеркивает константы.
5.523. Символ общности выступает как аргумент.
5.524. Если даны объекты, то тем самым уже даны все объекты.
Если даны элементарные предложения, то тем самым также даны все элементарные предложения.
5.525. Неправильно передавать предложение "($x). fх" словами "fx возможно", как это делает Рассел.
Несомненность, возможность или невозможность положения вещей выражаются не предложением, но тем, что выражение есть тавтология, осмысленное предложение или противоречие.
Тот прецедент, на который постоянно могли бы ссылаться, должен наличествовать уже в самом символе.
5.526. Можно полностью описать мир при помощи вполне обобщенных предложений, т. е. не согласовывая заранее какое‑либо имя с определенным объектом.
Чтобы затем перейти к обычному способу выражения, нужно просто к выражению "имеется один и только один х, который…" прибавлять: "и этот х есть а".
5.5261. Вполне обобщенное предложение является составным, как и любое другое предложение. (Это проявляется в том, что мы в "($х, Ф). Фх" должны упоминать "Ф" и "x" раздельно. Оба независимо стоят в отношениях обозначения к миру, как и в необобщенном предложении.)
Охарактеризуем составной символ: он имеет нечто общее с другими символами.
5.5262. Ведь истинность или ложность каждого предложения меняет нечто в общей структуре мира. И пространство, которое оставляется его структуре совокупностью элементарных предложений, есть как раз то, которое ограничивается вполне общими предложениями.
(Если истинно какое‑либо элементарное предложение, то тем самым во всяком случае истинно еще одно элементарное предложение.)
5.53. Тождество объектов я выражаю тождеством знаков, а не с помощью знака тождества. Различие объектов – различием знаков.
5.5301. Очевидно, что тождество не есть отношение между объектами. Это становится совершенно ясным, если, например, рассмотреть предложение: "(х): fx. É.х = а". Это предложение говорит просто то, что только а удовлетворяет функцию f, а не то, что только такие вещи удовлетворяют функцию f, которые имеют определенное отношение к а.
Можно, конечно, теперь сказать, что как раз только а имеет это отношение к а, но, чтобы выразить это, мы нуждаемся в самом знаке тождества.
5.5302. Расселовское определение "==" не годится, так как согласно ему нельзя сказать, что два объекта имеют общими все свойства. (Даже если это предложение никогда не верно, оно все же имеет смысл.)
5.5303. Между прочим: сказать о двух предметах, что они тождественны, бессмысленно, а сказать об одном предмете, что он тождествен самому себе, значит ничего не сказать.
5.531. Следовательно, я не пишу "f(a, b). a == b", но "f(а, а)" (или "f(b, b)"). И не "f(а, b). ~ а == b", но "f(а, b)".
5.532. И аналогично: не "($х, y). f (х, у). х == y", но ($х). f(x, x)"; и не "($х, у). f(x. y).~ х = у", но "($х, y). f (х, у)".
(Следовательно, вместо расселовского "($х, y). f (х, у)": "($х, y). f (х, у)". V "($х). f (х, x)".)
5.5321. Вместо "(х): fх х == а" мы, следовательно, пишем, например, "($х). f (х, у)".: ~($х, y). fх fу".
А предложение "только один х удовлетворяет f ()" гласит: " ($х). fx: ~ ($х, y). fx. fy".
5.533. Следовательно, знак тождества не является существенной составной частью логической символики
5.534. И теперь Мы видим, что псевдопредложения, как "а==а", "а= Ь. Ь = с. É а ==с", " ($). х == х", "($х). х == о" и т. д., в правильной логической символике даже не могут быть написаны.
5.535. Тем самым исчезают и все проблемы, связанные с подобными псевдопредложениями.
Здесь уже решаются все проблемы, связанные с расселовской "аксиомой бесконечности".
То, что должна высказать аксиома бесконечности, могло бы выразиться в языке тем, что имеется бесконечно много имен с различным значением.
5.5351. Существуют определенные случаи, когда возникает искушение употребить выражение вида "а =а" или "рÉр" и тому подобные. Это происходит именно тогда, когда хотят говорить о прообразе: предложение, вещь и т. д. Так, Рассел передал в "Принципах математики" ("Principles of Mathematics") бессмыслицу "р есть предложение" в символах посредством "рÉр" и принял ее как гипотезу для определенных предложений, чтобы показать, что места их аргументов могут быть заняты только предложениями.
(Ставить гипотезу рÉр перед предложением, чтобы его аргументам обеспечить правильную форму, уже потому бессмысленно, что эта гипотеза для не‑предложения как аргумента является не ложной, "о бессмысленной, и потому, что само предложение с аргументами неправильного вида является бессмысленным и, следовательно, предохраняет себя от неправильных аргументов столь же хорошо или столь же плохо, как и бессмысленная гипотеза, предназначенная для этой цели.)
5.5352. Также хотели выражать "предметов не существует" через "~ ($х, y). х=х". Но даже если это было бы предложением, разве оно не было бы истинным, даже если бы действительно "предметы существовали", но при этом не были бы тождественны самим себе?
5.54. В общей пропозициональной форме предложение входит в предложение только как основание операций истинности.
5.541. На первый взгляд, кажется, будто предложение может также входить в другое и другим способом.
В особенности в определенных формах предложений психологии, как "А думает, что р имеет место" или "А мыслит р".
Здесь на первый взгляд кажется, что предложение р как будто стоит к объекту А в каком‑то отношении.
(Так понимались эти предложения и в современной теории познания (Рассел, Мур и т. д.).)
5.542. Но ясно, что "Доверит, что р", "А мыслит р", "А говорит р" являются предложениями формы: "р говорит р"; и здесь мы имеем не координацию факта и объекта, а координацию фактов посредством координации их объектов.
5.5421. Это также показывает, что душа‑субъект и т. д., ‑ как она понимается в современной поверхностной психологии, есть небылица.
Составная душа больше не была бы собственно душой.
5.5422. Правильное объяснение формы предложения "А судит о р" должно показать, что невозможно судить о бессмыслице (расселовская теория этому условию не удовлетворяет).
5.5423. Воспринимать комплекс, значит воспринимать, что его составные части относятся друг к другу так‑то и так‑то.
Этим, возможно, объясняется и то, что фигуру можно видеть как куб двояким образом; возможно, этим объясняются и все подобные явления. Ибо мы действительно видим два различных факта.
(Если я смотрю сначала на углы "а" и только мельком на "b", то "a" кажется спереди, а "b" – сзади, и наоборот.)
5.55. Мы теперь априори должны ответить на вопрос о всех возможных формах элементарных предложений.
Элементарное предложение состоит из имен. Но так как мы не можем указать количество имен с различными значениями, то мы не можем также указать состав элементарного предложения.
5.551. Нашим основным принципом является то, что каждый вопрос, который вообще может решаться логикой, должен быть решен ею тотчас же.
(И если мы оказываемся в такой ситуации, что должны решать подобную проблему с помощью созерцания мира, то это показывает, что наш путь ложен в своей основе.)
5.552. "Опыт", в котором мы нуждаемся для понимания логики, заключается не в том, что нечто обстоит так‑то и так‑то, но в том, что нечто есть, но это как раз не опыт.
Логика есть до всякого опыта – что нечто есть так.
Она есть до Как, но не до Что.
5.5521. И если бы это было не так, то как могли бы мы применять – логику? Можно было бы сказать: если бы была" логика, даже если не было бы мира, как тогда могла бы быть логика, поскольку есть мир?
5.553. Рассел говорил, что имеются простые отношения между различными количествами предметов (индивидов). Но между какими количествами? И как должно это решаться? Опытом?
(Нет привилегированных чисел.)
5.554. Перечисление любых особых форм было бы совершенно искусственным.
5.5541. Должна априори иметься возможность устанавливать, могу ли я, например, попасть в такую ситуацию, чтобы я должен был обозначить знаком 27 местное отношение.
5.5542. Но можно ли вообще так спрашивать? Можем ли мы установить знаковую форму, не зная, может ли ей нечто соответствовать?
Имеет ли смысл вопрос: что должно быть, чтобы что‑то другое могло иметь место?
5.555. Ясно, что мы имеем понятие элементарного предложения, помимо его особых логических форм.
Но где можно строить символы согласно системе, там логически важна эта система, а не отдельные символы.
И как было бы возможно, чтобы я в логике имел дело с формами, которые я могу изобрести? Но я должен иметь дело с тем, что дает мне возможность изобретать их.
5.556. Не может быть иерархии форм элементарных предложений. Мы можем предвидеть только то, что мы сами конструируем.
5.5561. Эмпирическая реальность ограничена совокупностью всех объектов. Граница снова появляется в совокупности всех элементарных предложений. Иерархии независимы от действительности и должны быть независимы от нее.
5.5562. Если мы знаем по чисто логическим основаниям, что должны быть элементарные предложения, то это должен знать каждый, кто понимает предложения в их неанализированной форме.
5.5563. Все предложения нашего разговорного языка являются фактически, так как они есть, логически полностью упорядоченными. Всякое простейшее, которое мы должны здесь дать, не является подобием истины, но есть сама полная истина.
(Наши проблемы не абстрактные, а, пожалуй, самые конкретные из всех.)
5.557. Применение логики решает, какие элементарные предложения имеются.
Логика не может заранее предвидеть того, что заключено в ее применении.
Ясно: логика не должна противоречить своему применению.
Но логика должна соприкасаться со своим применением.
Следовательно, логика и ее применение не должны перекрещиваться друг с другом.
5.5571. Если я не могу априори дать элементарных предложений, то желание их дать должно вести к явной бессмыслице.
5.6. Границы моего языка означают границы моего мира.
5.61. Логика наполняет мир; границы мира являются также ее границами.
Поэтому мы не можем говорить в логике: это и это существует в мире, а то – нет.
Ибо это, по‑видимому, предполагало бы, что мы исключаем определенные возможности, а этого не может быть, так как для этого логика должна была бы выйти за границы мира: чтобы она могла рассматривать эти границы также с другой стороны.
То, чего мы не можем мыслить, того мы мыслить не можем; мы, следовательно, не можем и сказать того, чего мы не можем мыслить.
5.62. Это замечание дает нам ключ к решению вопроса о том, а какой мере солипсизм является истиной.
То, что в действительности подразумевает солипсизм, вполне правильно, только это не может быть сказано, а лишь показывает себя.
Тот факт, что мир есть мой мир, проявляется в том, что границы языка (единственного языка, который понимаю я) означают границы моего мира.
5.621. Мир – и жизнь едины.
5.63. Я есть мой мир (микрокосм).
5.631. Мыслящего, представляющего субъекта нет. Если я пишу книгу "Мир, как я его нахожу", в ней должно быть также сообщено о моем теле и сказано, какие члены подчиняются моей воле и какие – нет и т. д. Это есть, собственно, метод изоляции субъекта, или скорее, показа, что в некотором важном смысле субъекта нет, т. е. о нем одном не может идти речь в этой книге.
5.632. Субъект не принадлежит миру, но он есть граница мира.
5.633. Где в мире можно заметить метафизический субъект?
Вы говорите, что здесь дело обстоит точно так же, как с глазом и полем зрения. Но в действительности вы сами не видите глаза.
И не из чего в поле зрения нельзя заключить, что оно видится глазом.
5.6331. Ибо поле зрения не имеет такой формы.
5.634. Это связано с тем, что ни одна часть нашего опыта не является также априорной.
Все, что мы видим, может быть также другим.
Все, что мы можем вообще описать, может также быть другим.
Нет никакого априорного порядка вещей.
5.64. Здесь видно, что строго проведенный солипсизм совпадает с чистым реализмом. Я солипсизма сокращается до непротяженной точки, и остается соотнесенная с ним реальность.
5.641. Следовательно, действительно имеется смысл, в котором в философии можно не психологически говорить о Я.
Я выступает в философии благодаря тому, что "мир есть мой мир".
Философское Я есть не человек, человеческое тело и человеческая душа, о которой говорится в психологии, но метафизический субъект, граница – а не часть мира.
6. Общая форма функции истинности есть: [p, x, N(x)].
Это есть общая форма предложения.
6.001. Это означает только, что каждое предложение есть результат последовательного применения операций N'(x) к элементарным предложениям.
6.002. Если дана общая форма того, как построено предложение, то тем самым дана общая форма того, как можно посредством операции из одного предложения создать другое.
6.01. Следовательно, общая форма операции. W'(h) есть: [x, N(x), h] (=[h, x, N(x)]).
Это есть самая общая форма перехода от одного предложения к другому.
6.02. И таким образом мы приходим к числам: я определяю x=W0x Def и W'Wv'x=Wv+1'xDef.
Следовательно, согласно этим символическим правилам, мы ряд x, W' x, W'W'x…. напишем так: W°x, W0+1x….
Следовательно, вместо
"[x, x, W'x]"
я пишу
"[W0'x, Wv'x, Wv+1'x]"
и определяю
0+1=1Def
0+1+1=2Def
0+1+1+1=3Def и так далее.
6.021. Число есть показатель операции.
6.022. Понятие числа есть не что иное, как общее всех чисел, общая форма числа.
Понятие числа есть переменное число.
А понятие равенства чисел есть общая форма всех особых числовых равенств.
6.03. Общая форма целого числа есть:
"[0, x, x+1]".
6.031. Теория классов в математике совершенно излишня.
Это связано с тем, что общность, употребляемая в математике, – не случайная общность.
6.1. Предложения логики суть тавтологии.
6.11. Предложения логики, следовательно, ничего не говорят. (Они являются аналитическими предложениями.)
6.111. Теории, в которых предложение логики может казаться содержательным, всегда ложны. Можно, например, верить, что слова "истинно" и "ложно" обозначают два свойства среди других свойств, и тогда казалось бы удивительным фактом то, что всякое предложение обладает одним из этих свойств. Это кажется теперь далеко не самоочевидным, столь же мало самоочевидным, как, например, предложение "все розы или желтые, или красные", даже если оно истинно. Да, каждое такое предложение в таком случае получает полностью характер естественнонаучного предложения, а это есть верный признак того, что оно было ложно понято.
6.112. Правильное объяснение логических предложений должно ставить их в исключительное положение среди всех предложений.
6.113. Специфическим признаком логических предложений является то, что их истинность узнается из символа самого по себе, и этот факт заключает в себе всю философию логики. И одной из важнейших фактов является также то, что истинность или ложность нелогических предложений не может быть познана из одних этих предложений.
6.12. Тот факт, что предложения логики‑тавтологии, показывает формальные – логические – свойства языка, мира.
То, что их составные части, будучи так связаны, дают тавтологию, характеризует логику их составных частей.
Чтобы предложения, соединенные определенным образом, дали тавтологию, они должны иметь определенные свойства структуры. То, что, будучи так связаны, они дают тавтологию, показывает, следовательно, что они обладают этими свойствами структуры.
6.1201. То, что, например, предложения "р" и "~р" в связи ~ (р* ~р)" дают тавтологию, показывает, что они противоречат друг другу. То, что предложения "р É р", "р" и "q", связанные друг с другом в форме "(рÉq)*(р): É: (q)", дают тавтологию, показывает, что q следует из р и pÉ q. To, что "(x) fx: É: fа" есть тавтология, показывает, что fa следует из (х) * fx, и т. д.
6.1202. Ясно, что для этой же цели можно было бы применять вместо тавтологии противоречия.
6.1203. Для того чтобы опознать тавтологию как таковую, можно пользоваться в тех случаях, когда в тавтологию не входит знак общности, следующим наглядным методом: я пишу вместо "p", "q", "r" и т. д. "ИрЛ". "ИqЛ", "ИrЛ" и т. д. Комбинации истинности я выражаю скобками, а координацию истинности или ложности всего предложения с комбинациями истинности аргументов истинности – линиями следующим образом:
Этот знак изображал бы, например, предложение pÉq. Теперь я хочу исследовать на основании этого, является ли, например, предложение ~ (р * ~р) (закон противоречия) тавтологией. Форма "~x" в нашем способе записи напишется: И – "ИxЛ" – Л.
Форма "~xh" напишется так.
Поэтому предложение ~ (р.~q) гласит следующее.
Если мы поставим здесь вместо "q" – "р" и исследуем сочетание самых крайних И и Л с самыми внутренними, то получится, что истинность всего предложения согласовывается со всеми комбинациями истинности его аргументов, а его ложность не согласовывается ни с одной комбинацией истинности.
6.121. Предложения логики демонстрируют логические свойства предложений, связывая их в ничего не говорящие предложения.
Этот метод можно было бы назвать также методом нуля. В логическом предложении предложения уравновешиваются друг с другом, и тогда состояние равновесия указывает, как должны логически строиться эти предложения.
6.122. Из этого следует, что мы можем обходиться без логических предложений, так как мы ведь можем узнавать в соответствующей записи формальные свойства предложений простым наблюдением их.
6.1221. Если, например, два предложения "р" и "q" в связи "pÉq" дают тавтологию, то ясно, что q следует из р.
Например, то, что " следует из "pÉ q*p", мы видим из самих этих двух предложений, – но это мы можем также показать, связывая их в "р É q * р: É: q" и показывая затем, что это тавтология.
6.1222. Это проливает свет на вопрос, почему логические предложения могут подтверждаться, опытом не более, чем они могут опровергаться опытом. Предложение логики не только не должно опровергаться никаким возможным опытом, но оно также не может им подтверждаться.
6.1223. Теперь ясно, почему мы нередко чувствуем, будто "логические истины" должны "требоваться" нами. Мы можем фактически требовать их постольку, поскольку мы можем требовать удовлетворительного способа записи.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
