Universalportföljen är ett centralt begrepp inom finans och investeringar som handlar om att skapa en portfölj med optimal avkastning oberoende av marknadens osäkerhet och förändring. Enligt teorin bakom universalportföljen är målet att uppnå en så bra långsiktig avkastning som möjligt genom att kontinuerligt justera portföljens sammansättning baserat på marknadens utveckling. Den grundläggande idén är att portföljen ska vara flexibel nog att anpassa sig till förändringar i marknadens beteende och samtidigt försöka överträffa andra investeringsstrategier, som exempelvis lika viktade portföljer eller de som är baserade på historiska data.

I en studie som genomfördes med hjälp av syntetiska data och med ett hypotetiskt marknadsscenario för 11 sektorer (där varje sektor representeras av ett börshandlat index, ETF), undersöktes hur universalportföljen presterade jämfört med andra portföljstrategier. Resultaten visade att den universella portföljen hade en högre avkastning än en lika viktad portfölj och nära den optimala portföljen som beräknades retroaktivt. Men trots dessa positiva resultat visade det sig att universalportföljens tillväxttakt fortfarande låg efter den av den hindsight-optimal portföljen, vilket tyder på att konvergensen mot en optimal portfölj kan vara långsam.

För att beräkna denna universella portfölj används avancerade matematiska modeller och statistiska metoder som involverar multivariata log-normalfördelningar och slumpmässiga vektorer med normalfördelning. Dessa matematiska verktyg möjliggör skapandet av portföljer som anpassar sig till marknadens dynamik och förbättrar sina beslut över tid genom att ständigt ombalansera sina innehav baserat på nya data.

Det är också viktigt att förstå att universalportföljens prestanda inte är konstant. Även om den tenderar att överträffa andra portföljer under vissa perioder, visar data att denna överperformance ofta är episodisk. Detta innebär att det finns perioder när marknaden eller specifika sektorer kan prestera mycket bättre än den universella portföljen, vilket gör att investeraren inte alltid kan förlita sig på denna strategi för att överträffa andra metoder på kort sikt.

En annan aspekt som måste beaktas är att den universella portföljens långsiktiga prestanda inte bara beror på den initiala strategin utan även på hastigheten med vilken den anpassar sig till förändringar på marknaden. Den långsamma konvergensen, som visades i vissa experiment, innebär att det kan ta tid innan portföljen når den optimala fördelningen och maximal avkastning. Därför är det av yttersta vikt att förstå att även om universalportföljen är en kraftfull teori, är det viktigt att ha tålamod och att vara medveten om att långsiktiga resultat kan vara mer relevant än kortsiktiga vinster.

Vad gäller användningen av convexitet inom portföljteori är det värt att notera att många av de optimala portföljstrategierna som utvecklats bygger på matematiska koncept från den konvexa analysen. Här definieras en konvex uppsättning som en uppsättning där varje linjär kombination av två punkter i uppsättningen också tillhör uppsättningen. Detta är centralt för att förstå hur portföljens sammansättning kan förändras och optimeras över tid. Dessa matematiska verktyg säkerställer att portföljen alltid har en optimal struktur som minimerar risk och maximerar avkastning på ett sätt som är hållbart över långa tidsperioder.

Det är också intressant att notera att universella portföljer inte bara fokuserar på den faktiska fördelningen av tillgångar utan även på deras interaktioner och korrelationer. Genom att förstå och utnyttja dessa samband kan en portfölj designas för att dra nytta av marknadsdynamik och maximera vinsterna i tider av volatilitet. Trots dessa fördelar kräver denna strategi ett djupgående förståelse för statistik och matematik, vilket kan vara en utmaning för den genomsnittliga investeraren.

Det är också viktigt att förstå att universalportföljens långsiktiga prestanda och stabilitet kan påverkas av externa faktorer som globala ekonomiska förhållanden, politiska förändringar och teknologiska framsteg. För en portfölj som är designad att vara adaptiv och långsiktig krävs en kontinuerlig översyn av de parametrar och modeller som används för att justera innehavet. Detta innebär att en portfölj måste vara mer än bara ett passivt investeringsverktyg – det handlar om att ständigt vara vaksam och beredd på att justera den efter marknadens förändringar.

Hur konvergerar priser i diskreta modeller till Black-Scholes-priser?

I många modeller för prissättning av derivat i diskret tid blir uttrycken för priserna ganska komplexa, särskilt när de uttrycks i termer av någon martingal-mått. Men det finns hopp om att prisformlerna i diskreta modeller kan konvergera mot ett tydligare och mer hanterbart resultat när antalet mellanliggande handelsperioder växer. I denna del kommer vi att formulera de förutsättningar som krävs för att sådan konvergens ska ske.

För att tydliggöra detta, kommer vi att anta att tidsintervallet [0, T] delas upp i N lika stora tidssteg TN,2TN,…,NTNT_N, 2T_N, \dots, NT_N, och att datumet kTNkT_N representerar den k:te handelsperioden i en arbitragefri marknadsmodell. För att förenkla antas att varje marknadsmodell innehåller en riskfri obligation och endast en riskfylld tillgång. I den N:te approximationen kommer den riskfyllda tillgången att betecknas som S(N)S(N), och den riskfria obligationen definieras av en konstant ränta rN>−1r_N > -1.

Frågan vi försöker besvara är om priserna på contingenta krav i de approximativa marknadsmodellerna konvergerar när NN går mot oändligheten. Eftersom de terminala värdena på de riskfria obligationerna förväntas konvergera, antar vi att

lim⁡N→∞(1+rN)T/N=e,\lim_{N \to \infty} \left( 1 + r_N \right)^{T/N} = e,

där rr är en ändlig konstant. Detta ger oss den ekvivalenten logaritmiska villkoret:

lim⁡N→∞rN=rT.\lim_{N \to \infty} r_N = r_T.

Vi antar nu att de initiala priserna S(N)0S(N)_0 inte beror på NN, dvs. S(N)0=S0S(N)_0 = S_0 för någon konstant S0>0S_0 > 0. Priserna S(N)kS(N)_k är slumpvariabler på ett sannolikhetsrum (ΩN,FN,PN∗)(\Omega_N, \mathcal{F}_N, P^*_N), där PN∗P^*_N är ett riskneutralt mått för varje approximativ marknadsmodell. Den diskonterade prisprocessen definieras som:

X(N)k:=S(N)k(1+rk)k,X(N)_k := \frac{S(N)_k}{(1 + r_k)^k},

och X(N)kX(N)_k är en PN∗P^*_N-martingal med avseende på filtreringen FNk=σ(S(N)1,…,S(N)k)\mathcal{F}_N^k = \sigma(S(N)_1, \dots, S(N)_k).

För att formulera vidare, definierar vi den avkastning R(N)kR(N)_k för den riskfyllda tillgången som

R(N)k:=S(N)k−S(N)k−1S(N)k−1,R(N)_k := \frac{S(N)_k - S(N)_{k-1}}{S(N)_{k-1}},

och antar att dessa avkastningar för varje NN är oberoende under PN∗P^*_N och att de uppfyller vissa gränsvärden:

−1<αN≤R(N)k≤βN,-1 < \alpha_N \leq R(N)_k \leq \beta_N,

där αN\alpha_N och βN\beta_N är konstanta gränser som går mot 0 när NN går mot oändligheten. Vidare antar vi att variansen av R(N)kR(N)_k under PN∗P^*_N är sådan att den sammanlagda variansen

1N∑k=1NvarN(R(N)k)→σ2∈(0,∞)\frac{1}{N} \sum_{k=1}^N \text{var}_N(R(N)_k) \to \sigma^2 \in (0, \infty)

när N→∞N \to \infty.

Med dessa förutsättningar kan vi använda ett resultat som kan betraktas som en multiplicativ version av centrala gränsvärdessatsen. Enligt detta teorem konvergerar distributionerna för S(N)NS(N)_N under PN∗P^*_N svagt till en log-normal fördelning med parametrarna

log⁡S0+rT−12σ2TochσT,\log S_0 + rT - \frac{1}{2} \sigma^2 T \quad \text{och} \quad \sigma \sqrt{T},

vilket innebär att den slutgiltiga fördelningen av STS_T har formen:

ST:=S0exp⁡(σWT+(r−12σ2)T),S_T := S_0 \exp\left( \sigma W_T + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T \right),

där WTW_T är en normalfördelad variabel N(0,T)N(0, T) med varians TT.

Detta resultat är ett exempel på hur prissättningen av derivat i diskreta modeller kan konvergera till den klassiska Black-Scholes-modellen. Om vi definierar ett derivat i termer av en funktion f≥0f \geq 0 av den riskfyllda tillgångens terminala värde, blir priset på derivatet i varje approximativ modell ett contingents krav C(N)=f(S(N)N)C(N) = f(S(N)_N). Om ff är begränsad och kontinuerlig, kommer de arbitragefria priserna av C(N)C(N) under PN∗P^*_N att konvergera till ett diskonterat förväntningsvärde med avseende på en log-normal fördelning. Detta leder till den så kallade Black-Scholes-prissättningen.

För ett exempel kan vi titta på priset på en europeisk köpoption. Priset på en sådan option i den kontinuerliga Black-Scholes-modellen ges av formeln:

Call-optionens pris=S0Φ(d+(S0,T))−e−rTKΦ(d−(S0,T)),\text{Call-optionens pris} = S_0 \Phi(d^+(S_0, T)) - e^{ -rT} K \Phi(d^-(S_0, T)),

där d+d^+ och d−d^- är funktioner av den initiala tillgångens pris, räntan, volatiliteten och tiden till förfall. Här Φ\Phi representerar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardnormal fördelning.

Det är också viktigt att förstå att denna konvergens inte bara gäller för köpoptioner utan även för andra derivat, såsom säljoptioner, där prissättningen också följer en liknande struktur i den kontinuerliga tidsmodellen. Resultatet från den diskreta modellen leder till prissättningar som överensstämmer med det Black-Scholes-formulär som är så välkänt inom finansiell teori.

Hur kan fördröjda differentialekvationer leda till nya speciella funktioner och stabilitetsanalys?
Vad skiljer amoklöpning från terrorism?
Hur osäkerhet sprids i mätningar: en praktisk förståelse