Vad är den klassiska gränsen inom termodynamik och statistisk mekanik?

$S = Nk_B \left( \frac{3}{2} \ln T + \ln \left( \frac{eV}{N} \right) + \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \ln \left( \frac{(2 \pi m k_B)}{h^3} \right) \right)$

För att räkna ut tillståndsekvationen $P = -\left( \frac{\partial F}{\partial T} \right)_{N}$, där F är den fria energin, får vi uttrycket:

Detta gör det möjligt att beräkna värdet på Boltzmanns konstant $k_B$. För en mol, där antalet partiklar är lika med Avogadros tal $N_A = 6,02 \times 10^{23}$, ges uttrycket för trycket som:

där $R$ är den ideala gaskonstanten (8.32 Joule/grad). Därmed får vi att $k_B = \frac{R}{N_A} = 1,38 \times 10^{ -23}$ Joule/grad. Slutligen, den kemiska potentialen $\mu$ kan beräknas som:

I det klassiska fallet är den kemiska potentialen negativ, vilket beror på att $\left( \frac{V}{N} \right) \left( \frac{(2 \pi m k_B T)}{h^2} \right)^{3/2} > 1$.

$V \left( \frac{(2 \pi m k_B T)}{h^2} \right)^{3/2} \gg N$

$k_B T \gg \frac{h^2}{2 \pi m} \left( \frac{N}{V} \right)^{2/3}$

En viktig aspekt att beakta vid beräkningarna är att i vissa förenklade modeller av den klassiska idealgasen introduceras en konstant $Q$ för att hålla partitionfunktionen dimensionlös. Även om denna konstant inte spelar någon roll vid beräkningen av energi, påverkar den uttrycken för entropi, fri energi och den kemiska potentialen. Vid användning av en serie istället för en integral är det också nödvändigt att införa en sådan konstant för att hålla dimensionerna korrekta.

För att förstå dessa fenomen är det nödvändigt att beräkna antalet hål och elektroner i respektive band. Antalet hål i valensbandet definieras av ekvationen $N_V = \int_{ -\infty}^{E_V} \frac{8\pi V}{h^3} (2m_h)^{3/2} \sqrt{E_V - E} \, \frac{1}{\exp[\beta(\mu - E)] + 1} dE$, där $m_h$ är hålets effektiva massa, och $\mu$ är kemisk potential. Genom att använda denna formel kan man beräkna hur hålens antal beror på temperaturen och andra materialparametrar.

Vid högre temperaturer är det viktigt att förstå att $m_h > m_e$, vilket gör att Fermi-nivån kommer att stiga med temperaturen. Detta förklarar varför materialets elektriska egenskaper är temperaturberoende och hur extrinsiska effekter som föroreningar kan ändra materialets ledningsförmåga. Föroreningar, som kan bidra med extra elektroner eller hål, leder till det extrinsiska tillståndet där antalet hål och elektroner från materialet själv inte längre dominerar. I detta tillstånd blir det avgörande att förstå hur dessa föroreningar interagerar med det elektriska fältet i materialet.

För att beräkna Fermi-nivån som funktion av temperatur och elektronantal i ledningsbandet kan vi använda ekvationen $\mu = \frac{E_C + E_V}{2} + \frac{3}{4}k_B T \ln{\left(\frac{m_h}{m_e}\right)}$, där $E_C$ och $E_V$ är energinivåerna i lednings- och valensbanden, respektive, och $k_B$ är Boltzmanns konstant. Vid låg temperatur är Fermi-nivån mitt emellan de två banden, men vid högre temperaturer flyttas den uppåt, vilket påverkar elektriska egenskaper.

Bandgapets storlek och förändringar i den effektiva massan för hål och elektroner vid olika temperaturer spelar en central roll för utvecklingen av nya halvledarteknologier. I detta sammanhang blir det nödvändigt att beakta inte bara temperaturen utan även strukturen och renheten hos materialet för att optimera dess ledningsegenskaper.