Hur förändras Fermi-nivån och energi i fermionsystem?

Fermi-nivån är ett centralt begrepp i statistisk mekanik, särskilt när vi studerar fermiongasers egenskaper. För att förstå hur den förändras med temperatur, samt hur energin relaterar till denna nivå, är det viktigt att först förstå den matematiska modellen som beskriver dessa fenomen. I denna kontext spelar Fermi-Dirac-funktionen en grundläggande roll för att bestämma fördelningen av partiklar i ett fermionsystem vid olika temperaturer.

När vi undersöker fermionsystem vid temperaturer nära noll (T = 0) ser vi att Fermi-Dirac-funktionen fFD tar formen av en stege, där fFD är lika med 1 för energier E mindre än Fermi-nivån μ0 och lika med 0 för energier större än μ0. Detta betyder att vid T = 0 är det bara de nivåer som är under Fermi-nivån som är besatta. Fermi-nivån vid denna temperatur representerar den högsta energin som en partikel kan ha i systemet, vilket gör den till en kritisk parameter för systemets beteende.

Vid högre temperaturer ändras Fermi-Dirac-funktionen. Om temperaturen inte är för hög kommer funktionen fortfarande att anta en form där den snabbt går från 1 till 0 vid Fermi-nivån, men övergången blir mjukare, vilket innebär att vissa partiklar på energinivåer över μ har en icke-noll sannolikhet att vara besatta. Detta leder till en "fördelning" av partiklar över flera nivåer, där andelen av besatta nivåer beror på temperaturens storlek.

För att beräkna den kemiska potentialen (eller Fermi-nivån) för ett system, används integraler som tar hänsyn till energinivåerna och deras fördelning enligt Fermi-Dirac-statistiken. Det kan vara omöjligt att få ett exakt analytiskt uttryck för μ(T) vid allmänna temperaturer, men vid T = 0 kan vi enkelt härleda en formel som ger värdet på Fermi-nivån. Vid T = 0 erhåller vi ett uttryck för μ0 som är relaterat till densiteten av partiklar N/V och den totala volymen.

Vid högre temperaturer får vi en implicit funktion för μ(T), som innebär att en numerisk lösning är nödvändig för att få en exakt värde på Fermi-nivån. Vid relativt låga temperaturer och höga densiteter är μ konstant, men vid mycket höga temperaturer minskar Fermi-nivån tills den blir noll vid mycket höga temperaturer (t.ex. 33 540 °K).

Vid T ≠ 0 är beräkningen av energin mer komplex. För att härleda denna formel måste vi ta hänsyn till förändringen i fördelningen av partiklar som påverkas av temperatur. Detta kräver att vi använder Fermi-Dirac-funktionen i sin fullständiga form och numeriskt beräknar integraler som representerar energin i systemet.

För att få en bättre förståelse av dessa samband är det också viktigt att känna till den klassiska och degenererade gränsen för fermiongaser. När fermiondensiteten är låg (och därmed Fermi-nivån är negativ) är systemet mer klassiskt i naturen, där partiklar inte följer strikt Fermi-statistiken. När densiteten är hög och temperaturen låg är systemet däremot mer degenererat, och partiklarna följer en mer strikt Fermi-Dirac-fördelning.

Hur vi beräknar elektrontäthet och specifik värmekapacitet i fasta ämnen

I studiet av elektroner i fasta ämnen och deras beteende vid olika temperaturer är en av de centrala aspekterna att förstå hur elektrontätheten (n(E)) och den specifika värmekapaciteten (C_V) är relaterade. En av de mest grundläggande relationerna som kan användas för att beskriva detta är uttrycket för antalet elektroner N i ett system. Det definieras som en integral över energi, som kan skrivas som:

Där $n(E)$ är elektronens densitet i energinivåerna nära E. För Fermi-nivån $E = \mu_0$ (Fermi-nivån vid noll temperatur), får vi:

Genom att använda detta kan vi uttrycka Fermi-nivån $\mu_0$ som:

Med detta uttryck för $\mu_0$, kan vi nu relatera elektronens specifika värmekapacitet $C_V$ vid låga temperaturer. För att beräkna $C_V$ använder vi följande formel:

Formeln beskriver specifik värmekapacitet för elektroners termiska egenskaper vid låga temperaturer, där vi ser att den är proportionell mot temperaturen $T$. Detta gör det möjligt att beräkna antalet elektroner i närheten av Fermi-nivån från mätningar av den elektroniska specifika värmekapaciteten.

Vidare har detta en mycket viktig tillämpning i att förstå elektronens beteende i olika material, särskilt metaller, halvledare och isolatorer.

En annan aspekt som behöver beaktas är den effektiva massan hos elektroner i metaller. I verkligheten ändras elektronernas massa när de interagerar med atomer i materialet. Dock är denna effekt vanligtvis liten, och i de flesta approximationer kan vi använda den fria elektronmassan för beräkningarna.

Semikonduktorer, som är en särskild klass av isolatorer, skiljer sig genom att de vid låga temperaturer har elektroner bundna till atomkärnorna, vilket gör att de inte kan leda elektrisk ström. Men genom att tillföra energi, till exempel genom uppvärmning eller ljus, kan elektroner frigöras och därmed övergå till ledningsbandet, vilket gör materialet ledande. Denna process innebär att elektronerna i valensbandet kan få tillräcklig energi för att hoppa till ledningsbandet.

För att beräkna antalet elektroner i ledningsbandet i en halvledare måste vi använda densiteten av tillstånd, vilket vanligtvis görs med hjälp av en parabolapproximation för energin i närheten av $E_C$. För detta syfte definierar vi en densitet av tillstånd $g_c(E)$ för ledningsbandet som:

Där $D_C$ är

Hur Maxwell, Boltzmann och termodynamikens utveckling förändrade vår förståelse av irreversibilitet

Hur man beräknar partitionfunktionen och andra termodynamiska egenskaper för kvantgas

För en gas av kvantpartiklar, vare sig det handlar om fermioner eller bosoner, kan termodynamiska egenskaper som energi, entropi och tryck beräknas med hjälp av partitionfunktioner och grand partitionfunktioner. Dessa funktioner är centrala för att förstå gasernas beteende och relationer mellan olika makroskopiska storheter.

Vidare kan vi definiera den grand partitionfunktionen för hela systemet, som inkluderar både gasen av partiklar i volymen $V$ och de partiklar som har absorberats på en yta. Denna funktion tar hänsyn till både energi och partikeltäthet i systemet, vilket är viktigt för att kunna göra korrekta beräkningar av systemets makroskopiska egenskaper.

För att härleda ett uttryck för gasens tryck och volymrelation, kan man utnyttja relationen $PV = KE$, där $K$ är en funktion av den exponentiella parameter $α$, som relaterar densiteten av tillstånd till energin. Detta leder oss till en formel för tillståndsekvationen som gäller för relativistiska och icke-relativistiska partiklar.

Det är också möjligt att definiera den kemiska potentialen för dessa partiklar, vilket är ett användbart verktyg för att beskriva partikelantalets beroende av temperatur och tryck. Kemiska potentialen beräknas genom att analysera energifördelningen för partiklarna i systemet, och för bosoner och fermioner skiljer sig uttrycken avsevärt åt. Vid höga temperaturer tenderar den kemiska potentialen att närma sig noll, medan den vid låga temperaturer kan bli stor i de fall där partiklar tenderar att kondensiera i låga energitillstånd (t.ex. i Bose-Einstein-kondensat).

För att förstå hur partiklar fördelar sig i systemet vid olika temperaturer, är det viktigt att ta hänsyn till integralen som beskriver tillståndstätheten $g(E)dE$, där $g(E)$ är en funktion av energin som relaterar antalet tillstånd per energinivå. Genom att applicera integration genom delvis, kan vi härleda olika termodynamiska relationer för tryck och energi som fungerar i både relativistiska och icke-relativistiska fall.

När vi tittar på systemen av harmoniska oscillatorer, både klassiska och kvantmekaniska, får vi insikter om hur partiklar interagerar och hur deras energitillstånd påverkar systemets makroskopiska egenskaper som specifik värmekapacitet och entropi. För system där flera oscillatorer är närvarande, kan vi använda klassiska mekanikens partitionfunktion för att räkna ut systemets totala energi, och vidare bestämma dess termodynamiska potentialer.

Det är också relevant att studera partiklar vars energi är oändligt diskretiserad, som i fallet med bosoner och fermioner i ett oändligt antal tillstånd. För att beräkna den kemiska potentialen i dessa system kan vi utnyttja uttrycken för $μ$ för både bosoner och fermioner vid olika temperaturer, och relatera dessa till makroskopiska variabler som densitet och tryck.

Hur påverkar temperatur och energi fördelningen av partiklar i ett system i termisk kontakt med ett reservoir?

Ett system i termisk kontakt med ett mycket större system, vilket kallas reservoir, har förmågan att överföra energi mellan sig själv och detta större system. Temperaturförändringar, även om de kan vara små, spelar en central roll i att upprätthålla ett dynamiskt jämviktsläge mellan de två systemen. I en sådan uppställning varierar systemets energi, medan temperaturen förblir konstant. Detta innebär att det sker kontinuerlig energiöverföring från reservoirn till systemet, och denna överföring kan bero på förändringar i partiklarna av potentiell energi, som påverkas av partikeldistans.

För att förstå denna typ av system använder vi oss av statistikmekanikens grundläggande koncept, där sannolikheten för att hitta ett system i ett givet mikrotillstånd kan beräknas. I det föregående kapitel presenterades förhållandet mellan entropi och mikro- och makroskopiska system, och dessa begrepp fortsätter att vara grundläggande även när vi studerar ett system i termisk kontakt med ett reservoir.

För att uttrycka detta i en mer konkret form måste vi beakta systemets och reservoirns entropier, som är funktioner av deras respektive antal mikrotillstånd. Sannolikheten att hitta systemet i ett mikrotillstånd $s$ med energi $E_S$ ges av formeln:

Här representerar $\Omega_R$ antalet mikrotillstånd för reservoirn, medan $\Omega_{GS}$ är antalet mikrotillstånd för det stora systemet, som inkluderar både systemet och reservoirn. Med hjälp av dessa kan vi beräkna fördelningen av sannolikheter för olika energinivåer i systemet.

Det viktiga här är att även om energin hos systemet varierar, så är den relativa sannolikheten för olika energinivåer proportionell mot en exponentiell funktion av den energi som systemet har, delat med temperaturen. Denna relation ges av:

där $Z$ är partitionfunktionen och summan går över alla mikrotillstånd. Partitionfunktionen är en central kvantitet i den kanoniska ensemblemodellen och relaterar mikroskopiska egenskaper, som energi och antal partiklar, till makroskopiska egenskaper som temperatur och tryck.

För att ytterligare förstärka denna förståelse, bör läsaren beakta att även om systemet och reservoirn är i jämvikt, är det fortfarande möjligt att energiöverföring sker mellan dem. Detta fenomen är ett resultat av att systemets energi inte är helt fastställd, utan fluktuerar runt ett medelvärde beroende på de mikroskopiska egenskaperna hos partiklarna.

Därmed blir förståelsen av partitionfunktionen, och den relation den har till temperatur och energi, fundamental för att analysera hur ett system i termisk kontakt med ett reservoir fungerar.