Hur påverkar styvhetsmatriserna i tredimensionella fackverkselement den rigida kroppens rotation och icke-linjära deformationer?

Den axiella kraften $1F_x (= 1F_{xb})$, som redan verkar på elementet vid punkt $C_1$, roteras enligt den styva kroppens rotation [se figur 4.4(c)]. Resultatet av dessa tre samverkande effekter är att de initiala krafterna följer den roterade axeln för fackverkselementet, samtidigt som deras storlekar förblir oförändrade. Detta innebär att elementets jämvikt bevaras även efter rotationen av den styva kroppen. Denna observation om den geometriska styvhetsmatrisens $[k_g]$ egenskaper som beskriver rigid kropp är i överensstämmelse med den tidigare presenterade rigid kropp-regeln (avsnitt 3.5). Genom att låta $\{u\}_r$ representera en godtycklig rigid kroppsrörelse kan det visas att töjningsinkrementet $\varepsilon_{xx}$ förblir noll, vilket innebär att inga interna deformationer uppstår vid en ren rotation.

Det är avgörande att förstå att $[k_g]$-matrisen inte bara är en vanlig styvhetsmatris likt $[k_e]$ för beräkning av kraftinkrement, utan den arbetar tillsammans med den initiala kraftvektorn $\{1f\}$ för att korrekt representera rigid kropps-beteendet hos dessa krafter i elementet. Vid iterativ icke-linjär analys måste därför $[k_g]$ alltid inkluderas i uppdateringen av initiala nodalkrafter enligt rigid kropp-regeln. Dessutom krävs samverkan av $[k_e]$ och $[s_1]$ vid kraftåtervinning för att undvika konstgjorda krafter som skulle kunna uppstå vid rigid kroppsrörelser. Detsamma gäller för $[s_2]$ och $[s_3]$.

Vidare kan även $[s_1]$ transformeras till en symmetrisk form $[s_1]^{eq}$ genom att subtrahera $[s_2]^{eq}$ från summan $[s_1] + [s_2]$, vilket ytterligare bidrar till beräkningsmässig effektivitet. Denna metod att härleda symmetriska ekvivalenta styvhetsmatriser förenklar implementeringen av icke-linjära analysmetoder för fackverksstrukturer, där de högre ordningens effekterna kan integreras på ett överskådligt sätt.

Displacementvektorn för rymdfackverket omfattar således tre translationsgrader av frihet vid varje ändpunkt, vilket möjliggör en detaljerad representation av dess mekaniska respons i tre dimensioner. Den geometriska tolkningen av rigid kropprotationer och icke-linjära deformationer förblir dock analog med den plana fackverksmodellen, vilket visar på en robust och konsekvent teoretisk grund.

Det är centralt att ha insikt i hur den geometriska styvhetsmatrisen och de högre ordningens styvhetsmatriserna samverkar i den icke-linjära analysen. De representerar inte bara matematiska verktyg utan fångar de fundamentala mekaniska fenomenen vid stora deformationer och rotationer. Att exkludera dessa effekter eller att behandla dem inadekvat kan leda till felaktiga prediktioner av strukturell respons, vilket i förlängningen kan äventyra säkerheten och tillförlitligheten hos konstruktionen.

Hur bestämmer man nodala krafter och geometriska styvhetsmatriser för TPE-element?

För att bestämma de nodala krafterna som verkar på varje balk i ett TPE-system (rigid triangulärt plattelement), är det först viktigt att förstå balansen av krafter och moment vid varje nod. Detta gäller särskilt för de tre balkelementen i ett TPE, som benämns balk 12, balk 23 och balk 31. I systemet anges de nodala krafterna och momenten för varje balk vid en specifik konfiguration (C1), där de olika krafter och moment är förknippade med varje nodal punkt och riktning.

Det finns sex balansvillkor per nod – tre för krafter och tre för moment. För varje nod i TPE-systemet, där varje nod ansluter två balkar, kan krafterna och momenten beskrivas med hjälp av vektorer. Låt oss exempelvis titta på nod 1. De tre krafterna som verkar på nod 1 är $1F_{12}$ i riktning x, $1F_{31}$ i riktning y, samt $1F_{31}$ i riktning z, där varje kraft ska balanseras med den yttre kraften $1F_{x1}, 1F_{y1}, 1F_{z1}$. Detta gäller även för momenten vid noden, som beskriver de rotationer som sker runt varje axel vid nod 1.

Liknande balansvillkor gäller för nod 2 och nod 3, där krafterna och momenten från intilliggande balkar ska balanseras med de yttre krafterna som verkar på noderna.

För att lösa dessa ekvationer krävs ett antal antaganden. I denna modell, följande Yang et al. (2007), antas att de sex ytterligare variablerna (fx, fy, fz, mx, my, mz) är noll. Detta förenklar lösningen och gör att systemet blir mer hanterbart från ett numeriskt perspektiv.

I denna sammanhang används en transformationsmatris för att konvertera de globala krafterna och momenten till lokala koordinater. Detta görs genom att använda en rotationsmatris som omvandlar koordinaterna för varje element baserat på dess specifika orientering i systemet.

Efter denna transformation sammanställs de geometriska styvhetsmatriserna för varje balk (balk 12, 23 och 31) enligt den standardiserade proceduren för elementassemblage i finitelementmetoden. När alla individuella styvhetsmatriser är sammansatta, får man den totala geometriska styvhetsmatrisen för hela TPE-systemet. Denna matris kan sedan användas för att lösa för förflyttningar och krafter i systemet, vilket gör det möjligt att analysera dess beteende under belastning.

Det är också viktigt att förstå att den geometriska styvhetsmatrisen för TPE-elementet måste genomgå vissa tester för att säkerställa att den uppfyller de fysiska förväntningarna, såsom att systemet förblir oförändrat vid en rigid rotation. Detta säkerställer att de matematiska modellerna som används för att representera systemet är fysiskt korrekta och realistiska.