Head’s ekvationer, som utvecklades 1958, används för att beskriva turbulenta flöden inom olika gränsskikt. Dessa modeller, trots att de tillhör teoretiska modeller, har visat sig vara en av de mer exakta när det gäller att representera tryckgradientens variation i flödet. Genom att använda huvudkomponenter som skjuvspänning och hastighetsprofilens formfaktor, möjliggör Head’s modell för en grundlig förståelse av hur turbulenta flöden påverkar kroppars ytstruktur, som till exempel flygplansvingar eller andra aerodynamiska ytor.

Modellen baseras på ett antal parametrar, inklusive den lamina tjockleken av gränsskiktet, som definieras genom:

δ2,lam=v⋅Zair+δ(65u0)⋅e900⋅G\delta_2, \text{lam} = v \cdot Z_{\text{air}} + \delta (65 u_0) \cdot e 900 \cdot G

Där δ\delta är den lamina gränsskiktets tjocklek och u0u_0 är hastigheten vid gränsskiktets yta. Denna ekvation ger en grundläggande relation för att beräkna flödets tryckgradient och dess förändring i turbulenta regimer.

Vidare beskrivs den turbulenta gränsskikts tjocklek genom:

Z(δ)=a⋅su⋅b⋅edsZ(\delta) = a \cdot s_u \cdot b \cdot e^{ds}

Där sus_u och bb är konstanta faktorer som beror på tryckgradienten, medan aa är en empirisk faktor definierad för olika tryckgradienter.

För att bestämma det turbulenta skjuvspänningen som funktion av formfaktorn och momenttjockleken, används ekvationen:

Cf,turb=0.246⋅10−0.678⋅Hturb⋅Re−0.268⋅δ2,turbC_{f,\text{turb}} = 0.246 \cdot 10^{ -0.678} \cdot H_{\text{turb}} \cdot Re^{ -0.268} \cdot \delta_2,\text{turb}

Där HturbH_{\text{turb}} är formfaktorn för turbulenta flöden, ReRe är Reynolds talet baserat på momenttjockleken, och δ2,turb\delta_2,\text{turb} är den turbulenta gränsskiktets tjocklek.

Vidare innebär momentumkonservering att vi kan skriva om flödets ekvationer som:

d(Cf,turb⋅δ2,turb)ds=−(Hturb2+)⋅δ2⋅dueds\frac{d(C_{f,\text{turb}} \cdot \delta_2,\text{turb})}{ds} = -(H_{\text{turb}}^2 + ) \cdot \delta_2 \cdot \frac{due}{ds}

För att definiera en dimensionslös inblandningshastighet använder vi masskontinuitetsekvationen:

1δ⋅dudy=F(Hturb)\frac{1}{\delta} \cdot \frac{du}{dy} = F(H_{\text{turb}})

Denna inblandningshastighet är avgörande för att förstå hur turbulens sprider sig inom flödet och påverkar hastighetsprofilen.

Det är också viktigt att förstå att Head’s modell och ekvationerna i samband med denna modell inte enbart används i aerodynamik, utan också för andra tekniska tillämpningar som kan vara beroende av detaljerade flödesberäkningar, exempelvis vid design av turbiner, ventiler eller andra system som arbetar med fluidströmmar under turbulenta förhållanden.

Vid beräkning av turbulenta gränsskikt använder Head (1958) en specifik parameter H1H_1, som är relaterad till förhållandet mellan den turbulenta och den lamina gränsskiktets tjocklek:

H1=δδ1H_1 = \frac{\delta}{\delta_1}

Därefter förenklas ekvationen till:

d(u)ds=F(H1)\frac{d(u)}{ds} = F(H_1)

För att fortsätta beräkningarna och initiera nästa lösningsloop måste de turbulenta gränsskiktsparametrarna som δ2,turb\delta_2,\text{turb} och HturbH_{\text{turb}} vara definierade. Det är också viktigt att förstå att vid övergången mellan lamina och turbulenta flöden sker en förändring i de parametrar som används för att beskriva flödet. Vid övergångspunktens början antas det att H1H_1 är lika med 1.2.

För att lösa dessa komplexa system krävs ofta numeriska simuleringar eller experimentella data som validerar de teoretiska modellerna. Det är också värt att notera att flödesförhållanden, tryckgradienter och geometri kan påverka noggrannheten av beräkningarna, och därför måste ingenjörerna använda en rad olika tillvägagångssätt för att verifiera sina resultat.

Det är avgörande att förstå att turbulens, trots sin komplexitet, är ett naturligt och ofta oundvikligt fenomen i många tekniska system. De matematiska modellerna för turbulens som beskrivs här ger ett ramverk för att bättre förstå och förutsäga flödesbeteenden under dessa förhållanden, vilket är grundläggande för att designa effektiva och stabila tekniska system som hanterar turbulent flöde.

Hur påverkar Biot- och Stefan-tal solidifieringsprocessen hos superkylda droppar?

Temperaturgradienterna i en vätska under solidifiering måste övervakas noggrant eftersom själva bildningen av det fasta stadiet påverkas av gradientens storlek. Detta är av stor betydelse i många tillämpningar där kontroll över frysningsförloppet är kritiskt. En jämförelse mellan olika Biot-tal (Bi), särskilt värdena 0,1, 1,0 och 5,0, visar att när Bi ökar, uppträder en avvikelse i de predicerade resultaten för slutfasen av frysningsprocessen. Denna avvikelse är oberoende av Stefan-talets (St) värde inom det analyserade intervallet. Det är tydligt att hastigheten för den frusna frontens förflyttning ökar markant i slutet av solidifieringen, och denna hastighet är proportionell mot den rumsliga derivatan av temperaturen vid gränsytan, vilket i modellerna approximeras med förenklade metoder. Även små fel i denna parameter kan därför leda till betydande variationer i uppskattningen av den totala frysnings-tiden.

Vid olika Bi-tal sker avslutningen av frysningsprocessen vid olika tidpunkter, vilket bekräftar att frysningshastigheten är starkt kopplad både till Biot- och Stefan-talen, där högre värden på dessa tal resulterar i snabbare solidifiering. Metoder som GITT (General Integral Transform Technique) och förenklade lumpade-differentialmodeller som CIEA har visat sig ge god överensstämmelse med experimentella data, till exempel från Hindmarsh et al. (2003), när det gäller temperaturutvecklingen i droppens centrum både under superkylning och efterföljande kylning.

Parametriska studier visar att ökande luftflödeshastighet signifikant påskyndar frysningsprocessen. Detta kan förklaras av att högre luftflöde höjer Nusselt- och Sherwood-talen, vilket förbättrar konvektionens effekt på både värme- och massöverföring i systemet. Trots dessa variationer förblir de dimensionlösa Biot-talen låga inom det studerade intervallet, vilket gör att den reducerade modellen CIEA fortsatt ger en noggrann och beräkningsmässigt effektiv lösning.

Droppar med mindre radie fryser snabbare än större droppar, vilket är ett resultat av proportionellt större värmeöverföringsyta i förhållande till volym. Den förenklade modellen kan även här med hög precision beskriva både frontens förflyttning och centrumtemperaturens utveckling under solidifieringen.

Vid analys av droppar som vilar på en superhydrofob yta och utsätts för kall luft kan GITT-metoden användas för att lösa de partiella differentialekvationerna numeriskt. Konvergensstudier visar att metoden når hög noggrannhet, särskilt vid senare tidpunkter i superkylningen, medan konvergensen är långsammare vid tidiga skeden. Detta är typiskt för metoder baserade på egenfunktionsutvidgningar.

Det är avgörande att förstå att temperaturen vid gränsytan mellan dropp och luft, samt vid kontaktytan mellan dropp och substrat, kan skilja sig åt beroende på lokala förhållanden, vilket påverkar det totala frysförloppet. Effekten av Biot- och Stefan-tal på frysningsdynamiken visar tydligt att dessa dimensionlösa parametrar är centrala för att förutsäga och kontrollera solidifieringsprocessen. Det är även viktigt att inse att små variationer i temperaturgradienter vid gränsytan kan ge upphov till stora skillnader i total frystid, vilket ställer höga krav på modellernas precision.

Vilka faktorer påverkar verkningsgraden i en gas-turbin?
Hur fungerar lagring och transport av vätskeväte i tunga lastbilar och refuelingstationer?
Hur kan fotodrivna dearomatiseringsreaktioner påverka syntesen av komplexa polycykliska molekyler?