A Medida de Radon e Suas Propriedades: Uma Análise Profunda

Consideremos um conjunto $\mathbb{R}^n$ com uma medida $H^s$, onde $s$ é uma constante que determina o tipo de medida. Em muitos casos, $H^s$ não pode ser uma medida de Radon sobre $\mathbb{R}^n$, especialmente quando $s$ não é integral, ou quando a medida não possui a propriedade de "massa finita" dentro de subconjuntos compactos. Isso se dá pelo fato de que, para que uma medida seja de Radon, ela deve ser tanto medida completa quanto ter a propriedade de ser finita sobre conjuntos compactos. Quando consideramos $H^n$, a medida é localmente finita e, como mostrado pelo Lema IX.5.21, ela satisfaz todas as condições para ser considerada uma medida de Radon sobre $\mathbb{R}^n$. O Corolário IX.5.22 ainda nos assegura que a medida $H^n$ de qualquer conjunto aberto não nulo é positiva, o que nos leva à conclusão de que $H^n$ é uma medida de Radon válida e bem definida.

Agora, tomemos um caso mais específico, em que uma função $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é geradora de medida, ou seja, existe uma medida de Lebesgue-Stieltjes $p_F$ induzida por $F$. Nesse caso, a medida $p_F$ é uma medida de Radon sobre $\mathbb{R}$, e é "massiva" (ou seja, tem massa total positiva) se, e somente se, a função $F$ for estritamente crescente. Esse resultado é uma consequência direta de exemplos anteriores e teoremas fundamentais da teoria da medida, como o Teorema IX.4.3, o Exercício IX.5.19, e a Proposição IX.3.5. A medida de Lebesgue-Stieltjes é uma ferramenta poderosa para entender medidas derivadas de funções, como é o caso da integral de Riemann-Stieltjes, e tem aplicações em vários ramos da matemática, como a análise real e a teoria das probabilidades.

Consideremos ainda uma situação em que se define $p$ como uma medida de Radon completa em um espaço topológico $X$. A partir deste ponto, surge o Teorema 1.17, que afirma que o espaço de funções contínuas em $X$, denotado $C(X, E)$, é um subespaço vetorial do espaço de funções $L_0(X, p, E)$, onde $E$ é um espaço normado qualquer. Esse resultado é bastante relevante, pois garante que a classe das funções contínuas é suficientemente rica para ser analisada no contexto da teoria da medida, fornecendo uma correspondência entre funções contínuas e funções integráveis com relação a $p$.

Além disso, temos o Teorema de Luzin (Teorema 1.18), que apresenta uma condição muito útil sobre a continuidade das funções em espaços métricos compactos. Esse teorema nos mostra que, dado um espaço $X$ que seja $\sigma$-compacto e uma medida de Radon completa $p$ sobre $X$, é possível encontrar uma parte compacta $K$ de $X$ tal que a restrição de qualquer função $f$ pertencente a $L_0(X, p, E)$ sobre $K$ seja contínua. Este teorema não só reforça a ideia de que funções em espaços métricos compactos possuem boas propriedades de continuidade, mas também fornece um método para construir aproximações contínuas de funções mensuráveis sobre conjuntos de medida finita.

Outro aspecto relevante está na análise da convergência de sequências de funções mensuráveis. Por exemplo, o Teorema de Egorov (Exercício 13) descreve a convergência quase uniforme de uma sequência de funções $(f_j)$ para uma função $f$, no contexto de uma medida $\mu$ em um espaço de medida finita. Este teorema é de fundamental importância para a teoria da aproximação, pois garante que a convergência em $L_0$ pode ser controlada de forma que, fora de um conjunto de medida arbitrariamente pequena, a convergência seja uniforme. Esse tipo de convergência é essencial para uma série de resultados na análise funcional, especialmente na integração de funções mensuráveis.

Além disso, a teoria da medida possui uma ligação estreita com a noção de funções Baire, que são funções que, de certo modo, podem ser aproximadas por funções contínuas em espaços topológicos. Um conjunto $B$ é chamado de espaço de funções Baire se, para quaisquer funções $f$ e $g$ pertencentes a $B$, sua soma $f + g$ e supremum $\sup_j f_j$ também pertencem a $B$. O resultado de que $L_0(X, p, R)$ é um espaço de funções Baire reforça a importância da noção de funções mensuráveis e sua relação com a continuidade e a integrabilidade.

Por fim, é essencial compreender que a teoria das medidas de Radon é uma das pedras angulares da análise matemática moderna, principalmente no estudo da integração. Ela fornece as ferramentas necessárias para trabalhar com funções que não são necessariamente contínuas, mas que podem ser aproximadas por funções contínuas ou mensuráveis em um sentido adequado. É uma teoria fundamental que permeia diversas áreas da matemática, da teoria das probabilidades à geometria de medidas, e é crucial para qualquer estudo avançado de análise funcional e espaços de Banach.

Como determinar a orientabilidade de uma variedade diferenciável

Para uma variedade diferenciável $M$ de dimensão $m$, consideramos a possibilidade de definir uma forma de volume $a \in Q^m(M)$, onde $Q^m(M)$ representa o conjunto de formas diferenciais de $m$-ordem sobre $M$. O estudo da orientabilidade de $M$ envolve a verificação de condições específicas que permitam estabelecer uma relação entre as formas de volume e as orientações locais da variedade. Neste contexto, o objetivo é demonstrar que a variedade $M$ é orientável se e somente se existe uma forma de volume $a \in Q^m(M)$ tal que $a(p) = 0$ para todo ponto $p \in M$.

Consideremos uma carta local $(U, \varphi)$ de uma variedade $M$, onde $\varphi$ é uma difeomorfismo local entre um aberto $U \subset M$ e um aberto $\varphi(U) \subset \mathbb{R}^m$. Se a forma de volume $P$ é dada por $P | U = b \, dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_m$, com $b \in E(U)$, e se em algum ponto $p \in U$, $a(p) = 0$, então podemos deduzir que $P | U = f \cdot a | U$, onde $f := b / a$ pertence ao anel $E(U)$, garantindo que $f$ seja uma função suave, o que nos leva à conclusão de que $P$ é uma forma de volume bem definida.

A regularidade da variedade, isto é, a sua capacidade de ser orientável, está diretamente ligada à existência de uma forma de volume $a \in Q^m(M)$ que seja definida e suave sobre $M$. Se considerarmos $k \in \mathbb{N}$ e $M$ uma variedade $C^{k+1}$, podemos afirmar que $M$ é orientável se e somente se existe uma forma de volume $a \in Q^m(M)$ tal que $a(p) = 0$ para todo ponto $p \in M$. Este fato implica que o módulo $C^k(M)$-módulo $Q^m(M)$ é unidimensional, uma característica importante para a construção e compreensão da estrutura de orientabilidade.

A definição de orientabilidade pode também ser abordada através das cartas locais que compõem o atlas da variedade. Se $X$ e $Y$ são abertos em $\mathbb{R}^m$, dizemos que uma mudança de coordenadas $p \in \text{Diff}(X, Y)$ é orientadora ou orientadora reversa, dependendo de se o determinante da derivada de $p$, $\det d p(x)$, é positivo ou negativo, respectivamente. A variedade $M$ será orientável se, e somente se, todas as transições entre as cartas de seu atlas forem orientadoras, ou seja, se todas as funções de transição entre as cartas forem preservadoras de orientação.

Por outro lado, a questão da existência de um atlas orientado é central na prova de que uma variedade de dimensão maior que dois é orientável se, e somente se, ela possuir um atlas orientado. Para demonstrar essa propriedade, partimos da hipótese de que $M$ é orientável e $a \in Q^m(M)$ é uma forma de volume. Tomando um atlas de $M$, podemos assumir, sem perda de generalidade, que as coordenadas locais $x_1, x_2, \ldots, x_m$ são ajustadas de modo que $a(x) > 0$ para todos os $x$ de uma determinada carta $U_K$. Isso garante a continuidade da forma de volume em $M$ e, por conseguinte, a orientabilidade da variedade.

Se considerarmos a combinação de volumes sobre diferentes cartas locais $(U_k)$ de um atlas orientado, podemos definir uma partição da unidade suave subordinada a este atlas. A partir daí, é possível construir uma forma de volume que seja válida em toda a variedade, o que assegura que $M$ seja orientável. Essa construção pode ser interpretada como uma técnica de "aglomerar" as orientações locais de cada carta para obter uma orientação global, uma condição essencial para que a variedade seja orientável.

Em termos mais gerais, uma variedade orientável pode ser caracterizada pela equivalência de formas de volume. Dado que $a, b \in Q^m(M)$ são duas formas de volume, elas são equivalentes se existe uma função suave $f \in E(M)$ tal que $a = f \cdot b$ e $f(p) > 0$ para todo $p \in M$. A classe de equivalência associada a uma forma de volume $a$ é chamada de uma orientação de $M$. A orientação oposta é dada pela classe de equivalência associada à forma de volume $-a$, e é uma maneira natural de representar a inversão de orientação sobre a variedade.

Uma propriedade importante de variedades orientáveis é que uma variedade conectada de dimensão $m > 2$ tem exatamente duas orientações distintas. Isso ocorre porque, se $M$ é conectada e possui duas formas de volume $a$ e $b$, então existe uma função suave $f \in E(M)$ tal que $a = f \cdot b$. O teorema do valor intermediário assegura que $f(p)$ deve ser constante, ou seja, $f(p) > 0$ para todo $p \in M$ ou $f(p) < 0$ para todo $p \in M$, resultando em apenas duas possíveis orientações para a variedade conectada.

A importância do conceito de orientabilidade pode ser vista em diversas construções geométricas e topológicas. Por exemplo, a variedade $M \times N$ formada pelo produto de duas variedades orientáveis $M$ e $N$, sem limites, também será orientável. Esse fato é demonstrado pela construção de um atlas orientado para o produto $M \times N$, utilizando os atlases orientados de $M$ e $N$.

De maneira geral, qualquer subvariedade de uma variedade orientável, como o gráfico de uma função suave ou fibras de mapas regulares, herdará a propriedade de ser orientável, desde que as condições adequadas sejam atendidas, como o comportamento das formas de volume nas respectivas cartas locais.