Besselfunksjonene oppstår naturlig som løsninger av Bessels differensialligning, en andreordens lineær differensialligning av formen
x²y″(x) + xy′(x) + (x² − ν²)y(x) = 0.
Denne ligningen har en rik struktur og anvendelse innen matematiske fysikk, særlig i problemstillinger med sylindrisk eller sfærisk symmetri.

For å konstruere løsninger benytter vi potensrekker og egenskapene til Gammafunksjonen. Når ν ikke er et heltall, uttrykkes løsningen ved hjelp av to lineært uavhengige funksjoner: Jν(x) og J−ν(x), kjent som Besselfunksjoner av første slag. Disse er definert gjennom en uendelig rekke:
Jν(x) = ∑_{m=0}^∞ [ (−1)^m (x/2)^{2m+ν} ] / [m! Γ(ν + m + 1)].
Denne rekken konvergerer for alle reelle x, og gir mening for alle reelle og komplekse orden ν.

Dersom ν er et heltall, viser det seg at J−ν(x) ikke er lineært uavhengig av Jν(x), men faktisk J−m(x) = (−1)^m Jm(x). Dette skaper behovet for en alternativ løsning. En slik løsning konstrueres som
Yν(x) = (cos(νπ) Jν(x) − J−ν(x)) / sin(νπ),
som er godt definert for ikke-heltallige ν, men har en singularitet for heltallige ν. Likevel eksisterer grenseverdien Ym(x) = lim_{ν→m} Yν(x), og den gir en gyldig løsning som er lineært uavhengig av Jm(x).

Løsningen til Bessels ligning uttrykkes da generelt som
y(x) = c₁Jν(x) + c₂Yν(x),
der c₁ og c₂ bestemmes av randbetingelser.

En viktig egenskap er at Jν(x) er endelig ved x = 0 dersom ν er et ikke-negativt heltall, noe som gjør denne funksjonen egnet i fysiske modeller der løsningen må være regulær i origo.

Modifikasjoner av Bessels ligning, som ved innføring av en parameter λ, fører til ligninger av typen
x²y″(x) + xy′(x) + (λ²x² − ν²)y(x) = 0,
hvis løsninger er gitt ved y(x) = c₁Jν(λx) + c₂Yν(λx). Dette oppnås ved en enkel substitusjon u = x/λ, og bruk av kjerneregler for derivasjon.

Spesielle verdier av ν gir kjente lukkede former. Eksempelvis
J₁/₂(x) = √(2/πx) sin x,
J−₁/₂(x) = √(2/πx) cos x,
som illustrerer forbindelsen mellom Besselfunksjoner og trigonometriske funksjoner.

Transformasjoner og substitutionsmetoder gjør det mulig å omskrive andre differensialligninger til Bessels ligning. For eksempel kan ligningen y″(x) + k²x y(x) = 0 transformeres ved u = (2k/3)x^{3/2} til en Bessels ligning med orden ν = 1/3, og løsningen uttrykkes da som
y(x) = √x [ C₁ J₁/₃(u) + C₂ J−₁/₃(u) ].

Videre eksisterer det fundamentale identiteter som forbinder Besselfunksjonene med deres deriverte, som
d/dx [x^{ -ν} Jν(x)] = −x^{ -ν} Jν+1(x),
d/dx [x^{ν} Jν(x)] = x^{ν} Jν−1(x),
som er avgjørende i mange analytiske og numeriske sammenhenger.

Det er viktig å merke seg at både Jν(x) og Yν(x) tilfredsstiller Bessels ligning og har asymptotisk atferd som varierer sterkt med både ν og x. For store x kan de tilnærmes av oscillerende funksjoner, mens for små x dominerer potenslignende oppførsel, spesielt når ν ≠ 0.

Besselfunksjoner dukker ikke bare opp som løsninger av differensialligninger, men spiller også en sentral rolle i Fourier-Bessel-serier, i løsning av randverdiproblemer, og i analysen av svingninger i runde membraner eller bølger i sylinderkoordinater.

Hvordan analysere bølge- og varmeoverføringsproblemer i sirkulære koordinater

For å forstå og løse problemer som involverer bølgebevegelser og varmeoverføring i sirkulære koordinater, er det essensielt å benytte teknikker som involverer separasjon av variabler og løsning av Sturm-Liouville-systemer. Denne tilnærmingen har blitt anvendt på mange ingeniør- og fysikkrelaterte utfordringer, inkludert akustiske og termiske problemer i sylinderformede strukturer.

La oss vurdere et eksempel på en bølgeligning i sirkulære koordinater. Bølgefunksjonen u(ρ,ϕ,t)u(\rho, \phi, t) tilfredsstiller den partielle differensialligningen som vanligvis uttrykkes som:

∂2u∂t2=c2(∂2u∂ρ2+1ρ∂u∂ρ+1ρ2∂2u∂ϕ2)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \right)

For å løse dette, antar vi en løsning av formen u(ρ,ϕ,t)=h(t)Ψ(ρ)g(ϕ)u(\rho, \phi, t) = h(t) \Psi(\rho) g(\phi), der h(t)h(t) beskriver tidsavhengigheten, Ψ(ρ)\Psi(\rho) beskriver den radiale delen, og g(ϕ)g(\phi) representerer den azimutale vinkelen. Ved å sette inn denne løsningen i bølgeligningen, deles problemet opp i to separate Sturm-Liouville-problemer, ett for ϕ\phi og ett for ρ\rho.

For den azimutale komponenten g(ϕ)g(\phi), får vi den ligningen:

g′′(ϕ)+μg(ϕ)=0g''(\phi) + \mu g(\phi) = 0

med de periodiske randbetingelsene g(−π)=g(π)g(-\pi) = g(\pi) og g′(−π)=g′(π)g'(-\pi) = g'(\pi). Løsningene til denne differensialligningen er av sinus- og cosinus-form, hvor egenverdiene μm=m2\mu_m = m^2 og de tilsvarende egenfunksjonene er:

gm(ϕ)=amcos⁡(mϕ)+bmsin⁡(mϕ)g_m(\phi) = a_m \cos(m\phi) + b_m \sin(m\phi)

hvor mm er et heltall som kan være 0, 1, 2, osv.

Den radiale komponenten Ψ(ρ)\Psi(\rho) beskriver løsningen til et annet Sturm-Liouville-problem:

ρ2d2Ψdρ2+ρdΨdρ−m2Ψ=0\rho^2 \frac{d^2 \Psi}{d\rho^2} + \rho \frac{d\Psi}{d\rho} - m^2 \Psi = 0

med randbetingelsene Ψ(a)=0\Psi(a) = 0 og ∣Ψ(0)∣<∞|\Psi(0)| < \infty. Denne ligningen gir Bessel-funksjoner som løsninger, og de tilhørende egenverdiene er relatert til de nullpunktene av Bessel-funksjonen Jm(z)J_m(z), som betegnes som zmnz_{mn}.

Når disse komponentene er løst, kan løsningen for h(t)h(t) bestemmes ved å sette den inn i den tidsavhengige bølgeligningen. Dette gir en løsning av formen:

h(t)=cmncos⁡(λmnt)h(t) = c_{mn} \cos(\sqrt{\lambda_{mn}} t)

Sluttresultatet for den totale løsningen er derfor en superposisjon av løsningene for hver av komponentene:

u(ρ,ϕ,t)=∑n=1∞A0nJ0(λ0nρ)cos⁡(λ0nt)+∑m=1∞∑n=1∞Amn(cos⁡(mϕ)+Bmnsin⁡(mϕ))Jm(λmnρ)cos⁡(λmnt)u(\rho, \phi, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_{0n} J_0(\lambda_{0n} \rho) \cos(\sqrt{\lambda_{0n}} t) + \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} A_{mn} \left( \cos(m\phi) + B_{mn} \sin(m\phi) \right) J_m(\lambda_{mn} \rho) \cos(\sqrt{\lambda_{mn}} t)

Dette representerer en dobbel Fourier-serie i ϕ\phi og en Fourier-Bessel-serie i ρ\rho.

I tillegg til bølgeproblemer kan teknikkene beskrevet her også anvendes på varmestrømproblemer i sirkulære sylindriske koordinater. For eksempel kan et varmestrømproblem beskrives ved følgende ligning for temperaturen u(ρ,t)u(\rho, t):

∂u∂t=k(∂2u∂ρ2+1ρ∂u∂ρ)\frac{\partial u}{\partial t} = k \left( \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} \right)

med randbetingelser som kan være av Dirichlet-, Neumann- eller Robin-type. Dette gir en rekke utfordringer, fra enkel temperaturforandring i en sylinder til mer komplekse problemer som involverer varmeledning i et sylinderformet legeme under varierende forhold.

Når det gjelder varmestrømproblemene, kan de løses ved separasjon av variabler, og løsningene kan uttrykkes i form av Fourier-Bessel-serier som tilsvarer de metodene som brukes for bølgeproblemer. Det er viktig å merke seg at ved hjelp av denne metoden kan både varmeoverføring og bølgebevegelse beskrives med stor nøyaktighet ved å benytte de riktige grensene for radielle og tangensielle komponenter.

Det er viktig å forstå at både bølge- og varmestrømproblemene kan modifiseres ved å endre randbetingelsene og den spesifikke formelen for initialbetingelsene. Når for eksempel temperaturen er null ved den ytre grensen av en sylinder (Dirichlet-betingelse), eller når det er en konstant temperaturgradient (Neumann-betingelse), vil løsningene endres betydelig, men fortsatt følge de samme grunnleggende prinsippene for separasjon av variabler og superposisjon av løsninger.

For å gjøre disse beregningene mer praktiske og anvendelige i ingeniørarbeid, blir det ofte brukt numeriske metoder for å finne de spesifikke verdiene for de forskjellige koeffisientene og egenverdiene som inngår i disse løsningene. Dette er et viktig aspekt å forstå for ingeniører som arbeider med simuleringsverktøy for varmestrøm og bølgebevegelse.

Hva er impulsen og Dirac delta-funksjonen i Fourier transformasjon?

I tidligere diskusjoner har vi sett på Fourier-transformasjonens evne til å knytte funksjoner i tidsdomenet til funksjoner i frekvensdomenet. Denne forbindelsen er en av grunnpilarene i analyseverktøy som brukes innen blant annet signalbehandling og fysikk. For å forstå hvordan en funksjon kan representeres i frekvensdomenet, er det viktig å undersøke spesielle funksjoner som spiller en fundamental rolle i Fourier-analyse: impulsen og Dirac delta-funksjonen.

Impulsfunksjonen er en matematisk konstruksjon som brukes for å beskrive en "perfekt" impuls med høyde h, lokaliserbar i et svært lite område. Den er definert slik:

p(x)={hfor a−ϵ<x<a+ϵ,0ellers,p(x) =
\begin{cases} h & \text{for } a - \epsilon < x < a + \epsilon, \\ 0 & \text{ellers}, \end{cases}

hvor hh er en stor positiv konstant, a>0a > 0 er posisjonen til impulsen, og ϵ\epsilon er en liten positiv konstant som styrer bredden på impulsen. Geometrisk sett kan denne impulsen visualiseres som et svært smalt og høyt rektangel med høyde hh, som er sentrert på punktet aa i xx-aksen. Dette er illustrert i figur 7.2.

For å forstå hvordan impulsen oppfører seg under Fourier-transformasjon, kan vi beregne dens Fourier-transformasjon. Ved å bruke definisjonen av Fourier-transformasjonen og integrere funksjonen p(x)p(x), får vi et resultat som har formen:

p^(k)=h2π⋅sin⁡(kϵ)kϵe−iak.\hat{p}(k) = \frac{h}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{\sin(k \epsilon)}{k \epsilon} e^{ -iak}.

Her ser vi at for små verdier av ϵ\epsilon, når ϵ\epsilon går mot null, konvergerer impulsen til en Dirac delta-funksjon δ(x−a)\delta(x - a), som har følgende egenskaper:

δ(x−a)={∞for x=a,0ellers,\delta(x - a) = \begin{cases} \infty & \text{for } x = a, \\ 0 & \text{ellers},
\end{cases}

med den ekstra egenskapen at integralen av delta-funksjonen over hele xx-aksen er lik 1:

∫−∞∞δ(x−a) dx=1.\int_{ -\infty}^{\infty} \delta(x - a) \, dx = 1.

Dirac delta-funksjonen er ikke en vanlig funksjon, men en distribusjon. Det betyr at dens verdi ikke er definert punkt for punkt, men gjennom sin integrasjonsegenskap. Spesielt, for en hvilken som helst kontinuerlig funksjon f(x)f(x), har delta-funksjonen den egenskapen at:

∫−∞∞f(x)δ(x−a) dx=f(a).\int_{ -\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - a) \, dx = f(a).

Dette gir oss et kraftig verktøy i analyse av fysiske og tekniske systemer, hvor vi kan representere en ideell punktimpuls og utføre integrasjoner som involverer delta-funksjonen.

Som vi har sett, kan Dirac delta-funksjonen også uttrykkes som en grenseverdi av impulsen p(x)p(x) når ϵ\epsilon går mot null. Mer spesifikt, når høyden hh til impulsen reduseres til 12ϵ\frac{1}{2\epsilon}, og bredden ϵ\epsilon blir svært liten, får vi delta-funksjonen i form av:

δ(x−a)=lim⁡ϵ→0p(x).\delta(x - a) = \lim_{\epsilon \to 0} p(x).

Derfor kan impulsen p(x)p(x) betraktes som en tilnærming til delta-funksjonen, og dette gir oss en måte å forstå hvordan distribusjoner som delta-funksjonen kan brukes i praktiske beregninger.

I tillegg til å være et kraftig verktøy i signalbehandling, har Dirac delta-funksjonen og impulsfunksjonen viktige egenskaper som gjør dem nyttige i fysikk og ingeniørfag. For eksempel, i kvantefysikk, kan delta-funksjonen brukes til å modellere tilstandsendringer som skjer på et punkt i rommet. I signalbehandling kan delta-funksjonen representere et uendelig kort impulssignal, og brukes til å analysere systemers respons på slike signaler.

Når vi ser på det praktiske aspektet av delta-funksjonen i Fourier-analyse, er det viktig å merke seg dens egenskaper under skalering. For en konstant aa, har delta-funksjonen den nyttige skaleringsegenskapen:

δ(ax)=1∣a∣δ(x).\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x).

Dette er en viktig egenskap i mange anvendelser, fordi det gjør det mulig å håndtere forandringer i skala i ulike systemer.

I tillegg til denne egenskapen, er det også viktig å forstå at delta-funksjonen ikke er begrenset til én dimensjon. Generaliseringen av delta-funksjonen til flere variabler gir oss muligheten til å analysere systemer i høyere dimensjoner, for eksempel i elektromagnetiske feltteorier eller i strømninger i væsker.

Så, for å oppsummere, spiller både impulsen og Dirac delta-funksjonen en uunnværlig rolle i Fourier-transformasjon og distribusjonsteori. De gir oss et kraftig sett med verktøy for å analysere og forstå systemer i både fysikk og ingeniørfag. Deres egenskaper er fundamentale for mange anvendelser innenfor signalbehandling, kvantefysikk og mange andre områder, og de danner et grunnlag for mer komplekse transformasjoner og analyser som brukes i vitenskap og teknologi.

Hvordan nullmodene påvirker fluktuasjoner i magnetiske systemer
Hvordan kan vi forstå de førkristne gudinnene i den tidlige germanske verden?
Hva må til for å kjøre Windows 11 på din enhet?
Hvordan opprettholdes rørledningsintegritet i praksis?
Fysisk aktivitet på tegnetimer
Testing av elevers kunnskaper om brannsikkerhet
Designprosjekt for barnehage lekeplass MDNU № 83
Forklarende notat og eksamensoppgaver i faget teknologi for 5. klasse (jenter)
Arbeidstimer MBOU «Sekundær skole № 19 med fordypning i enkelte fag» for registrering av utenlandske statsborgere (ukrainske borgere) for eksamensregistrering № p/p Ansvarlig person Mottaksdager Mottakstidspunkt Romnummer 1. Svetlana Aleksandrovna Prozorova Tirsdag 17.00-18.00 105 Registreringsprosedyre for utenlandske statsborgere (ukrainske borgere) ved MBOU «Sekundær skole № 19 med fordypning i enkelte fag» Registrering kan kun utføres med gyldig ID-dokument, medisinsk sertifikat bekreftet av UFMS, og kopi av migrasjonskort i rom 105 på tirsdager fra 17.00 til 18.00. Søker sender inn søknad i fastsatt skjema. Søker inngår en tjenesteavtale i to eksemplarer og mottar kvittering for betaling. Søker blir informert om tid og sted for eksamen. På eksamensdagen møter søker med følgende dokumenter: a) kvittering for betaling av tjenesten; b) tjenesteavtale.