I fysikkens verden er fluktuasjoner et grunnleggende konsept som forklarer små variasjoner i systemer, spesielt i forbindelse med brudd på symmetri. Når et system er i en tilstand der symmetrien er brutt, vil det ofte oppstå såkalte nullmodene – tilstander hvor fluktuasjoner kan forekomme uten at systemet mister energi. Dette fenomenet er tett knyttet til Goldstone-modene, som beskriver de frie bevegelsene i retningene hvor symmetrien er brutt.

Fluktuasjoner i systemer med brutt symmetri er ikke bare en teoretisk konstruksjon, men har direkte fysiske konsekvenser. Når man studerer systemer som spin-modeller, som for eksempel X-Y-modellen, blir effekten av disse nullmodene synlig i hvordan magnetiseringens fluktuasjoner endrer seg. I X-Y-modellen er spinnelementene representert på en enhetssirkel i hvert latticepunkt, og det er i denne modellen at vi kan observere hvordan fluktuasjonene rundt et mean-field-løsning, som et spesifikt parameterisert punkt på enhetssirkelen, gir innsikt i systemets oppførsel.

Når man studerer kvadratiske fluktuasjoner i slike systemer, som ved hjelp av Landau-Ginzburg-modellen for partition-funksjoner, kan man se at fluktuasjonene kan deles opp i to kategorier: longitudinelle fluktuasjoner, som påvirker magnetiseringen, og transversale fluktuasjoner, som virker på spinnekomponentene uten å endre magnetiseringen direkte. De longitudinelle fluktuasjonene, som korresponderer til endringer i magnetiseringen, har et positivt masseterm og koster energi i langbølgelengdegrensen. Derimot har de transversale fluktuasjonene, som representerer spin-bølge-moden, null masse og koster ikke energi når bølgelengden er lang.

Denne distinksjonen mellom longitudinelle og transversale fluktuasjoner gir en dyptgående innsikt i hvordan systemet tilpasser seg endringer i ytre felt eller interne symmetribrudd. Når et system er underlagt et ytre felt, kan det kobles til ordensparameteren, som påvirkes av fluktuasjonene i systemet. For dimensjoner større enn to (D ≥ 2), vil transversale fluktuasjoner føre til konvergens i den korrelasjonsfunksjonen, og systemet forblir magnetisk ordnet. Derimot, for D < 2, vil fluktuasjonene divergere og ødelegge den langtrekkende orden i systemet.

En viktig konsekvens av dette er Mermin-Wagner-teoremet, som fastslår at for et a-vektormodell med n > 2, er den laveste kritiske dimensjonen for opprettholdelse av magnetisk orden 2. Det betyr at i dimensjoner lavere enn 2 vil systemet spontant bryte ned i domener av forskjellige tilstander, et resultat av den konkurrerende effekten mellom intern energi og entropi.

I magnetiske systemer kan man forstå den kritiske dimensjonen mer generelt ved å vurdere domeneveggene som oppstår når systemet bryter symmetrien. Når en system har flere mulige konfigurasjoner som svarer til en brutt symmetri, vil systemet spontant dele seg opp i domener, som hver har lavere energi på grunn av høy entropi. Dette kan føre til at systemet ikke lenger er magnetisk ordnet, men i stedet bryter opp i flere domener, spesielt ved lave temperaturer hvor entropien dominerer.

For et system som beskrevet, hvor magnetiseringens fluktuasjoner oppstår ved brudd på kontinuerlig symmetri, kan det være viktig å merke seg hvordan slike fluktuasjoner kan ha dramatisk forskjellige effekter avhengig av dimensjonen til systemet. For eksempel, ved dimensjoner lavere enn 2, er det ikke bare effekten av nullmodene som spiller en rolle, men også hvordan de interne domeneveggene kan endre systemets totale energibeholdning, og dermed føre til at systemet bryter ned i flere små, uordnede regioner.

Det er essensielt å forstå at for lavere dimensjoner, spesielt i systemer med vektorspin, spin-bølger kan fullstendig ødelegge den langtrekkende orden i systemet, og dermed bryte ned de antatte ordnede tilstandene som forutsatt av mean-field-teorien. Dette gir en nyttig innsikt i de fysiske mekanismene som ligger bak symmetribrudd og fluktuasjoner, som er uunnværlige for å forstå fysiske fenomener i lavdimensjonale systemer.

Hvordan Generere Gaussiske Fordelinger og Bruke Markov Prosesser i Samplingsmetoder

For mange praktiske applikasjoner er det nødvendig å bruke tilfeldige tall som følger en Gaussisk fordeling. Et konkret eksempel på dette er den numeriske metoden for å generere tilfeldige tall med en Gaussisk fordeling, som er essensielt i en rekke beregningsområder. Gaussiske fordelinger er grunnleggende i både statistikk og fysikk, og det finnes flere metoder for å generere slike tilfeldige tall.

En av de mest kjente metodene er Box-Muller-metoden, som benytter polarkoordinater. Denne metoden bruker to uavhengige uniformt fordelte tilfeldige variabler, ww og BB, som deretter transformeres til to Gaussisk fordelte tilfeldige variabler, zz og yy, via følgende likninger:

z=p⋅cos⁡(θ),y=p⋅sin⁡(θ)z = p \cdot \cos(\theta), \quad y = p \cdot \sin(\theta)

hvor pp er en radianavstand som følger en eksponentiell fordeling, og θ\theta er en tilfeldig vinkel i intervallet [0, 2π2\pi]. Denne metoden er nyttig når man trenger å generere to uavhengige Gaussiske variabler i en enkel og effektiv prosess.

En alternativ metode for å generere Gaussiske fordelinger er å bruke den sentrale grenseverditeoremet, som sier at summen av et tilstrekkelig stort antall uavhengige og identisk fordelte tilfeldige variabler vil konvergere til en normalfordeling, uavhengig av den opprinnelige fordelingen. Et vanlig valg er å bruke summen av 12 uniformt fordelte tilfeldige variabler på intervallet [0, 1]. Denne summen har et gjennomsnitt på 6 og en varians på 1, og etter å ha subtrahert gjennomsnittet, vil resultatet være tilnærmet Gaussisk fordelt med gjennomsnitt 0 og varians 1.

En annen teknikk som ofte benyttes er von Neumann's avvisningsmetode. Denne metoden er basert på geometrisk fordeling, og fungerer ved at man genererer tilfeldige punkter i et område under en funksjon F(z)F(z), og kun aksepterer de som ligger under en annen funksjon B(z)B(z), som representerer den ønskede sannsynlighetsfordelingen. Hvis punktet oppfyller kravet P(z)≤F(z)P(z) \leq F(z), blir det akseptert. Denne metoden er effektiv når F(z)F(z) er enkel å beregne og ligger nært den ønskede fordelingsfunksjonen.

Markov Prosesser og Sampling

Et Markov-prosess er en sekvens av tilfeldige variabler z(n)z^{(n)}, hvor sannsynligheten for at systemet befinner seg i tilstand z(n+1)z^{(n+1)} avhenger kun av tilstanden i forrige steg z(n)z^{(n)}, og ikke på tilstandene før det. Denne egenskapen kalles hukommelsesløshet og er fundamentet for Markov-kjeder. For å generere tilfeldig distribuerte variabler i henhold til en gitt sannsynlighetsfordeling e−S(z)e^{ -S(z)}, er det tilstrekkelig at Markov-kjeden har tilgang til alle konfigurasjoner i systemet og tilfredsstiller mikro-reversibilitetsbetingelsen.

Mikro-reversibilitet betyr at for en gitt tilstand zz, må prosessen kunne gå frem og tilbake med lik sannsynlighet, altså P(z→y)=P(y→z)P(z \rightarrow y) = P(y \rightarrow z). Denne betingelsen sikrer at kjeden etter hvert konvergerer til den ønskede fordelingen. En praktisk anvendelse av Markov-prosesser i statistisk mekanikk er for eksempel å modellere termiske bevegelser av atomer i et system ved hjelp av en "varmebad" algoritme. Her er målet å oppnå termisk likevekt for et system med mange frihetsgrader, for eksempel atomene i et krystallgitter.

Metropolis Algoritmen

Metropolis-metoden, utviklet av Metropolis, Rosenbluth og Teller, er en av de mest brukte algoritmene for å generere Markov-kjeder som konvergerer mot en ønsket distribusjon. Metoden fungerer ved å foreslå en ny tilstand z′z' for en gitt variabel i kjeden. Den nye tilstanden blir akseptert med en sannsynlighet som er proporsjonal med forholdet mellom den gamle og den nye tilstandens verdi av aksjonen, SS, som bestemmer sannsynlighetsfordelingen:

P(z′→z)=min⁡(1,e−S(z′)e−S(z))P(z' \rightarrow z) = \min\left(1, \frac{e^{ -S(z')}}{e^{ -S(z)}}\right)

Dersom aksjonen reduseres (det vil si at S(z′)<S(z)S(z') < S(z)), aksepteres den nye tilstanden alltid. Hvis aksjonen øker, blir den nye tilstanden kun akseptert med en sannsynlighet som er eksponentielt relatert til aksjonsforskjellen.

Viktige Betraktninger

Det er flere faktorer som er viktige å forstå når man jobber med Gaussiske fordelinger og Markov-prosesser. En sentral forståelse er at konvergensen til ønsket fordeling kan være avhengig av hvordan algoritmene er implementert. For eksempel kan valget av skrittstørrelse i Metropolis-metoden påvirke hvor raskt kjeden konvergerer til den ønskede fordelingen. Et for lite skritt vil føre til langsom utforsking av tilstandsrommet, mens et for stort skritt kan føre til at for mange forsøk blir avvist.

I tillegg er effektiviteten av avvisningsmetoden avhengig av hvordan den valgte funksjonen F(z)F(z) er valgt. Hvis F(z)F(z) er for langt fra den ønskede distribusjonen, vil metoden være ineffektiv, og de fleste punktene vil bli avvist. Derfor er det viktig å finne en funksjon som er lett å evaluere og som gir en god tilnærming til den distribusjonen som skal samples.

Sammenfattende er det essensielt å ha en god forståelse av hvordan forskjellige teknikker for generering av tilfeldige tall og Markov-kjeder fungerer, og hvordan de kan brukes for å oppnå ønskede sannsynlighetsfordelinger i praktiske anvendelser.

Hvordan gjøre fremdrift og overvinne hindringer på vei til dine mål?
Hvordan maskinlæring transformerer strukturell design og materialvurdering i ingeniørfagene
Hvordan analysere og beregne kritiske laster i sandwichkonstruksjoner
Hva kan vi lære fra Dürers detaljerte studier av naturen?