Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
I kvantemekanikk, spesielt når man studerer kvantemekaniske systemer, er det viktig å ha en dyp forståelse av hvordan operatører fungerer på tilstandene i et gitt rom. En sentral del av dette er representasjonen av ccr (canonical commutation relations), som beskriver hvordan heve- og senkeoperatører virker på tilstandene i et kvantemekanisk system. En av de mest grunnleggende typene representasjoner av disse operatørene er den såkalte s-klasserepresentasjonen.
S-klasserepresentasjoner er av stor betydning fordi de gir en systematisk måte å forstå operatørers virkning på kvantesystemer på, og de gir også et rammeverk for å forstå hvordan ulike matematiske strukturer, som vektorrom og topologiske rom, interagerer i kvantemekanikkens matematiske grunnlag.
En viktig observasjon er at rommet kan representeres som en algebraisk direkte sum, der hvert delrom er en kopi av de komplekse tallene . Dette rommet, som vi refererer til som , får sin topologi gjennom en lokal konveks direkte sum, som gir et finere rammeverk for å forstå kontinuiteten til operatører som heve- og senkeoperatører. Denne topologien kalles -topologien, og de seminormene som definerer denne topologien er gitt ved , hvor er en positiv sekvens.
Ved å bruke denne topologien, kan man vise at s-klasserepresentasjonene av ccr er sammenhengende med den algebraiske strukturen i rommet, og at heve- og senkeoperatørenes virkninger på tilstandene kan overføres uten å påvirke positiviteten i representasjonen. Dette betyr at representasjonene er kontinuerlige, noe som gir oss en matematisk robust måte å beskrive kvantemekaniske systemer på.
I et mer fysisk perspektiv kan vi tenke på representasjonen av ccr som en form for polynomisk algebra i en enkelt uavhengig variabel , hvor det finnes en isomorfisme mellom den symmetriske tensoralgebraen og algebraen av polynomer i . Denne forbindelsen peker mot en fri formulering av modellen, noe som kan være nyttig for å forstå den fysiske modellen på en mer fundamental måte.
Videre viser det seg at s-klasserepresentasjoner av ccr har en naturlig relasjon til Hilbertrom og Fre'chet-rom. For hver representasjon kan man definere et Hilbert-rom som er fullført i en -norm, og dermed får man et rom som er et rigget trippel. Dette innebærer at rommet kan tolkes både som et topologisk vektorrom og som et rom for operatørers kontinuitet. Gjennom dette rammeverket får vi en dypere forståelse av hvordan kvantemekaniske operatører virker på tilstandene i et kvantesystem, og hvordan disse operatørene kan analyseres i et topologisk og algebraisk perspektiv.
Samtidig er det viktig å merke seg at det er ulike typer representasjoner som kan brukes avhengig av hva som kreves for en bestemt fysisk situasjon. Den såkalte "maximale representasjonen", som representerer en fullført og utvidet versjon av en s-klasserepresentasjon, har vist seg å være svært nyttig i mange sammenhenger. Denne representasjonen tillater en fullstendig beskrivelse av systemet, og gir en måte å analysere systemet på, der man også kan håndtere operatører som heve- og senkeoperatører.
I fysikken er representasjonen som ble introdusert av Heisenberg, og senere videreutviklet av Born og Jordan, en av de mest kjente. Denne representasjonen kalles "matrise-mekanikk", og gir en diskret representasjon av kvantemekaniske observabler som opererer på et diskret sett av kvantetilstander. Det er viktig å merke seg at denne representasjonen er relatert til s-klasserepresentasjoner, men i en mer spesifikk sammenheng som er mer fysisk intuitiv.
På den annen side, når man ser på representasjonene som ikke er nødvendigvis sykliske, det vil si de som ikke oppfyller Fock-betingelsen, får man såkalte "reduserbare representasjoner". I slike representasjoner kan det være flere normaliserte vektorer som er "annihilert" av senkeoperatørene, noe som gir en mer generell og fleksibel beskrivelse av kvantesystemene.
For å oppsummere, er s-klasserepresentasjoner fundamentale i forståelsen av kvantemekaniske systemer og deres operatører. Disse representasjonene gir oss en måte å beskrive hvordan kvantemekaniske observabler virker på tilstandene i systemet, og de gir oss et rammeverk for å forstå hvordan ulike matematiske objekter, som vektorrom og operatører, er relatert til hverandre på et dypt nivå. Gjennom s-klasserepresentasjoner og deres forbindelser til Hilbertrom og Fre'chet-rom får vi en solid matematisk grunnlag for å analysere kvantesystemer, noe som er avgjørende for videre utforskning av kvantemekanikkens fysikk.
Hva er en Lokalt Multiplikativt Konveks Algebra?
En topologisk algebra hvor topologien kan defineres ved en familie av submultiplikative seminormer kalles en lokalt multiplicativt konveks algebra, ofte forkortet til IMC-algebra. Fra den foregående proposisjonen ser vi at vi kan finne et basis for naboene til origo i en IMC-algebra som består av idempotente tønner. Videre ser vi at produktet i algebraen er kontinuerlig. Denne klassen ble introdusert av Arens, og den grunnleggende struktursatsen ble funnet av Michael. En viktig observasjon som leseren kanskje husker, er at hvert fullstendig lokalt konveks rom E kan representeres som det prosjektive grensen av Banach-rom. Disse Banach-rommene er lukningene i kvotientnormen til JE/p-1(0), hvor p går over en definert familie av seminormer.
Satsen forteller oss at disse Banach-rommene kan betraktes som algebrar, men dette gjelder ikke nødvendigvis for alle lokalt konvekse algebrer. Michael og Arens’ teorem sier at hver fullstendig IMC-algebra er det prosjektive grensen til Banach-algebraer. Dette er en bemerkelsesverdig egenskap som gir oss dypere innsikt i strukturen av IMC-algebraer.
Et konkret eksempel på en IMC-algebra er C(X), den enhetlige abelske algebraen av kontinuerlige komplekse funksjoner fra en Hausdorff, α-komplett og lokalt kompakt rom X. Når vi utstyrer C(X) med den kompakte åpne topologien, som er definert ved en familie av seminormer som , blir C(X) en fullstendig IMC-algebra. Denne algebraen er en Frechet IMC-algebra hvis og bare hvis X har en tellbar totalfamilie av kompakte mengder. Denne egenskapen er kjent som hemikompatibilitet. Videre er C(X) en Banach-algebra hvis og bare hvis X er kompakt.
Det er viktig å merke seg at normerte algebrer har vært det mest utforskede feltet innenfor algebraisk teori, spesielt underklassene av C*-algebrer og W*-algebrer. Disse algebrene spiller en spesiell rolle i teorien om operatorer og funksjonalanalyse, men er ikke alltid nødvendige for vår forståelse av IMC-algebrer.
For å illustrere dette ytterligere, kan vi se på et eksempel med Banach-algebraer. For enhver Banach-algebra , er det alltid mulig å finne en ekvivalent norm som er submultiplikativ. Det betyr at for alle elementer og i algebraen, er . Hvis algebraen er enhetlig, kan normen velges slik at , hvor e er enheten i algebraen. Dette resultatet er fundamentalt for Banach-algebrer og gjelder også for *-algebrer, som kan inneholde involusjoner.
Et annet spennende eksempel er gruppen L¹(G), som representerer en Banach-algebra for en lokalt kompakt gruppe G. Denne algebraen defineres som mengden av ekvivalensklasser av funksjoner som er absolutt integrerbare med hensyn til den venstre Haar-målingen på gruppen. Produktet i denne algebraen defineres som konvolusjonen av funksjonene, og involusjonen bestemmes ved kompleks konjugering. Gruppens algebra er en B*-algebra og er abelsk hvis og bare hvis gruppen er abelsk. En viktig egenskap er at dens ikke-degenererte representasjoner er i en-til-en korrespondanse med de svakt kontinuerlige enhetlige representasjonene av gruppen.
En annen klasse av algebrer som er verdt å merke seg, er Cauchy-konvolusjonsalgebrer, som kan konstrueres fra visse sekvensrom. Et sekvensrom er et kompleks vektorrom med punktvis addisjon og skalarmultiplikasjon. Når et sekvensrom er lukket under Cauchy-konvolusjonsproduktet, kalles det en Cauchy-konvolusjonsalgebra. Eksempler på slike algebrer er de som er både Frechet og nukleære, som de LP-rommene hvor , samt de holomorfe rommene.
Hva er så det essensielle som bør forstås av leseren? For å virkelig forstå IMC-algebrers natur, er det viktig å se på de underliggende strukturer som definerer dem, som submultiplikative seminormer og de topologiske egenskapene som gjør disse algebraene anvendelige i forskjellige matematiske sammenhenger. Videre er det nødvendig å være oppmerksom på at IMC-algebrer ikke nødvendigvis følger de samme reglene som mer kjente klasser som Banach- eller C*-algebrer. Forskjellene kan virke subtile, men de har dype konsekvenser for hvordan disse algebraene kan anvendes i videre matematisk teori og anvendelser.