Hoe kunnen we de wrijvingsfactor voor stationaire laminaire stroming in kanalen berekenen?

De oplossing van de differentiaalvergelijking die de stroming in een kanaal beschrijft, kan op twee manieren worden benaderd: direct of via de Fourier-transformatie (FFT). Laten we beide methoden in detail bekijken en vervolgens enkele specifieke gevallen, zoals het geval van elliptische kanalen, bespreken.

De directe oplossing van de vergelijking voor stationaire laminaire stroming in een kanaal kan worden verkregen door de vergelijking twee keer te integreren. Dit leidt, onder de voorwaarde van een Dirichlet-grensvoorwaarde, tot het snelheidsprofiel:

U(y) = \frac{1}{2}(1 - y^2)

Het gemiddelde van de snelheid wordt vervolgens berekend als:

\langle U \rangle = \int_0^1 \frac{1}{2}(1 - y^2) \, dy = \frac{1}{3}

Op basis van dit resultaat kunnen we de wrijvingsfactor (f) voor de Reynoldsgetal (Re) als volgt berekenen:

f_{Re} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}

Deze direct benaderde oplossing levert een eenvoudig inzicht in het snelheidsprofiel en de bijbehorende wrijvingsfactor voor het geval van een recht kanaal met platte platen.

Een alternatieve benadering maakt gebruik van de Fourier-transformatie, waarbij de eigenschapsvergelijking voor parallelle platen wordt uitgedrukt als:

L\psi = \frac{d^2\psi}{dy^2} = -\lambda \psi, \quad \psi(y = \pm1) = 0

De oplossing van deze vergelijking levert een reeks van eigenwaarden en genormaliseerde eigenfuncties, wat het mogelijk maakt om het snelheidsprofiel in termen van deze eigenfuncties uit te drukken. Het gemiddelde van deze eigenfuncties is gerelateerd aan de Fourier-coëfficiënten, die de wrijvingsfactor uiteindelijk ook kunnen opleveren:

\langle U \rangle = \frac{1}{3}

Dit resultaat komt overeen met de directe oplossing, wat de consistentie van beide benaderingen bevestigt.

Naast deze twee benaderingen is er ook het geval van elliptische kanalen, dat we in meer detail kunnen analyseren. Stel dat we een kanaal hebben met een elliptische doorsnede, waarvan de transversale domein wordt gegeven door de vergelijking:

\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} \leq 1, \quad -a \leq y \leq a, \quad -b \leq z \leq b

waarbij $a$ en $b$ de halve aslengtes zijn van de ellips, en $\sigma = ab$ de aspectverhouding is (met $\sigma = 1$ voor een cirkel). De stromingssnelheid in dit geval kan worden uitgedrukt als:

u_x = \beta \left( 1 - \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} \right)

Na het oplossen van de momentumvergelijking voor dit geval, kunnen we het gemiddelde van de snelheid berekenen en de bijbehorende wrijvingsfactor vinden:

f_{Re} = \frac{8}{24} = 1

Dit resultaat is vergelijkbaar met de wrijvingsfactor voor een rechthoekig kanaal, maar het is specifiek voor het geval van een elliptisch kanaal. De wrijvingsfactor kan voor dit geval worden uitgedrukt als een functie van de aspectverhouding $\sigma$ , en is symmetrisch rond $\sigma = 1$ , wat betekent dat voor $\sigma \to \infty$ de waarde van de wrijvingsfactor naar een limietwaarde neigt. Dit wordt bevestigd door de gedrag van de functie $E(\sigma)$ , die de integraal van de omtrek van de elliptische sectie beschrijft.

De formule voor de wrijvingsfactor in een elliptisch kanaal kan verder worden vereenvoudigd als:

f_{Re} = \frac{32}{\pi^2} \left( 1 + \frac{1}{\sigma^2} \right) \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - (1 - \sigma^2) \sin^2 \theta} \, d\theta

waar $E(\sigma)$ de zogenaamde elliptische integraal is, die de vorm van de kanaalomtrek bepaalt. Het gedrag van de wrijvingsfactor is afhankelijk van de waarde van de aspectverhouding $\sigma$ . Het resultaat toont aan dat wanneer $\sigma \to \infty$ , de wrijvingsfactor nadert naar een asymptotische waarde.

Voor specifieke waarden van $\sigma$ kunnen we de wrijvingsfactor numeriek berekenen en plotten, zoals weergegeven in de grafiek van Figuur 27.2, die de wrijvingsfactor als functie van de aspectverhouding $\sigma$ toont. De resultaten laten zien dat de wrijvingsfactor het kleinst is voor een circulaire sectie ( $\sigma = 1$ ) en toeneemt voor zowel kleine als grote waarden van $\sigma$ .

Belangrijk is dat de wrijvingsfactor een fundamentele rol speelt in de stromingsweerstand binnen een kanaal. Hoe hoger de wrijvingsfactor, hoe groter de energie die verloren gaat door viskeuze effecten, wat essentieel is voor de berekening van de efficiëntie in vele engineeringtoepassingen, zoals in pijpleidingen en reactoren. Het begrijpen van deze relatie helpt ingenieurs bij het ontwerpen van efficiëntere systemen en bij het optimaliseren van de prestaties van stromingsapparatuur.

Hoe de Determinant van een Matrix Te Berekenen: Een Diepgaande Analyse

In de lineaire algebra is de determinant een fundamentele functie van een vierkante matrix. Het biedt waardevolle informatie over de eigenschappen van de matrix, zoals of de matrix omkeerbaar is en hoe deze zich gedraagt bij transformaties. In deze sectie worden verschillende eigenschappen van de determinant besproken en methoden geïntroduceerd die kunnen helpen bij het berekenen van de determinant van een matrix.

Een van de basisregels is dat als we alle elementen in een rij (of kolom) van een matrix met een constante factor $\alpha$ vermenigvuldigen, de determinant ook met $\alpha$ wordt vermenigvuldigd. Dit kan als volgt worden geformuleerd: als rij $i$ wordt vermenigvuldigd met $\alpha$ , dan verandert de determinant door een factor $\alpha$ . Dit betekent dat de determinanten van gemodificeerde matrices eenvoudig kunnen worden afgeleid door rekening te houden met de effecten van rijveranderingen.

Een andere belangrijke eigenschap is dat wanneer rij $j$ met een constante $\alpha$ (waarbij $\alpha \neq 0$ ) wordt vermenigvuldigd en vervolgens wordt toegevoegd aan rij $i$ , de determinant ongewijzigd blijft. Dit volgt uit de lineariteit van de determinant, wat betekent dat rij-operaties die geen vermenigvuldiging met een andere rij inhouden, de waarde van de determinant niet veranderen. Het is essentieel om deze eigenschap te begrijpen bij het gebruik van rij-operaties om de matrix te vereenvoudigen bij het berekenen van de determinant.

Als de matrix een driehoekige vorm heeft, bijvoorbeeld een bovenste of onderste driehoekige matrix, kan de determinant eenvoudig worden berekend als het product van de elementen op de hoofddiagonaal. Dit komt doordat de overige elementen nul zijn, wat de berekening aanzienlijk vereenvoudigt. In dit geval is de determinant gelijk aan het product van de niet-nul elementen op de diagonale lijn.

Wanneer we te maken hebben met elementaire matrices die zijn afgeleid van een identiteit matrix $I_n$ , kunnen we de determinanten van dergelijke matrices ook eenvoudig berekenen. De determinant van de identiteit matrix is altijd gelijk aan 1, en de determinanten van elementaire matrices worden berekend op basis van de rijoperaties die erop zijn toegepast: voor ruilen van rijen is de determinant $-1$ , voor vermenigvuldigen van een rij met een constante $k$ is de determinant $k$ , en voor rijoperaties van type 3 blijft de determinant onveranderd, oftewel gelijk aan 1.

Een ander nuttig hulpmiddel bij het berekenen van determinanten is de zogenaamde pivoteringscondensatie (pivotal condensation). Dit is een algoritme waarbij we elementaire rij-operaties gebruiken om de matrix te reduceren tot een driehoekige vorm. Bij elke stap van het proces wordt de determinant aangepast op basis van de toegepaste rij-operatie. Dit maakt de uiteindelijke berekening van de determinant als het product van de diagonale elementen veel gemakkelijker.

Het idee achter het berekenen van de determinant door middel van Laplace expansie is eveneens cruciaal. Dit houdt in dat we de determinant van een matrix kunnen berekenen door de cofactoren van een rij of kolom te nemen. De cofactor van elk element is de determinant van de matrix die ontstaat door die rij en kolom te verwijderen, vermenigvuldigd met een tekenfactor afhankelijk van de positie van het element in de matrix. Dit proces maakt het mogelijk om de determinant op te splitsen in kleinere determinanten, wat de berekening vereenvoudigt voor grotere matrices.

Naast de cofactoren kunnen we ook de klassieke adjungeren van een matrix gebruiken. De adjungeren van een matrix is de matrix die we verkrijgen door voor elk element de bijbehorende cofactoren te nemen en deze vervolgens te transponeren. Dit heeft belangrijke toepassingen bij het berekenen van de inverse van een matrix, vooral wanneer de determinant niet nul is. Als de determinant van een matrix $A$ niet nul is, dan bestaat de inverse van $A$ en kan deze worden berekend als de matrix $A^{ -1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)$ .

Ten slotte moeten we begrijpen dat de determinant van een product van twee matrices gelijk is aan het product van de determinanten van de individuele matrices. Dit betekent dat, gegeven twee matrices $A$ en $B$ , de determinant van het product $AB$ gelijk is aan $\text{det}(A) \times \text{det}(B)$ . Dit kan nuttig zijn bij het vereenvoudigen van berekeningen, vooral in toepassingen waar we met matrixvermenigvuldigingen werken.

De bovenstaande principes kunnen dus dienen als bouwstenen voor een gedetailleerd begrip van de determinant en kunnen helpen bij het oplossen van veel problemen in de lineaire algebra. Het is belangrijk om te begrijpen hoe rij-operaties de determinant beïnvloeden, hoe we de Laplace-expansie kunnen toepassen, en hoe we gebruik kunnen maken van de adjungeren en het product van matrices om de determinant efficiënt te berekenen.

Hoe determinanten en lineaire algebra concepten worden gebruikt in de wiskunde en natuurwetenschappen

Determinanten spelen een fundamentele rol in lineaire algebra, en hun toepassingen reiken verder dan alleen de wiskunde. Ze zijn essentieel voor het oplossen van lineaire systemen van vergelijkingen, het begrijpen van de stabiliteit van systemen in de natuurkunde en het beschrijven van geometrische objecten zoals vlakken en cirkels. In dit hoofdstuk bespreken we een aantal belangrijke toepassingen van determinanten en hun rol in het analyseren van systemen, zowel in de wiskunde als in natuurwetenschappelijke contexten.

Eén van de centrale toepassingen van determinanten komt naar voren bij de oplossing van lineaire homogene vergelijkingen van de vorm $Ax = 0$ , waarbij $A$ een vierkante matrix is en $x$ een vector van onbekenden. Het is een bekend resultaat dat een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor het bestaan van een niet-triviale oplossing van het systeem $Ax = 0$ is dat de determinant van de matrix $A$ gelijk is aan nul, oftewel $\text{det}(A) = 0$ . Dit volgt uit de eigenschap van determinanten dat een matrix zonder een inversie (d.w.z. met determinant nul) niet-inverteerbaar is, en dus slechts triviale oplossingen mogelijk zijn.

Een ander belangrijk voorbeeld is het gebruik van determinanten in de analyse van de stabiliteit van fysische systemen, zoals de zogenaamde neutrale stabiliteitcurves die de opkomst van convectie in een verhit vloeistoflaag beschrijven. In deze context worden determinanten gebruikt om de relatie tussen parameters zoals de Lewis-getal, de Rayleigh-getallen voor temperatuur en concentratie en de golfgetal $k$ te begrijpen. Dit heeft toepassingen in de studie van vloeistofdynamica en convectieprocessen, die van cruciaal belang zijn in de natuurkunde en de techniek.

Determinanten zijn ook van cruciaal belang in de geometrie, waar ze helpen bij het afleiden van de vergelijkingen van geometrische objecten zoals vlakken en cirkels. Bijvoorbeeld, de vergelijking van een vlak dat door drie punten $(x_i, y_i, z_i)$ , $i = 1, 2, 3$ , gaat, kan worden uitgedrukt als een determinant die de coördinaten van deze punten bevat. Dit biedt een elegante manier om de ruimtelijke eigenschappen van het vlak te beschrijven zonder het expliciet op te lossen met lineaire vergelijkingen.

Daarnaast biedt de theorie van lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid belangrijke inzichten voor de studie van vectorruimten en hun dimensies. In een vectorruimte wordt een set vectoren $\{u_1, u_2, \dots, u_r\}$ lineair onafhankelijk genoemd als de enige oplossing van de lineaire combinatie $c_1u_1 + c_2u_2 + \dots + c_ru_r = 0$ de triviale oplossing is, waarbij alle $c_i$ nul zijn. Dit is van groot belang in de analyse van lineaire systemen en in de constructie van basisvectoren voor vectorruimten. Als de vectoren lineair afhankelijk zijn, kunnen ze worden uitgedrukt als lineaire combinaties van elkaar, wat de dimensie van de ruimte verlaagt.

Bijvoorbeeld, als we de vectoren $u_1 = (1, 2)$ en $u_2 = (3, 5)$ in $\mathbb{R}^2$ beschouwen, is het duidelijk dat ze lineair onafhankelijk zijn, omdat de enige oplossing voor $c_1u_1 + c_2u_2 = 0$ de oplossing $c_1 = c_2 = 0$ is. Dit betekent dat de ruimte die door deze twee vectoren wordt gespannen, de volledige $\mathbb{R}^2$ ruimte dekt. Dit inzicht is van cruciaal belang voor het begrijpen van de structuur van vectorruimten en de manier waarop vectoren zich tot elkaar verhouden.

In de geometrie wordt de determinant ook gebruikt om de vergelijkingen van een cirkel die door drie punten gaat te formuleren. De vergelijking van een cirkel in termen van determinanten kan worden uitgedrukt als een matrix die de coördinaten van de punten bevat, en door de determinant van deze matrix te berekenen, kan men bepalen of de drie punten een geldige cirkel vormen.

Naast deze specifieke voorbeelden is het belangrijk om te begrijpen dat determinanten en de concepten van lineaire algebra een onmiskenbare rol spelen in veel gebieden van de wetenschap en techniek, van de analyse van systemen in de natuurkunde tot de computerwetenschappen en verder. De wiskundige theorieën die deze concepten ondersteunen, zijn niet alleen theoretisch van belang, maar ook praktisch toepasbaar in het dagelijks leven, van de ontwerp van structuren tot de modellering van complexe natuurverschijnselen.

Het is dus essentieel dat de lezer zich niet alleen de berekeningen en formules eigen maakt, maar ook de onderliggende concepten van lineaire algebra begrijpt. Het leren herkennen van lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid, het begrijpen van de geometrische interpretatie van determinanten en het kunnen toepassen van deze principes in de analyse van fysische systemen en geometrische structuren is van groot belang. De basisprincipes van de lineaire algebra vormen de bouwstenen voor veel andere geavanceerde concepten in de wiskunde en natuurwetenschappen.

Hoe de stabiliteit van periodieke systemen te bepalen met behulp van Floquet-multipliers

In de studie van lineaire systemen met periodieke coëfficiënten is het van cruciaal belang om de stabiliteit van oplossingen te begrijpen, vooral wanneer deze oplossingen periodiek zijn. De stabiliteit van zulke systemen kan vaak worden bepaald door middel van de zogenaamde Floquet-multipliers, die worden afgeleid uit de eigenschappen van de fundamentele matrix van het systeem. In dit hoofdstuk onderzoeken we de rol van deze multipliers in het bepalen van de stabiliteit van periodieke oplossingen in lineaire systemen.

Laten we een lineair systeem beschouwen met periodieke coëfficiënten, waarbij we de oplossing in de vorm van een fundamentele matrix $U(t)$ kunnen schrijven. De oplossing kan worden weergegeven als een product van een periodieke matrix $P(t)$ en een exponentiële matrix $e^{tC}$ , waarbij $C$ een constante matrix is. Het is belangrijk te realiseren dat deze benadering van toepassing is op systemen die kunnen worden gekarakteriseerd door een periodieke evolutie, zoals systemen die in veel natuurkundige en technische contexten worden aangetroffen.

De rol van Floquet-multipliers

De periodieke systemen die we bestuderen, kunnen worden geanalyseerd door naar de eigenwaarden van de monodromie-matrix te kijken. Deze matrix beschrijft de evolutie van het systeem over een volledige periode $T$ . De eigenwaarden van deze matrix, de zogenaamde Floquet-multipliers $\mu_i$ , zijn van groot belang voor het bepalen van de stabiliteit van de oplossing. De stabiliteit van een systeem hangt sterk af van de grootte van deze multipliers: als alle $\mu_i$ minder dan 1 zijn, is de oplossing asymptotisch stabiel, terwijl als één van de multipliers groter dan 1 is, het systeem instabiel wordt.

Een specifiek resultaat van de theorie van lineaire systemen met periodieke coëfficiënten is dat als we $n-1$ van de karakteristieke multipliers $\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_{n-1}$ kennen, we de laatste multiplier $\mu_n$ kunnen afleiden via de relatie:

T \prod_{i=1}^n \mu_i = \exp \left( \int_0^T \text{trace}(A(s)) ds \right)

Dit betekent dat de kennis van $n-1$ multipliers voldoende is om de stabiliteit van het systeem volledig te karakteriseren. Dit resultaat is vooral nuttig bij het onderzoeken van de stabiliteit van periodieke oplossingen, vooral wanneer het systeem bifurceert of verandert van stabiliteit.

Stabiliteit in het geval van bifurcatie

In een specifiek geval van een plannair systeem, waarbij $n = 2$ , kan de stabiliteit van een bifurcaterende periodieke oplossing worden bepaald door naar de producten van de Floquet-multipliers te kijken. Als één van de Floquet-multipliers gelijk is aan 1 (wat typisch is voor systemen met een periodieke oplossing), is de stabiliteit van de oplossing volledig bepaald door de andere multiplier. Dit wordt vaak gebruikt om de aard van periodieke oplossingen te analyseren, vooral in dynamische systemen die veranderingen ondergaan in hun gedrag.

Niet-lineaire systemen en periodieke oplossingen

Hoewel de bovengenoemde benadering vooral betrekking heeft op lineaire systemen, kunnen we ook niet-lineaire systemen onderzoeken door ze eerst te linearizeren rond een oplossing die periodiek is. Dit proces stelt ons in staat om de lineaire benadering van een niet-lineair systeem te gebruiken om de stabiliteit te onderzoeken. In dergelijke gevallen kan de fundamentele matrix worden berekend op basis van de linearisatie, en de stabiliteit van de periodieke oplossing kan worden geëvalueerd door de bijbehorende Floquet-multipliers te berekenen.

Andere belangrijke overwegingen

Naast de berekening van de Floquet-multipliers moeten we ook de aard van de oplossing onderzoeken wanneer deze wordt beïnvloed door verschillende soorten eigenwaarden in de monodromie-matrix. Bijvoorbeeld, wanneer een van de eigenwaarden op de eenheidscirkel ligt, kan de oplossing resonante kenmerken vertonen, wat kan leiden tot instabiliteit. Evenzo, wanneer er negatieve eenheden als multipliers aanwezig zijn, kunnen we te maken krijgen met veranderingen in de aard van de oplossing die verder moeten worden geanalyseerd in de context van de specifieke fysische of technische situatie.

Het is van belang om te begrijpen dat de Floquet-theorie niet alleen nuttig is voor het bepalen van de stabiliteit van oplossingen, maar ook voor het voorspellen van de lange termijn gedrag van systemen met periodieke coëfficiënten. Door deze theorie toe te passen, kunnen we bijvoorbeeld de reacties van systemen op kleine verstoringen in de initiële voorwaarden of systeemparameters voorspellen.

Wat is de fysieke interpretatie van de Green's functie voor niet-homogene randwaardeproblemen?

In de context van lineaire differentiaaloperatoren, zoals de tweede-orde operatoren met niet-homogene randvoorwaarden, wordt de Green's functie vaak gebruikt om oplossingen voor randwaardeproblemen (BVP) te vinden. Dit kan toegepast worden op diverse vakgebieden, zoals mechanica, elektrodynamica en vloeistofdynamica, waarbij de Green's functie de verdeling van de respons beschrijft ten gevolge van een externe kracht of belasting.

De Green’s functie $G(x, s)$ speelt een cruciale rol in het oplossen van niet-homogene BVP's door het te koppelen aan de zogenaamde impulsrespons, oftewel de reactie van een systeem op een gedistribueerde kracht $f(s)$ . Wanneer de operator $L$ de differentiaaloperator is die het oorspronkelijke probleem definieert, dan is de oplossing voor een niet-homogeen probleem uitgedrukt als:

u(x) = \int_a^b G(x, s) f(s) \, ds

Dit betekent dat de oplossing $u(x)$ van het niet-homogene BVP de integratie is van de Green’s functie over de distributie van de externe belasting $f(s)$ , van punt $a$ tot punt $b$ .

De Green’s functie zelf kan geïnterpreteerd worden als de reactie van het systeem op een eenheidsinvoer op positie $s$ . Het is een fundamentele oplossing van de vergelijking $L G(x, s) = -\delta(x - s)$ , waarbij $\delta(x - s)$ de Dirac-deltafunctie is, die een oneindig scherpe piek op $x = s$ vertegenwoordigt. Dit idee komt goed tot uiting in de schematische afbeelding waarin de Green's functie als respons wordt gezien van een puntbelasting die zich over het domein verspreidt.

In de praktijk kunnen we de Green’s functie ook verkrijgen door de oplossing van het bijbehorende adjunctprobleem te gebruiken. De kern van deze oplossing wordt gevormd door de fundamentele vectoren van de adjunctvergelijking. Door de Green’s functie in termen van deze fundamentele oplossingen uit te drukken, kunnen we een breder inzicht krijgen in de symmetrie van de oplossing en de bijbehorende operatorrelaties, bijvoorbeeld $G = L^{ -1}$ , waarmee we de inverse van de lineaire operator $L$ kunnen benaderen.

Het idee achter de Green’s functie kan eenvoudig worden uitgelegd in termen van systeemtheorie. Stel je voor dat je een elastisch systeem hebt, zoals een strak gespannen draad, waarop krachten $f(s)$ worden uitgeoefend. De Green's functie beschrijft dan de vervorming of de respons van de draad op die krachten. Dit maakt de Green's functie tot een krachtig hulpmiddel in de wiskundige fysica en engineering, waarbij we via integratie over het domein de algehele respons van een systeem kunnen berekenen.

Bijvoorbeeld, voor een elastische draad die strak gespannen is en onderhevig aan een belasting, kan de vervorming worden beschreven door de differentiaalvergelijking:

T \frac{d^2y}{dx^2} = -F(x), \quad y(0) = 0, \quad y(L) = 0

Hierbij staat $T$ voor de spanning in de draad, en $F(x)$ is de krachtverdeling langs de lengte van de draad. De Green’s functie helpt ons de vervorming $y(x)$ te vinden door de impact van de krachten op elk punt te integreren.

Dit leidt ons tot een belangrijk concept: de Green’s functie is inderdaad de oplossing van het systeem voor een eenheidsimpuls in plaats van een continue belasting. Als we bijvoorbeeld een puntbelasting $\delta(s-x)$ op een specifiek punt plaatsen, geeft de Green’s functie de reactie van het systeem op die specifieke belasting.

Het is van groot belang te realiseren dat de Green’s functie in sommige gevallen symmetrisch is, wat betekent dat de reactie op een puntbelasting op $x$ identiek is aan de reactie op een puntbelasting op $s$ , hoewel de specifieke wiskundige formuleringen van Green’s functie niet altijd dit symmetrische gedrag vertonen. De symmetrie van de Green’s functie, met betrekking tot de wisseling van de variabelen $x$ en $s$ , komt naar voren in de gelijkheid van de oplossingen van het bijbehorende adjointprobleem.

Het is ook essentieel te begrijpen dat de Green’s functie in veel gevallen met behulp van numerieke methoden moet worden berekend, vooral wanneer het probleem complexer is of als de geometrie van de domeinen niet eenvoudig te beschrijven is. Hiervoor kunnen methoden zoals de eindige-elementenmethode of de eindige-differentiëmethoden worden toegepast, waarbij de Green’s functie numeriek wordt benaderd door de discretisering van het oorspronkelijke probleem.

Wat is de rol van nanotechnologie in de diagnostiek en behandeling van ontstekingsziekten?
Hoe Gedrag van Materialen Onder Hoge Druk, Impact en Dynamische Belastingen te Begrijpen
Hoe de Instellingen en Contracten de Transactiekosten en Bedrijfssucces Beïnvloeden
Hoe kan machine learning yogaposes verbeteren en blessures voorkomen?
Wat gebeurt er wanneer menselijke overleving op een verre planeet de grenzen van ethiek en technologie overstijgt?
Hoe Werkt de Dynamische Versterkingsfactor van de Shaker voor Voertuig- en Contactreacties?

Jaarverslag van de directeur over het schooljaar 2015-2016
Jaarverslag van de directeur voor het schooljaar 2017-2018
Hoofdstudieprogramma van het basisonderwijs van de Gemeentelijke Openbare Middelbare School Nr. 2 van de stad Makaryeva, Makaryevsky District, Kostroma Regio
Werkprogramma Chemie voor Leerlingen van Klas 8 B en M
Een Oer-Kozakkenleven aan de Oever van de Oeral: Het Verhaal van Markian Prokliatov