In ferromagneto-elastische materialen worden de magnetische en elastische eigenschappen van een materiaal met elkaar verweven. Dit leidt tot interessante fenomenen die van cruciaal belang zijn voor toepassingen in zowel de materiaalkunde als in de techniek van dynamische systemen, zoals de propagatie van golven door dergelijke materialen.

In het geval van een perfect magnetische wand of een perfecte magnetische geleider (waar de magnetische potentiaal gelijk is aan nul, ψ = 0), wordt de interactie tussen mechanische belasting en magnetische velden sterk beïnvloed door de randvoorwaarden van het systeem. Dit houdt in dat, naast de klassieke mechanische randvoorwaarden zoals de verplaatsing u3 = 0, ook de magnetische potentiaal en de magnetische momenten op specifieke manieren vastgelegd worden (bijvoorbeeld ψ = 0 en m1,1 = 0). Deze randvoorwaarden zijn essentieel voor het opstellen van de oplossing van de bijbehorende differentiaalvergelijkingen die het gedrag van het systeem beschrijven.

Bij het oplossen van de bijbehorende lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt gebruik gemaakt van een dubbele sommatieserie, waarin de functies {f3, u3, ψ} worden uitgedrukt in termen van sinusfunctievormen. Dit geeft inzicht in hoe de mechanische en magnetische velden zich over de ruimte verdelen, afhankelijk van de toegepaste belastingen. In de praktijk is het vaak noodzakelijk om numerieke methoden zoals MATLAB in te schakelen om deze complexe systemen van vergelijkingen op te lossen, vooral als het gaat om rectangulaire domeinen met specifieke geometrische parameters en mechanische belasting.

Een van de belangrijkste observaties in de theorie is dat de magnetische veldverdeling m naarmate men zich van het laadcentrum verwijdert snel afneemt. Dit komt overeen met het gedempte karakter van de magnetische velden die we ook waarnemen bij statische situaties. Bij een omgekeerde mechanische belasting keert het magnetische moment ook om, hetgeen kan worden verklaard vanuit de lineaire aard van de theorie.

Het is echter belangrijk om verder te kijken dan alleen de statische verdelingen en de effecten van lokale mechanische belastingen. De studie van de propagatie van golven in dergelijke systemen is essentieel voor het begrijpen van de dynamische interactie tussen elastische en magnetische velden. Wanneer we plane waves beschouwen die zich voortplanten in de x1-richting van een onbegrensd tweedimensionaal domein, worden de golven beschreven door een sinusvormige functie in tijd en ruimte. Dit wordt geformaliseerd door de golfvectoren en frequenties, waarbij de dispersie van de golven een cruciale rol speelt in het begrijpen van de dynamische reacties van het systeem.

De dispersieverhouding, die de relatie tussen de golflengte (ξ) en de frequentie (ω) beschrijft, wordt bepaald door het oplossen van een complexe algebraïsche vergelijking die zowel elastische als spin-golven koppelt. Het resultaat is een uitgebreide formule die de dispersie beschrijft voor verschillende waarden van de materiaalparameters, zoals de mechanische modulussen en de magnetische veldsterkte.

Wanneer de magneto-elastische koppeling (zoals aangegeven door de parameter b44) niet aanwezig is (b44 = 0), scheiden de elasticiteitsgolven zich van de spin-golven. Dit betekent dat de elastische golven zich volgens hun eigen dispersieverhouding gedragen, terwijl de spin-golven een andere verspreidingssnelheid en frequentie hebben, afhankelijk van de magnetische eigenschappen van het materiaal. Het is van belang om te begrijpen hoe deze dispersieverhoudingen evolueren naarmate de magnetische interacties toenemen.

Naast de studie van dispersie is het ook relevant om te kijken naar de vrije trillingen van een rechthoekig lichaam, waarbij de randvoorwaarden van een perfecte magnetische wand worden toegepast. De resulterende frequentievergelijkingen tonen aan dat, wanneer de koppeling tussen de elastische en magnetische modi aanwezig is, de trillingsfrequenties van het systeem veranderen ten opzichte van de frequenties van volledig elastische of volledig magnetische systemen. Dit betekent dat, afhankelijk van de mate van magneto-elastische koppeling, het systeem kan reageren met zowel elastische als magnetische modi, die mogelijk onderling in wisselwerking staan.

De numerieke benaderingen voor het vinden van de eigenfrequenties van dergelijke systemen maken gebruik van een combinatie van sinusvormige functies in ruimte en tijd. Door het oplossen van de bijbehorende lineaire vergelijkingen kan men de specifieke modi van trilling voor een gegeven systeem berekenen, en hoe deze worden beïnvloed door de aanwezigheid van een magnetisch veld.

Het begrijpen van deze concepten is niet alleen essentieel voor het modelleren van materialen die magneto-elastische eigenschappen vertonen, maar heeft ook praktische implicaties voor de ontwikkeling van nieuwe technologieën in de sensorica, actuators en andere systemen waar zowel elastische als magnetische interacties een rol spelen. De interactie tussen mechanische krachten en magnetische velden kan bijvoorbeeld worden toegepast in de ontwikkeling van hoogwaardige materialen die gevoelig zijn voor externe belastingen, zoals in de luchtvaart, de elektronica en de medische technologie.

Hoe werken piezo-elektrische en ferromagneto-elastische structuren in een magneetveld?

De dynamiek van piezo-elektrische en ferromagneto-elastische structuren is complex, waarbij de interacties tussen mechanische spanningen, elektrische velden en magnetische invloeden essentieel zijn voor het begrijpen van hun gedrag. In dit hoofdstuk onderzoeken we hoe deze systemen reageren op externe invloeden, waarbij de focus ligt op buiging en torsie van piezo-elektrische balken in magnetische velden. Het beschouwde model maakt gebruik van een benadering die de rol van zowel elastische als elektromagnetische invloeden in de mechanische prestaties van de structuren belicht.

We nemen de statische gevallen van een piezo-elektrische balk met een magnetisch veld aan, waarbij de magnetische inductie BB uniform en de spanningen binnen de balk statisch zijn. De balk is een kantelstuk met een magnetisch dipoolmoment dat interageert met het externe magnetische veld. Het elastische gedrag wordt beschreven door de spanning MM, de schuifkracht QQ en de transversale belasting per eenheid van lengte F3F_3. De balk wordt voorgesteld als een flexibel element dat buigt onder invloed van krachten, waarbij de buigvervorming wordt gekarakteriseerd door de verplaatsing u3(x1,t)u_3(x_1, t), de buigmomenten en de schuifkrachten.

In dit systeem spelen de effectieve elastische en piezo-elektrische constanten, zoals c11c_{11} en e31e_{31}, een cruciale rol. Deze constante zijn direct gerelateerd aan de geometrie van de balk en de materiaaleigenschappen, zoals de afmetingen bb en hh, evenals de elektrische polarisatie. De interactie tussen de elektrische en mechanische krachten leidt tot de ontwikkeling van een effectieve buigmoment in de balk, vooral aan de uiteinden, wat cruciaal is voor het ontwerp van piezo-elektrische sensoren en actuatoren.

De beweging van de balk kan worden beschreven door een tweede-orde differentiaalvergelijking die de krachten en de buigmomenten in de balk relateert aan de verplaatsing. Deze vergelijking is afgeleid door de toepassing van de tweede wet van Newton op het differentiële element van de balk, waarbij de schuifkracht QQ en de transversale kracht F3F_3 de dynamische belasting op het systeem vertegenwoordigen. De magnetische krachten spelen een aanvullende rol, waarbij de interactie tussen het magnetische veld BB en de magnetische dipolen in de balk resulteert in een kracht die de mechanische eigenschappen van het systeem beïnvloedt.

Daarnaast wordt in het geval van torsie van een cilindrische piezo-elektrische balk met een magnetisch veld langs de yy-as een ander dynamisch gedrag geanalyseerd. De torsie wordt gekarakteriseerd door de draaimomenten en de elektrische verplaatsing langs de as van de balk. De invloed van het magnetische veld wordt hierbij eveneens meegenomen, wat leidt tot een gewijzigde verdeling van de elektrische potentiaal en de hoek van twist. Dit gedrag is bijzonder belangrijk in toepassingen zoals magneto-elektrische sensoren, waarbij zowel mechanische vervormingen als elektromagnetische velden tegelijk moeten worden gemeten of aangestuurd.

De vergelijkingen die de rotatiebeweging en de elektrische spanningsverdeling in de balk beschrijven, geven een diepgaand inzicht in de interactie tussen de mechanische vervormingen en de elektromagnetische velden in een ferromagneto-elastische structuur. De krachten die door het magnetische veld en de elektrische spanning worden opgewekt, produceren effectieve momenten die de mechanische reactie van de balk beïnvloeden, wat essentieel is voor de ontwerpcriteria van magneto-elektrische apparaten.

Het is belangrijk te begrijpen dat de complexiteit van deze systemen niet alleen voortkomt uit de materialen die worden gebruikt (piezo-elektrische en ferromagneto-elastische materialen), maar ook uit de manier waarop externe invloeden zoals magnetische velden en elektrische spanningen interactie hebben met de interne structuren van de balk. Deze interacties kunnen variëren afhankelijk van de geometrie van de balk, de eigenschappen van het materiaal en de aard van de externe velden.

Bovendien wordt het gedrag van piezo-elektrische en ferromagneto-elastische structuren verder beïnvloed door de elektrificatie van de structuren, wat niet alleen van invloed is op hun mechanische eigenschappen, maar ook op hun gedrag in elektromagnetische velden. In de praktijk betekent dit dat het ontwerp van dergelijke systemen zeer gevoelig is voor zowel de materiaaleigenschappen als de externe invloeden, wat de effectiviteit van deze technologieën in sensoren, actuatoren en andere geavanceerde toepassingen bepaalt.

Hoe worden de trillingen en golven in ferromagneto-elastische materialen beschreven?

De relatie tussen spanning en rek in ferromagneto-elastische materialen is complex en wordt beschreven door een systeem van tensorvergelijkingen die de mechanische eigenschappen van het materiaal in verschillende richtingen relateren. In het geval van een isotroop materiaal zoals ferromagneto-elastische stoffen, kunnen we de spannings-strain relaties als volgt uitdrukken:

T1=c11S1+c12S2+c12S3,T2=c12S1+c11S2+c12S3,T3=c12S1+c12S2+c11S3,T4=c44S4,T5=c44S5,T6=c44S6.T1 = c11S1 + c12S2 + c12S3, \quad T2 = c12S1 + c11S2 + c12S3, \quad T3 = c12S1 + c12S2 + c11S3, \quad T4 = c44S4, \quad T5 = c44S5, \quad T6 = c44S6.

Dit systeem van vergelijkingen beschrijft de spanningen in de verschillende richtingen van het materiaal, waarbij de elementen van de tensoren c11c11, c12c12, en c44c44 de elasticiteitsmoduli van het materiaal zijn. Deze moduli spelen een cruciale rol in de propagatie van golven door het materiaal.

Een belangrijk aspect van ferromagneto-elastische materialen is de interactie tussen magnetische en mechanische spanningen, wat vooral relevant is in het gedrag van golven die door het materiaal reizen. Wanneer golven zich voortplanten in een materiaal, kunnen ze verschillende vormen aannemen, afhankelijk van de richting van de voortplanting en de aard van de spanningen in het materiaal.

Bijvoorbeeld, in de richting van de x3-as kunnen longitudinale en transversale golven zich anders gedragen, afhankelijk van de elasticiteitsmoduli. Als we aannemen dat de golven geen afhankelijkheid van x1x1 en x2x2 vertonen, worden de golven beschreven door de volgende vergelijkingen:

c44u1,33=ρu1¨,c44u2,33=ρu2¨,c11u3,33=ρu3¨.c44 u1,33 = \rho \ddot{u1}, \quad c44 u2,33 = \rho \ddot{u2}, \quad c11 u3,33 = \rho \ddot{u3}.

De oplossing voor de golven wordt gegeven door een exponentiële functie van de vorm:

u1=U1exp⁡[i(ζx3−ωt)],u1 = U1 \exp[i(\zeta x3 - \omega t)],

waarbij U1U1 de amplitude van de golf is, ζ\zeta de golffrequentie en ω\omega de hoekfrequentie. Dit is een typische oplossing voor een transversale of schuifgolf. Het substitueren van deze uitdrukking in de vorige vergelijkingen levert de golfvoortsnelheid vv als:

v=ωζ=c44ρ.v = \frac{\omega}{\zeta} = \sqrt{\frac{c44}{\rho}}.

Deze snelheid is de voortplantingssnelheid van de transversale golven, die in het geval van ferromagneto-elastische materialen zeer relevant is vanwege de anisotropie van de elasticiteitsmoduli in verschillende richtingen.

Een ander type golf dat in dergelijke materialen voorkomt, zijn de zogenaamde dikte-trillingen in platen. Wanneer we bijvoorbeeld een plaat van kubische kristallen beschouwen, die in de richtingen x1x1 en (x2\ oneindig is, dan kunnen we de dikte-trillingen als volgt modelleren:

c44u1,33=ρu1¨,−h<x3<h,c44 u1,33 = \rho \ddot{u1}, \quad -h < x3 < h,

waarbij hh de halve dikte van de plaat is en u1u1 de verplaatsing in de richting van x3x3 beschrijft. De oplossing van deze vergelijking leidt tot een set van mogelijke modi die als volgt worden bepaald:

ζ(n)=nπ2h,n=1,3,5,…,\zeta(n) = \frac{n\pi}{2h}, \quad n = 1, 3, 5, \ldots,

waarbij nn de modusindex is. De eerste modus n=1n=1 komt overeen met de fundamentele frequentie van de dikte-schuifmodus, terwijl hogere waarden van nn overeenkomen met de harmonischen of boventonen van deze modus. Deze boventonen zijn veel belangrijker in realistische toepassingen zoals sensoren of actuatoren, waar de frequentie van de golfbeweging een cruciale factor is in de prestaties van het systeem.

De dikte-uitrekkingmodi kunnen ook worden gemodelleerd door een vergelijkbare benadering, maar de verwachte golfsnelheid is afhankelijk van de modulus c11c11 en de dichtheid ρ\rho, die de uitrekkingseigenschappen van het materiaal beïnvloeden. In dit geval kunnen we een gelijkaardige oplossing verwachten als voor de dikte-schuifmodi, maar met andere grensvoorwaarden en een iets andere golffrequentie.

In gevallen waar een plaat zich in een halfruimte bevindt, zoals in het geval van Love-golven, kunnen we de interactie tussen de plaat en de onderliggende halfruimte onderzoeken. Deze Love-golven, die alleen langs de plaatoppervlakte voortplanten, kunnen worden beschreven door het volgende systeem van vergelijkingen:

c44∇2u3=ρu3¨,x2>0,c44 \nabla^2 u3 = \rho \ddot{u3}, \quad x2 > 0,

waarbij u3u3 de verplaatsing in de richting van de z-as is. De oplossing van deze vergelijking levert een dispersieve relatie, wat betekent dat de snelheid van de Love-golf afhankelijk is van de golflengte en het materiaal waarin de golf zich voortplant. Het snelheidsprofiel van deze golven wordt bepaald door de verhouding van de elasticiteitsmoduli van de plaat en het halfruimte.

De interactie van de verschillende golven binnen ferromagneto-elastische materialen kan leiden tot complexe fenomenen, vooral wanneer er magnetische effecten in het spel zijn. De koppeling tussen de magnetische en mechanische velden kan de voortplanting van golven sterk beïnvloeden, wat bijvoorbeeld belangrijk is voor het ontwerp van magnetostrictieve sensoren of actuatoren. Het is daarom van groot belang om zowel de elastische als de magnetische eigenschappen van de materialen in beschouwing te nemen bij het modelleren van hun dynamisch gedrag.

Wat zijn de elektromagnetische krachten en koppelingen in ferromagneto-elastische geleiders?
Wat is de betekenis van het ultieme kwaad in het verhaal van Sindbad de Zeeman?
Hoe Burke’s Arbeid en Beloning de Grondslagen van Aristocratie en Markteconomie Doet Botsen
Hoe gebruikt Donald Trump bijnaamvorming om macht en invloed te structureren?