In ferromagneto-elastische geleiders speelt de interactie tussen het magnetische moment, de elektrische velden en de mechanische deformaties een cruciale rol bij de dynamiek van het materiaal. Het proces waarbij magnetische velden de eigenschappen van het materiaal beïnvloeden, kan worden begrepen door naar de continuümmechanica van zowel de spin- als de ladingsdragers in het materiaal te kijken.

De elektrische en magnetische velden in ferromagneto-elastische materialen worden sterk beïnvloed door de magnetisatie en de polarizatie per massa. De magnetisatie, gedefinieerd als de magnetisatie per eenheid massa, is van belang omdat deze beïnvloed wordt door de richting van het magnetische moment en zijn veranderingssnelheid. In het geval van ferromagneten is de magnetisatie gedefinieerd als een vector die op een gegeven tijdstip door een proces van verplaatsing van magnetische momenten een specifieke waarde aanneemt. Het magnetische moment per eenheid volume, M′M', kan bovendien roteren ten opzichte van de lattice (rooster) van het materiaal en zorgt voor een magnetische kracht en koppeling onder invloed van de Maxwellaanse inductie.

Het gedrag van het spincontinuüm is bijzonder interessant omdat dit continuüm massaloos is en zich niet kan verplaatsen ten opzichte van het rooster. Dit spincontinuüm heeft echter wel een magnetisch moment, dat kan roteren ten opzichte van het rooster, wat invloed heeft op de elektromagnetische krachten en koppelingen. De spin- en ladingsdragers ervaren daarbij krachten die voortkomen uit de wisselwerking met de externe elektrische velden EE en magnetische velden BB.

Bij het toepassen van Maxwell's vergelijkingen op deze systemen komt men uit op een uitdrukking voor de elektromagnetische kracht per eenheid volume. Deze kracht wordt beïnvloed door zowel de elektrische velden als de magnetische inductie, en ook door de beweging van de ladingen en de spinmomenten binnen het materiaal. De gecombineerde krachten die optreden bij deze interactie zijn verantwoordelijk voor het mechanische gedrag van het materiaal, zoals vervorming en krachtverdeling. De elektromagnetische kracht kan worden uitgedrukt als:

F_{EM} = \sigma_l(y)[E(y) + v(y) \times B(y)] + \sigma_b(y + \eta)[E(y + \eta) + (v + \etȧ) \times B(y + \eta)] + M' \cdot (B \nabla) + \sigma_e(y)[E(y) + v_e(y) \times B(y)].

Waarbij de termen de interacties beschrijven tussen de verschillende componenten van het systeem, inclusief de ladingsdichtheid σ\sigma, de snelheid van de deeltjes vv, de magnetisatie M′M', en de elektromagnetische velden EE en BB.

De koppeling tussen de elektrische, magnetische en mechanische velden wordt verder gecompliceerd door de massaloze aard van de spin- en ladingsdragers. Deze massaloze vloeistoffen, die kunnen worden gemodelleerd als een ideale fluïdum, ervaren geen interne energie of druk, maar wel een weerstand tegen de beweging door de roosterstructuur van het materiaal. Dit resulteert in een dynamisch gedrag waarin de interactie van de elektrische stroom en de magnetische inductie bepalend is voor de algehele energieoverdracht binnen het systeem.

De elektromagnetische kracht, het koppel en het vermogen dat in het materiaal wordt uitgeoefend, zijn dus niet alleen afhankelijk van de externe velden maar ook van de interne dynamica van de ladingen en spinnen. Dit heeft implicaties voor de mechanische eigenschappen van ferromagneto-elastische materialen, zoals het vermogen om te reageren op externe elektromagnetische invloeden en de manier waarop het materiaal zich vervormt onder invloed van krachten.

De elektromagnetische koppeling kan ook worden beschreven door een elektromagnetisch krachtkoppel, wat bijdraagt aan het vermogen in het systeem. Dit vermogen is het resultaat van de elektromagnetische velden die de deeltjes in het materiaal in beweging brengen en wordt uitgedrukt als een vermogensdichtheid per eenheid volume. De krachtkoppels en vermogens kunnen worden samengevat in de volgende algemene uitdrukking:

W_{EM} = \sigma_l(y)[E(y) + v(y) \times B(y)] \cdot v + \sigma_e(y)[E(y) + v_e(y) \times B(y)] \cdot v_e + \sigma_b(y + \eta)[E(y + \eta) + (v + \etȧ) \times B(y + \eta)] \cdot (v + \etȧ) - M' \cdot \frac{\partial B}{\partial t}.

Dit systeem van vergelijkingen biedt een gedetailleerd begrip van hoe de verschillende elektromagnetische velden invloed uitoefenen op de dynamiek van het ferromagneto-elastische materiaal. Het is essentieel te begrijpen dat de krachten en koppelingen tussen deze velden niet alleen afhangen van externe invloeden, maar ook van de interne structuur en eigenschappen van het materiaal zelf. Dit omvat zowel de beweging van de ladingen als de dynamica van de spinmomenten, die samen zorgen voor het unieke gedrag van ferromagneto-elastische materialen onder elektromagnetische invloeden.

De elektromagnetische momentumdichtheid en de elektromagnetische spanningstensor spelen een belangrijke rol in het verder begrijpen van het energetische gedrag van het materiaal. Door te kijken naar de continuümmechanica en de elektromagnetische interacties, kunnen ingenieurs en wetenschappers de prestaties van ferromagneto-elastische geleiders optimaliseren voor toepassingen in technologieën zoals actuatoren, sensoren en materialen met geïntegreerde elektromagnetische eigenschappen.

Wat zijn de implicaties van de hogere-orde elastische theorie voor niet-lineaire materialen?

De interne energiedichtheid ε\varepsilon die de constitutieve relaties van niet-lineaire elastische materialen bepaalt, kan worden uitgedrukt als een machtige reeks die hogere-orde termen bevat. In de meest eenvoudige vorm wordt de energieafhankelijke functie beschreven door een reeks van termen die elk de bijdrage van verschillende spannings- en verplaatsingsgradiënten beschrijven. In zijn volledige vorm bevat de energieafhankelijke functie termen tot de vierde macht van de verplaatsingsgradiënten, wat essentieel is voor een nauwkeurige beschrijving van het gedrag van materialen onder sterke deformaties. Deze termen worden geïdentificeerd als de zogenaamde elasticiteitsconstanten van de tweede, derde en vierde orde, die respectievelijk verantwoordelijk zijn voor lineaire, niet-lineaire en sterk niet-lineaire materiaaleigenschappen.

Voor zwak niet-lineaire materialen kunnen de hogere-orde termen vaak worden verwaarloosd, waarbij de tweede-orde elasticiteitsconstanten de dominante rol spelen in de beschrijving van het materiaalgedrag. De hogere-orde termen, zoals die van de derde en vierde orde, komen vooral tot uiting wanneer het materiaal onder sterke spanningen of vervormingen staat, zoals het geval is bij elastische deformaties die significant afwijken van de lineaire theorie.

De elasticiteitsconstanten van de derde orde zijn cruciaal voor het vaststellen van de niet-lineaire reacties van materialen op spanningen en vervormingen. Het bestaan van een derde-orde theorie impliceert dat alle termen tot de derde macht van de verplaatsingsgradiënten of hun producten in de materiaalequaties worden meegenomen. Het begrip "derde-orde theorie" is dan ook nauw verbonden met het vermogen om gedetailleerde materiaalmodellen op te stellen die het gedrag van materialen bij grotere vervormingen accuraat beschrijven.

De invloed van de hogere-orde termen wordt duidelijker wanneer we kijken naar de veranderingen die optreden wanneer de verplaatsingsgradiënten worden uitgebreid naar hogere machten. In de praktijk betekent dit dat, wanneer deze hogere-orde termen niet worden verwaarloosd, de materiaaleigenschappen zoals de spanning-vervormingrelaties veel complexer worden, wat op zijn beurt invloed heeft op de berekeningen van de elasticiteit van het materiaal.

In de derde-orde theorie worden deze niet-lineaire invloeden volledig geïntegreerd in het materiaalmodel, wat leidt tot een geavanceerdere beschrijving van de vervormingen van het materiaal onder verschillende belastingstoestanden. Dit is van bijzonder belang bij het modelleren van materialen die onder grote spanningen of vervormingen staan, zoals sommige composieten of ferromagneto-elastische materialen.

Voor de lezer is het belangrijk te begrijpen dat deze hogere-orde theorie niet altijd nodig is voor de meeste toepassingen in de klassieke mechanica van elastische materialen, waar lineaire of tweedegraads benaderingen vaak voldoende zijn. De keuze om hogere-orde termen op te nemen hangt sterk af van de specificiteit en complexiteit van het materiaalgedrag in de betreffende toepassingen. Het begrijpen van de noodzaak voor dergelijke uitbreidingen helpt bij het ontwikkelen van meer precieze en betrouwbare modellen voor engineeringtoepassingen, vooral in de context van geavanceerde materialen.

Het is essentieel om te beseffen dat, hoewel de lineaire theorie van elastische deformaties de basis vormt voor de meeste klassieke toepassingen, de derde- en vierde-orde theorieën ons in staat stellen om verfijnde en realistische modellen te maken voor materialen die zich buiten het bereik van de lineaire elasticiteit bevinden. In sommige gevallen kan het zelfs noodzakelijk zijn om deze hogere-orde termen te gebruiken om de complexiteit van het materiaalgedrag volledig te begrijpen en te modelleren, vooral wanneer de vervormingen aanzienlijk groot worden.

Waarom Multilaterale Betrokkenheid in Azië van Belang is voor de Verenigde Staten
Hoe kun je een dataset omvormen van breed naar lang en vervolgens weer naar breed met behulp van R?
Wat is de rol van kunstmatige intelligentie in de geneeskunde en psychische gezondheidszorg?