In de niet-lineaire structurele analyse is er een algemeen kenmerk van de parameter CSP (controle stabiliteitsparameter). Deze neigt toe te nemen voor structuren die zich in de versterkingsfase bevinden, en af te nemen voor structuren die zich in de verzachtingsfase bevinden. Voor structuren die de limietpunten op de belasting-deflectiecurven bereiken (zoals geïllustreerd in Figuur 7.4), wordt de CSP precies nul. Daarom verwijst een positieve CSP naar een stabiel gebied op de belasting-deflectiecurven, waarin de externe lasten steeds sterker kunnen worden toegepast. Om dit stadium van belasting te volgen, dient de belastingparameter λi1 in de bijbehorende vergelijking (7.38) positief te worden gemaakt. Daarentegen komt een negatieve CSP overeen met een instabiel gebied op de belasting-deflectiecurven, waarbij de externe lasten afgenomen moeten worden. In dit geval dient een negatieve waarde in de belastingparameter λi1 te worden gekozen. Een belangrijk nadeel van de CSP is dat deze naar oneindig neigt nabij de zogenaamde "snap-back" punten, zoals verder wordt besproken in Sectie 7.8.1. Daarom is de werkcontrole methode die hier wordt beschreven in het algemeen geschikt voor het traceren van paden met limietpunten, maar heeft deze beperkte succes voor paden die snap-back punten bevatten.

In een niet-lineaire analyse wordt men geconfronteerd met het probleem om de N+1 systeemparameters op te lossen: N verplaatsingscomponenten {ΔUij} en één belastingfactor λij uit de N+1 systeemvergelijkingen (N evenwichtsvergelijkingen en één beperkingsvergelijking). De N evenwichtsvergelijkingen voor de structuur die geschikt zijn voor de j-de stap van de i-de incrementele stap in een niet-lineaire analyse, zijn geformuleerd en gepresenteerd in de vorm van vergelijking (7.20). Dit resulteert in de volgende matrixvorm:

[Kij−1]{ΔUij}=λij{P^}+{Rij−1}[Ki_{j-1}]\{ΔU_{ij}\} = λ_{ij}\{P̂\} + \{Ri_{j-1}\}

waarbij [Ki_{j-1}] de tangentiële stijfheid van de structuur is, {ΔUij} de verplaatsingsveranderingen, {P̂} de referentiebelastingvector, en {Ri_{j-1}} de niet-geïdealiseerde krachtvector uit de vorige iteratie. Het opnemen van de belastingparameter λij als onbekende is bedoeld om een oplossing te vinden die de problemen rond de limietpunten omzeilt door iteraties uit te voeren zonder constante belasting. Voor de oplossing van de N verplaatsingen {ΔUij} en de belastingparameter λij, is een extra beperkingsvergelijking vereist naast de bovengenoemde vergelijking. Dit maakt het mogelijk om de vergelijking te decomponeren in twee delen, die vervolgens samen een totale structurele oplossing opleveren.

De gekozen oplossing maakt het mogelijk om de belastingveranderingen {ΔUij} te berekenen door de belastingparameter λij als controleparameter te gebruiken. De stabiliteit van de niet-lineaire oplossing hangt sterk af van de keuze van de constante parameters in de beperkingsvergelijking, zoals {C} en de waarde k. De keuze van de controleparameter kan sterk variëren, afhankelijk van de specifieke toepassing en structuur, waarbij een theoretische benadering mogelijk is door het gebruik van een generieke beperkingsvergelijking die alle systeemparameters overweegt.

Het is belangrijk te begrijpen dat de betrouwbaarheid van een niet-lineair oplossingsschema sterk afhankelijk is van de juiste selectie van de controleparameter. Dit heeft invloed op de mate van stabiliteit van de numerieke oplossing en de effectiviteit bij het bereiken van een bounded response. De gekozen matrixomzettingen, zoals het gebruik van een generaliseerde stijfheidsmatrix [K̂i], moeten ervoor zorgen dat de determinant van deze matrix niet nul is, wat essentieel is voor een numeriek stabiele oplossing. Zodra een limietpunt wordt bereikt, zal de determinant van de stijfheidsmatrix (en daarmee die van de generaliseerde matrix) nul worden, wat leidt tot numerieke instabiliteit of divergentie. Dit kan leiden tot falen van de oplossing wanneer de limietpunten worden bereikt, wat vaak niet als praktisch gezien wordt vanwege de invloed van rekenfouten zoals truncatiefouten of afrondingsfouten.

Er moet rekening mee worden gehouden dat limietpunten (of snap-back punten) in de belasting-deflectiecurven vaak niet werkelijk bereikt worden in de praktijk door dergelijke rekenfouten. In de iteratieve oplossing moet men vooral letten op de convergentie-eigenschappen van het gekozen schema. Zodra een systeem niet meer convergeert naar een gebonden oplossing, kan men verwachten dat er numerieke instabiliteit optreedt, wat de basis is voor het falen van veelgebruikte methoden bij het oplossen van complexe niet-lineaire problemen in de structurele mechanica.

Hoe kunnen we de deformatiemechanismen van balken en plaatstructuren analyseren met behulp van incrementele niet-lineaire methoden?

In de analyse van de gedraaide en gebogen balkelementen, vooral in het geval van een niet-lineaire benadering, is het essentieel om een afweging te maken tussen nauwkeurigheid en wiskundige complexiteit. De klassieke benadering, waarbij we de balkelementen beschouwen als rechte lijnen, is vaak de meest efficiënte, ook al vertoont de balk een gebogen vorm bij de C1-configuratie. Het zou veel te ingewikkeld zijn om vanaf dit punt de niet-lineaire analyse te starten, aangezien dat een overstap zou vereisen naar de theorie van gebogen balken. Dit zou echter onpraktisch zijn voor de meeste technische toepassingen vanwege de wiskundige complicaties die dit met zich meebrengt.

Gelukkig zijn de vervormingen van balkelementen binnen elke incrementele stap doorgaans klein. Hierdoor kunnen we in veel gevallen de balkelementen als rechte lijnen behandelen, zelfs wanneer ze zich in een gebogen toestand bevinden bij C1. Dit wordt mogelijk gemaakt door het concept van convecteerde coördinaten, zoals gepresenteerd door Belytschko en Hsieh (1974). Dit concept is bijzonder nuttig voor problemen waarbij de verplaatsingen en rotaties binnen elke incrementele stap relatief klein zijn. De balk kan dus op C1 worden voorgesteld als een recht element, met de centroidale as aangeduid met x en de twee belangrijkste assen van de dwarsdoorsnede met (y, z), zoals geïllustreerd in figuur 8.1.

Deze benadering houdt in dat de beam-elementen, zelfs in een gebogen toestand, als een rechte lijn worden behandeld voor wiskundige eenvoud. De twee hoofdlijnen voor de analyse zijn het gebruik van een virtuele werkvergelijking in combinatie met de incrementele benadering van verplaatsingen, en de juiste toewijzing van interne krachtresultanten zoals momenten en krachten op de dwarsdoorsnede van de balk. De compatibiliteit van de verplaatsingen en de rotaties tussen C1 en C2 wordt behandeld door de assumptie van het behoud van de vlakke dwarsdoorsnede na vervorming, wat resulteert in de gebruikte displacement-rotatie relaties.

De incrementele benadering voor niet-lineaire structuuranalyse is gebaseerd op de veronderstelling dat de uitwijkingen (ux, uy, uz) van een punt op de dwarsdoorsnede van de balk kunnen worden uitgedrukt in termen van de verplaatsingen van het zwaartepunt van de doorsnede en de hoeken van verdraaiing van de balk. Dit idee is cruciaal voor de wiskundige formulering van de krachten en momenten die op de balk werken.

Bij de berekeningen die de krachten en momenten beïnvloeden, wordt onderscheid gemaakt tussen de Cauchy-stress en de tweede Piola–Kirchhoff-stress. De eerste wordt gebruikt voor de oorspronkelijke configuratie van de balk (C1), terwijl de tweede de stress vertegenwoordigt in de nieuwe configuratie na de vervorming (C2), wat het mogelijk maakt om de vervormingen te begrijpen en te voorspellen op basis van de veranderingen in de geometrie.

Bij de bepaling van de krachtresultanten (zoals axiale krachten, scherkrachten en buigmomenten) moeten de Cauchy-stress componenten, zoals τxx, τxy en τxz, op C1, en de Piola-Kirchhoff componenten (Sxx, Sxy, Sxz) op C2 in acht worden genomen. Dit resulteert in de gebruikelijke kracht- en momentrelaties die, hoewel complex, de grondslagen leggen voor de numerieke simulaties die de mechanische respons van de balkstructuur simuleren.

In de klassieke beam-elementen theorie wordt ervan uitgegaan dat de dwarsdoorsneden van de balk na vervorming vlak blijven, wat de basis vormt voor de simpeler wiskundige benadering. De momenten en krachten die aan het begin en einde van het balkelement worden toegewezen, worden op basis van deze veronderstelling vervolgens correct toegewezen om de interne krachten en momenten te berekenen. Het idee van conservatieve krachten wordt in de wiskundige modellering echter niet altijd op dezelfde manier toegepast als conservatieve momenten. Dit is belangrijk voor het begrijpen van de verschillen tussen het werk dat door krachten wordt verricht en dat door momenten.

Bij de wiskundige modellering moet de positionele en rotatie-georiënteerde verandering van de coördinaten van de punten op de balk nauwkeurig worden beschreven, wat essentieel is voor het verkrijgen van correcte voorspellingen voor de structurele respons. De hoeken van rotatie (zoals θx, θy, θz) moeten correct worden gedefinieerd en de verplaatsingen moeten correct worden uitgedrukt in termen van de verplaatsingen van het zwaartepunt van de doorsnede en de rotatiehoeken.

De nauwkeurigheid van de simulatie hangt sterk af van de keuze van het juiste elementtype en de juiste benadering voor de integratie van de niet-lineaire effecten die optreden bij grote vervormingen. De resultaten van de niet-lineaire analyse kunnen aanzienlijke afwijkingen vertonen van de lineaire benaderingen, vooral wanneer de vervormingen niet klein genoeg zijn om de lineaire theorie toepasbaar te maken. Het is belangrijk dat ingenieurs zich bewust zijn van de beperkingen van de benadering en de invloed van de gekozen parameters op de uiteindelijke resultaten van de analyse.

Hoe het Oordeel van Salomo en de Justitie van Trajan de Basis van Recht en Moraliteit Verkennen
Hoe de Wannier–Stark Ladder Formule de Energie van Elektronen in Superroosters Bepaalt
Hoe de Republikeinse Partij Het Racisme en de Angst van de Witte Kiezers Benutten
Hoe moeten fouten worden afgehandeld in een event-gedreven architectuur met Kafka?