Hoe de Wannier–Stark Ladder Formule de Energie van Elektronen in Superroosters Bepaalt

De Wannier–Stark ladder, afgeleid door Wannier, is een belangrijke theorie voor het begrijpen van de elektronische toestanden in superroosters, met name in systemen die onder invloed staan van een elektrische veld. In de context van kwantummechanica en kristallijne structuren, is het essentieel om te begrijpen hoe de energie van de elektronische toestanden in dergelijke structuren afhankelijk is van de elektrische veldsterkte en de periodiciteit van de roosters. De toepassing van een elektrisch veld verandert de eigenschappen van de golffunctie, wat leidt tot een herstructurering van de energiebanden.

De Schrödingervergelijking voor een elektron in een superrooster, onder invloed van een elektrisch veld, kan worden uitgedrukt als:

waarbij $E(k)$ de energie van het elektron in het momentumgebied is, en $eF$ het elektrische veld is. De oplossing van deze vergelijking wordt gegeven door een exponentiële functie, die een periodiciteit vertoont in het momentumgebied. Het belang hiervan is dat de golffunctie $\psi(k)$ een periodieke functie is met een periode van $2\pi/d$, wat wordt geëist door de eigenschap van de energiebandfunctie $E(k)$. Dit leidt tot een relatie die de eigenenergie van het systeem kan beschrijven als:

Deze formule is essentieel voor het begrijpen van de energie van elektronische toestanden in de Wannier–Stark ladder. Het tweede lid in de vergelijking is de gemiddelde energie van de energieband, die de invloed van de roosterstructuur op de energie van het elektron weerspiegelt.

Deze benadering is nuttig voor het begrijpen van de energie van een elektron in een enkel kwantumputje binnen het superrooster. In dit geval komt de formule overeen met de Wannier–Stark ladder, die de energie in verschillende quantumputjes beschrijft.

Als we een vereenvoudigde benadering nemen waarbij de energieband slechts uit twee termen bestaat, namelijk:

kunnen we de golf functie verder vereenvoudigen. Dit model komt overeen met het zogenaamde "tight-binding"-model en biedt een praktisch inzicht in de toestanden van de Wannier–Stark ladder. Het resultaat is een golffunctie die een specifieke vorm aanneemt in een geconfigureerd quantumputje, waarbij de energie van de Wannier–Stark toestand wordt beïnvloed door de elektrische veldsterkte en de periodieke aard van de energieband.

De overgangsprobabiliteit van phononemissie in superroosters kan ook worden afgeleid door rekening te houden met inelastische verstrooiing. Deze probabiliteit hangt af van de elektrische veldsterkte $F$ en heeft een maximum bij een bepaalde waarde van $F$, wat de zogenaamde kritieke veldsterkte $F_c$ oplevert. Dit punt komt overeen met de vorming van de Wannier–Stark toestand, en de overgangsprobabiliteit neemt toe met de elektrische veldsterkte totdat het maximum wordt bereikt.

Een belangrijke opmerking bij het bestuderen van de Wannier–Stark ladder en de gerelateerde eigenschappen van superroosters is de invloed van de roosterstructuur en de elektrische veldsterkte op de eigenschappen van de elektronische toestanden. Deze systemen vertonen interessante fenomenen, zoals negatieve differentiële weerstand en quantum-faseovergangen, die van groot belang zijn voor de ontwikkeling van toekomstige elektronische apparaten. Het begrip van de Wannier–Stark ladder biedt fundamentele inzichten in de mechanismen die verantwoordelijk zijn voor deze effecten en vormt de basis voor het ontwerp van geavanceerde elektronische componenten.

Wat maakt een enkele-elektrontransistor geschikt voor ultra-hoge dichtheid en ultralage stroomverbruik?

In een SET is de basiswerking gerelateerd aan het kwantumeffect van enkel-elektronentunneling, waarbij de Coulombblokkade (CB) de belangrijkste dynamiek is. Wanneer een elektron in de kwantumdot tunneliert, verandert de elektrostatische energie, wat resulteert in de Coulombblokkade-effecten die de werking van de transistor bepalen. Als de dot klein genoeg is, kan de verandering in elektrostatische energie vergeleken worden met de thermische energie, en kan het elektron slechts tunneleren wanneer de poortspanning de extra energie biedt die nodig is voor de tunneling.

Het fysieke model van de SET kan worden beschreven met een equivalent elektrisch circuit, waarin de dot is verbonden met de bron en de afvoer via tunnelingbarrières, terwijl de poort via capacitieve koppeling invloed uitoefent op de elektronische eigenschappen van de dot. De SET vertoont dan gedrag dat vergelijkbaar is met dat van een MOSFET, met als belangrijk verschil dat de stroom van de bron naar de afvoer wordt gecontroleerd door de poortspanning. Dit maakt de SET een veelbelovende kandidaat voor toepassingen waarbij uiterst kleine schaling en energie-efficiëntie essentieel zijn.

De belangrijkste werking van de SET wordt bepaald door de chemische potentiaal van de elektronen in de kwantumdot. Wanneer de chemische potentiaal in de dot in de juiste relatie staat tot de potentiëlen van de bron en de afvoer, kan een elektron tunneleren, wat resulteert in een enkel-elektronentunneling. Dit tunnelingproces veroorzaakt een serie stroomfluctuaties, waarbij de stroom slechts optreedt wanneer de juiste voorwaarde voor de chemische potentiaal wordt bereikt. Het gedrag van de SET is dus sterk afhankelijk van zowel de poortspanning als de spanning tussen bron en afvoer.

Het transport van de elektronen in de SET is onderworpen aan de voorwaarden van de Coulombblokkade, en de stroom-voltagecurves vertonen karakteristieke oscillaties die zich manifesteren als pieken die overeenkomen met het binnenkomen van een elektron in de dot. Deze pieken, die de zogenaamde Coulomb-oscillaties vormen, zijn een directe indicator van de werking van de SET en kunnen worden gebruikt om de prestaties van de schakeling te karakteriseren.

De prestaties van een SET worden verder beïnvloed door de capacitieve koppeling tussen de dot, de poort, de bron en de afvoer. Het is cruciaal om de juiste verhoudingen tussen de capaciteiten van deze componenten te behouden, aangezien dit de efficiëntie en gevoeligheid van de SET aanzienlijk beïnvloedt. De verhouding tussen de capaciteiten bepaalt onder andere de hoek van de grenzen van de Coulomb-diamanten, die de verschillende regimes van de SET in kaart brengen.

Naast de temperatuur heeft de effectieve spanning tussen de poort en de bron (Vg) en tussen de bron en de afvoer (Vds) een belangrijke invloed op het gedrag van de SET. Bij lage temperaturen kan de Coulombblokkade het elektronentransport sterk beperken, maar wanneer de temperatuur niet laag genoeg is, kunnen thermische fluctuaties leiden tot tunneling van elektronen zelfs wanneer de condities voor een Coulombblokkade niet zijn vervuld. Dit kan de pieken in de Coulomb-oscillaties vervagen, wat de prestaties van de SET kan verminderen.

Naast deze basisprincipes moet de werking van de SET voldoen aan de voorwaarde dat de Coulomb-energie van het systeem aanzienlijk groter is dan de thermische energie. Dit is essentieel voor het waarborgen van de stabiliteit van de Coulombblokkade en voor het behalen van de gewenste prestaties van de transistor. Het is dus van groot belang om bij het ontwerp en de toepassing van SET’s rekening te houden met zowel de temperatuur als de elektrische spanningen die op de verschillende terminals worden aangelegd.

De SET heeft dus het potentieel om een belangrijke rol te spelen in de ontwikkeling van extreem energie-efficiënte schakelingen voor de toekomst. De toepassing van silicium als materiaal maakt het mogelijk om SET’s te integreren in bestaande technologieën voor grootschalige integratie, waardoor de weg wordt geëffend voor het gebruik van SET’s in de productie van toekomstige micro-elektronische apparaten met zeer hoge dichtheid en laag energieverbruik. Het is belangrijk te begrijpen dat de effectiviteit van SET’s sterk afhankelijk is van zowel de toegepaste technologie als de onderliggende fysieke principes die de werking van de transistor bepalen.

Hoe de geometrie van AB-ringen de spin flip in kwantumringen beïnvloedt

Bij de analyse van de spintransmissie in een AB-ring, bijvoorbeeld een elliptische ring, wordt ervan uitgegaan dat de elektronstroom wordt geïnjecteerd vanuit een circuit op punt A, en het uitgangscircuit zich bevindt aan de rechterkant op punt B. De geometrie van de ring is beschreven door de halve lange en korte as van de ellips, respectievelijk aangeduid als ae en be. De sterkte van de Rashba-interactie in de ring wordt aangeduid met de parameter α. Het kenmerkende lengte van de ring wordt bepaald door de halve lange as van de ellips, ae, en in dimensionale termen wordt de energie gedefinieerd in eenheden van E0.

Het wiskundige model om de spin-transport in deze ringen te beschrijven vereist de splitsing van de golffunctie in twee componenten, die respectievelijk de wijzer- en tegenwijzerzin van de ring representeren. In dit geval worden de golffuncties gedefinieerd voor de bovenste en onderste armen van de ring, en de unknowns kunnen worden opgelost door gebruik te maken van de randvoorwaarden van Griffith. Door deze methoden kunnen de spin-afhankelijke transmissiecoëfficiënten worden berekend, die essentieel zijn voor het begrijpen van de spin-flip in kwantumringen.

Voor een ideale spin-inverter, zoals verwacht wordt, moeten de transmissiecoëfficiënten T12 en T21 zo groot mogelijk zijn, terwijl T11 en T22 tegengesteld moeten zijn. Dit leidt tot de definitie van de spin-flip graad P, die een maat is voor de mate van spininversie in de ring. Wanneer P = 1 is, betekent dit dat de spin-stroom conserveert tijdens de overgang, terwijl P = -1 duidt op een volledige spin-flip.

De stabiliteit van de spin-inverter in de circulaire ring kan echter worden verbeterd door een voldoende sterke RSOI (α > 40 meV.nm), wat de ring een breder werkbereik biedt dan de elliptische ring, die slechts een α van ongeveer 12 meV.nm vereist om effectief te werken. De geometrie van de ring speelt dus een belangrijke rol bij de prestaties van de spin-inverter, waarbij de circulaire ring stabiliteit biedt in een breder bereik van α, terwijl de elliptische ring sneller reageert op veranderingen in de RSOI-sterkte.

Bovendien kan de invloed van de geometrie verder worden onderzocht door de spin-flip in AB-ringen van verschillende vormen te vergelijken. In dit geval wordt de invloed van de excentriciteit van de elliptische ring onderzocht, waarbij de contourkaarten van P als functie van de RSOI-sterkte en de verhouding van de halve lange en korte as van de ellips (be/ae) worden gepresenteerd. De resultaten tonen aan dat wanneer be/ae klein is (bijvoorbeeld be/ae < 0,3), spin-inversie optreedt in bepaalde gebieden van α. Naarmate de verhouding be/ae groter wordt, verandert P meer geleidelijk, wat wijst op een verminderde kwantumconfinement en zwakkere interferentie tussen de spinstaten.

Naast de geometrie speelt de keuze van de RSOI-sterkte een cruciale rol. Voor zowel de elliptische als de circulaire ringen is het belangrijk om de juiste waarde van α te kiezen om een optimale spin-flip te realiseren. In sommige gevallen kan de RSOI-sterkte te hoog zijn, wat de spin-inversie verstoort, terwijl in andere gevallen een te lage waarde van α niet voldoende spin-flip produceert. Dit maakt het belangrijk om te begrijpen hoe deze parameters in balans moeten worden gebracht voor de gewenste toepassingen.