Hoe wordt de niveaucurve van de functie f(z)=z+1zf(z) = z + \frac{1}{z}f(z)=z+z1​ beschreven wanneer v(x,y)=0v(x, y) = 0v(x,y)=0?

De functie $f(z) = z + \frac{1}{z}$ speelt een belangrijke rol in de studie van complexe functies, met name in de context van niveaucurven. Laten we deze functie eerst in detail onderzoeken en vervolgens de bijbehorende niveaucurve $v(x, y) = 0$ beschrijven.

Voor een complexe variabele $z = x + iy$, waarbij $x$ en $y$ respectievelijk de reële en imaginaire delen van $z$ zijn, kunnen we $f(z) = z + \frac{1}{z}$ als volgt schrijven:

De term $\frac{1}{z}$ kan worden hergeschreven door de complexe conjugaat te gebruiken, zodat we de reële en imaginaire delen van de functie afzonderlijk kunnen beschouwen. Dit geeft:

Daarom kunnen we $f(z)$ herschrijven als:

Door de reële en imaginaire delen van deze uitdrukking te scheiden, krijgen we:

De reële en imaginaire delen zijn dus:

• $u(x, y) = x + \frac{x}{x^2 + y^2}$,

• $v(x, y) = y - \frac{y}{x^2 + y^2}$.

Voor de niveaucurve $v(x, y) = 0$, moeten we de uitdrukking voor $v(x, y)$ gelijkstellen aan nul:

Dit leidt tot de vergelijking:

Er zijn twee mogelijkheden:

1. $y = 0$, wat betekent dat de niveaucurve zich bevindt langs de reële as $y = 0$.

2. $1 - \frac{1}{x^2 + y^2} = 0$, wat impliceert dat $x^2 + y^2 = 1$, dus de niveaucurve is een eenheidscirkel met de vergelijking $x^2 + y^2 = 1$.

Samengevat: de niveaucurve $v(x, y) = 0$ bestaat uit de reële as $y = 0$ en de eenheidscirkel $x^2 + y^2 = 1$. Dit betekent dat de niveaucurve van $f(z) = z + \frac{1}{z}$ de gecombineerde figuren van de reële as en de eenheidscirkel omvat.

Orthogonaliteit van de niveaucurven van harmonische functies

Nu verkennen we een belangrijk concept in de complexe analyse: de orthogonaliteit van de niveaucurven van de harmonische functies die de reële en imaginaire delen van een analytische functie vormen. Stel dat $u(x, y)$ en $v(x, y)$ de harmonische functies zijn die de reële en imaginaire delen zijn van een analytische functie $f(z)$. We willen laten zien dat de niveaucurven $u(x, y) = c_1$ en $v(x, y) = c_2$ orthogonaal zijn.

Om dit te bewijzen, moeten we de gradiënten van $u(x, y)$ en $v(x, y)$ beschouwen. De gradiënt van een functie geeft de richting van de grootste stijging van die functie, en de orthogonaliteit van de niveaucurven betekent dat de gradiënten van $u$ en $v$ een rechte hoek maken.

Aangezien $u$ en $v$ harmonisch zijn, voldoen ze aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:

De gradiënten van $u$ en $v$ zijn:

Het inwendig product van de gradiënten is:

Door de Cauchy-Riemann-vergelijkingen toe te passen, krijgen we:

Dit bewijst dat de gradiënten van $u$ en $v$ orthogonaal zijn, wat betekent dat de niveaucurven van $u(x, y) = c_1$ en $v(x, y) = c_2$ inderdaad orthogonaal zijn.

Het belang van deze concepten voor de lezer

De afleiding van de niveaucurven en de orthogonaliteit van de gradiënten van harmonische functies in de context van analytische functies biedt niet alleen inzicht in de geometrie van het complexe vlak, maar legt ook de basis voor toepassingen in diverse gebieden, zoals elektromagnetisme, stromingsleer en dynamische systemen. Het begrijpen van de eigenschappen van deze functies helpt bij het oplossen van praktische problemen, zoals die in de ingenieurswetenschappen, waar de concepten van analytische functies en hun niveaucurven vaak een fundamentele rol spelen in het modelleren van fysieke systemen.

Wat zijn Cauchy-Euler Vergelijkingen en hoe los je ze op?

De relatief gemakkelijke manieren waarop we expliciete oplossingen voor lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde met constante coëfficiënten in voorgaande secties hebben gevonden, gelden niet in het algemeen voor lineaire vergelijkingen met variabele coëfficiënten. We zullen in Hoofdstuk 5 zien dat wanneer een lineaire differentiaalvergelijking variabele coëfficiënten heeft, we meestal alleen maar een oplossing kunnen verwachten in de vorm van een oneindige reeks. De type differentiaalvergelijking die in deze sectie wordt behandeld, is echter een uitzondering op deze regel; het betreft een vergelijking met variabele coëfficiënten waarvan de algemene oplossing altijd kan worden uitgedrukt in termen van machten van x, sinus- en cosinusfuncties, logaritmische en exponentiële functies. Bovendien is de oplossingsmethode vergelijkbaar met die voor constanten vergelijkingen.

Een lineaire differentiaalvergelijking van de vorm:

waarbij de coëfficiënten $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ constanten zijn, staat bekend als een Cauchy-Euler vergelijking. Deze vergelijking is vernoemd naar twee van de meest gerespecteerde wiskundigen aller tijden: de Franse baron Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) en de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707–1783). Cauchy is een van de 72 Franse wetenschappers wiens naam op de Eiffeltoren in Parijs is gegraveerd ter ere van hun prestaties.

Het kenmerkende van dit type vergelijking is dat de graad $k = n, n-1, \dots, 1, 0$ van de monomiale coëfficiënten $x^k$ overeenkomt met de orde $k$ van de afgeleiden $\frac{d^k y}{dx^k}$.

Bijvoorbeeld, als we beginnen met de homogene tweede-orde vergelijking, kunnen we de oplossing van hogere-orde vergelijkingen op een analoge manier vinden. Ook kunnen we de niet-homogene vergelijking $a x^2 y'' + b x y' + c y = g(x)$ oplossen door middel van de variatie van parameters, zodra we de complementaire functie $y_c(x)$ van de homogene vergelijking hebben bepaald.

In veel gevallen kan het geval waarin de leidende coëfficiënt nul is bij $x = 0$ problematisch zijn. Dit is het geval wanneer de coëfficiënt van $\frac{d^2 y}{dx^2}$ nul is bij $x = 0$. Daarom beperken we ons bij de oplossing tot het interval $(0, \infty)$, aangezien we anders met complexe en potentieel onoplosbare situaties te maken krijgen.

Methode van Oplossen

We veronderstellen een oplossing van de vorm $y = x^m$, waarbij $m$ de te bepalen parameter is. Net als bij het substitueren van $e^{mx}$ in een lineaire vergelijking met constante coëfficiënten, wordt bij de vervanging van $x^m$ elke term van de Cauchy-Euler vergelijking een veelterm in $m$ vermenigvuldigd met $x^m$. Dit leidt ons naar de zogenaamde hulpvergelijking:

Er zijn drie gevallen te overwegen, afhankelijk van of de wortels van deze kwadratische vergelijking reëel en verschillend zijn, reëel en gelijk zijn, of complex.

Casus I: Verschillende Reële Wortels

Als $m_1$ en $m_2$ de verschillende reële wortels van de hulpvergelijking zijn, dan vormen $y_1 = x^{m_1}$ en $y_2 = x^{m_2}$ een fundamentele set van oplossingen. De algemene oplossing is dan:

Casus II: Herhaalde Reële Wortels

Als de wortels van de hulpvergelijking gelijk zijn, dat wil zeggen $m_1 = m_2$, dan is er slechts één oplossing, namelijk $y = x^{m_1}$. Om een tweede oplossing te vinden, gebruiken we een aangepaste vorm die vaak de logaritmische term omvat:

Casus III: Conjugaat Complexe Wortels

Als de wortels van de hulpvergelijking complex zijn, bijvoorbeeld $m_1 = \alpha + i\beta$ en $m_2 = \alpha - i\beta$, dan is een mogelijke oplossing:

In dit geval schrijven we de oplossing in termen van reële functies, omdat we anders onmogelijke resultaten zouden krijgen.

Toepassing van de Methode

Stel dat we de volgende Cauchy-Euler vergelijking moeten oplossen:

Door $y = x^m$ te substitueren, krijgen we de hulpvergelijking:

De oplossing van deze kwadratische vergelijking levert complexe wortels op, en de algemene oplossing heeft de vorm:

Wanneer we de beginvoorwaarden $y(1) = -1$ en $y'(1) = 0$ toepassen, vinden we $c_1 = -1$ en $c_2 = 0$, zodat de oplossing is:

De grafiek van deze oplossing toont een oscillerend gedrag en groeit niet, zelfs niet als $x \to \infty$.

Belangrijke Overwegingen

Naast de basisoplossingen van de Cauchy-Euler vergelijkingen is het belangrijk om te begrijpen dat de methode voor niet-homogene vergelijkingen verschilt. Hier gebruiken we meestal de methode van de variatie van parameters, zoals geïllustreerd in het voorbeeld met de niet-homogene vergelijking:

Een grondig begrip van deze aanpak is essentieel, aangezien deze methode niet zo rechtlijnig is als de klassieke methode van onbepaalde coëfficiënten die werkt voor constante coëfficiënten.