Hoe de Euler-Lagrange Formulering Toepassen voor Dynamische Modellering van Robotarmen

De dynamica van mechanische systemen, zoals robotarmen, wordt vaak gemodelleerd aan de hand van de Euler-Lagrange (EL) methode. Deze methode stelt ons in staat om de beweging van een systeem te beschrijven op basis van energieprincipes, door de kinetische en potentiële energieën van het systeem te analyseren. Het biedt een systematische manier om de bewegingsvergelijkingen op te stellen, die vervolgens gebruikt kunnen worden voor simulatie, ontwerp en besturing van robotarmen.

In de EL-formulering wordt de Lagrangiaan gedefinieerd als het verschil tussen de totale kinetische energie en de potentiële energie van het systeem. De kinetische energie van een systeem wordt bepaald door de snelheid van zijn massa’s, terwijl de potentiële energie meestal gerelateerd is aan de hoogte en massa’s van de objecten binnen het systeem. Wanneer we werken met een robotarm, wordt de kinetische energie berekend door de snelheden van de links en motoren in rekening te brengen, terwijl de potentiële energie vaak wordt bepaald door de zwaartekracht die werkt op de massa’s van de links.

Toepassing van de EL-formulering

Een typische toepassing van de EL-formulering vindt plaats wanneer we de bewegingsvergelijkingen van een robotarm willen afleiden. De algemene bewegingsvergelijkingen kunnen worden uitgedrukt als:

waarbij $L$ de Lagrangiaan is, $q_i$ de gegeneraliseerde coördinaten van het systeem zijn, en $\xi_i$ de niet-conservatieve krachten representeren die werken op de robot, zoals actuatorkoppels of wrijvingskrachten. Deze differentiaalvergelijkingen kunnen vervolgens numeriek worden opgelost om de beweging van de robot in de tijd te bepalen.

De dynamische modellering van een robotarm omvat vaak meerdere componenten, zoals de actuator, de transmissie en de mechanische koppeling tussen de verschillende scharnieren. Een belangrijk voorbeeld is een robotarm met een enkele link, aangedreven door een servomotor via een tandwielsysteem. In dit geval wordt de snelheid van de servomotor gekoppeld aan de snelheid van de robotarm door een reductieverhouding $nr$, die wordt gedefinieerd als de verhouding van de snelheden van de motor en de robotarm:

waarbij $r$ de straal van het tandwiel is, $r_m$ de radius van de motor, $\dot{\theta}_m$ de snelheid van de motor en $\dot{q}$ de snelheid van de robotarm.

Het koppelen van de motor aan de arm via een tandwielsysteem heeft invloed op de dynamica van de robot. De uiteindelijke bewegingsvergelijkingen voor de robotarm kunnen dan worden geschreven als een tweede-orde differentiaalvergelijking die de krachten en koppels binnen het systeem weergeeft:

waarbij $I$ het traagheidsmoment van de robotarm is, $I_m$ het traagheidsmoment van de motor, $m$ de massa van de arm is, $g$ de zwaartekrachtversnelling, en $B$ en $B_m$ de wrijvingsconstanten zijn. De term $\tau$ vertegenwoordigt het koppel dat door de motor op de arm wordt uitgeoefend.

Kinetische Energie in de EL-formulering

De kinetische energie van een robotarm is een belangrijke factor bij het afleiden van de Lagrangiaan. Aangezien een robotarm meestal uit meerdere beweegbare scharnieren bestaat, moet de kinetische energie worden berekend voor elk van de links en de motoren. De kinetische energie van elk link wordt gegeven door de som van de translatie- en rotatiecomponenten van de snelheid van de massa’s die deel uitmaken van de link. De totale kinetische energie van het systeem is de som van de kinetische energieën van alle links en motoren:

waarbij $T_i$ de kinetische energie van de $i$-de link is, en $T_{mi}$ de kinetische energie van de bijbehorende motor. De kinetische energie van een enkele link kan verder worden opgesplitst in de translatiecomponent, de mutual component (door de interactie tussen de massa’s), en de rotatiecomponent.

Het vertalen van de kinetische energie naar een dynamisch model is essentieel voor het correct simuleren van het gedrag van een robotarm. Elke component van de kinetische energie moet zorgvuldig worden geanalyseerd, omdat de dynamische eigenschappen van het systeem sterk afhangen van de massa-distributie, de koppeling van de scharnieren, en de motoren.

Relevantie van de Euler-Lagrange Formulering

De EL-formulering biedt belangrijke inzichten voor het ontwerpen van robuuste besturingssystemen voor robotarmen. Omdat de uitkomsten in symbolische vorm worden gepresenteerd, zijn ze bijzonder geschikt voor de studie van algemene dynamische eigenschappen. Ze maken het mogelijk om meer geavanceerde regelstrategieën te ontwikkelen en te analyseren, zoals modelgebaseerde besturing en inverse dynamica.

Aan de andere kant is er de Newton-Euler methode, die meer gericht is op het numeriek oplossen van dynamische problemen in real-time, vooral nuttig voor toepassingen die onmiddellijke feedback vereisen.

Bij het ontwerpen en implementeren van robotische systemen moet men echter rekening houden met het feit dat de dynamische modellen in de praktijk vaak benaderingen zijn. Onvolkomenheden zoals wrijving, slijtage, en de variabiliteit in de motorprestaties kunnen de nauwkeurigheid van de modellen beïnvloeden. Het is dus belangrijk om ook rekening te houden met de mogelijke afwijkingen en onzekerheden in de parameters, en waar mogelijk adaptieve controletechnieken toe te passen om deze te compenseren.

Hoe wordt de dynamische matrix van een manipulator opgebouwd en welke implicaties heeft dit voor de ontwerpkeuzes?

De dynamische beschrijving van een manipulator is van fundamenteel belang voor het begrijpen en optimaliseren van robotbewegingen. Het kan aanzienlijk complexer worden naarmate de kinematica van het systeem ingewikkelder wordt. In deze context is de analyse van de traagheidsmatrix essentieel voor de modellering van de dynamica van een manipulator, vooral als deze een gesloten ketenstructuur heeft. Het proces van het afleiden van de traagheidsmatrix, inclusief de invloed van motoren en de invloed van gravitationele krachten, geeft belangrijke inzichten in de bewegingsgedragingen van de robot.

Een specifiek voorbeeld van zo’n systeem is de parallelogramarm, waarvan de traagheidsmatrix kan worden afgeleid door gebruik te maken van de vergelijkingen (2.77) en (2.78). Hieruit komt een matrix Υ die het kinetische gedrag van de robot karakteriseert. Door de mechanische configuratie van de robot zodanig te ontwerpen dat de massa’s en lengtes van de armen goed verdeeld zijn, kan de traagheidsmatrix onafhankelijk van de configuratie worden gemaakt, en zelfs gedecoupled. Dit betekent dat de bewegingen van de robot langs verschillende assen onafhankelijk van elkaar kunnen plaatsvinden, wat de algehele controle en stabiliteit van het systeem vereenvoudigt.

Een ander belangrijk resultaat van dit ontwerp is dat de Coriolis- en centrifugale termen verdwijnen, wat de dynamische analyse aanzienlijk vereenvoudigt. Dit effect wordt bereikt door de gesloten kinematische ketenstructuur die in het ontwerp is geïmplementeerd. Bovendien, wanneer de traagheidsmatrix constant is, zijn de gravitationele termen de enige die nog invloed hebben op de robotbewegingen. Deze kunnen eenvoudig worden berekend door de massa's en de afstanden tot de gewichtscentra van de verschillende schakels van de robot te beschouwen.

De toepassing van deze benaderingen heeft significante voordelen voor het ontwerp van robots die zware lasten moeten manipuleren. In plaats van te vertrouwen op ingewikkelde en belastende dynamische berekeningen voor elke configuratie van de robot, kan een dergelijke dynamische modellering een robot efficiënter maken door gebruik te maken van de gestandaardiseerde parameters die enkel afwijken op basis van de externe krachten, zoals graviteit.

De eenvoud in de dynamische modellen van gesloten ketenrobots is opmerkelijk, vooral in vergelijking met de meer complexe modellen van open-ketenrobots, zoals de klassieke 2R-planararm. Dit benadrukt waarom gesloten kinematische ketens zo'n belangrijke rol spelen in de ontwerpfilosofie van industriële robots, waar precisie en efficiëntie cruciaal zijn voor het manipuleren van zware of delicate objecten.

Naast de invloed van de massa en geometrie van de robotstructuur zijn er nog andere belangrijke overwegingen. Het ontwerp van de robot moet niet alleen rekening houden met de traagheid van de armen en de motoren, maar ook met de manier waarop de krachten in het systeem worden overgedragen en verdeeld. Het begrijpen van deze dynamische eigenschappen kan helpen bij het optimaliseren van het ontwerp voor specifieke toepassingen, zoals precisiepositionering of snelle verplaatsing van zware lasten. Ook is het essentieel te begrijpen dat zelfs een minimale afwijking in massa- of lengtespecificaties grote gevolgen kan hebben voor de prestaties van de robot, vooral wanneer de robot werkt met externe krachten die variëren over de werkruimte.

Tot slot moet opgemerkt worden dat hoewel de dynamische modellering van robots zoals de 2R-polararm aanvankelijk ingewikkeld lijkt, de voordelen van het gebruik van recursieve symbolische berekeningen het proces aanzienlijk vergemakkelijken. Door systematisch de snelheden van de verschillende schakels te berekenen in een lokaal referentiekader en gebruik te maken van dynamische parameters, wordt het mogelijk om sneller en met minder kans op fouten dynamische modellen af te leiden. Dit maakt de modellering van robuuste systemen mogelijk, zelfs bij een groot aantal gewrichten, wat cruciaal is voor het ontwerpen van geavanceerde manipulators in industriële toepassingen.

Hoe werkt adaptieve trajectvolging in de gewrichtenruimte en waarom is passiviteit cruciaal?

De dynamica van robotarmen wordt beschreven door tijdvariërende systemen, wat voortkomt uit de afhankelijkheid van de parameters van het gewenste traject. Dit maakt het ontwerp van een stabiele besturing een complexe uitdaging. Desondanks kan met behulp van de Barbalat-lemma de globale asymptotische stabiliteit worden aangetoond. Het feit dat de afgeleide van een geschikte Lyapunov-functie niet-positief is en dat zijn tweede afgeleide begrensd is, impliceert dat de trackingfout na verloop van tijd afneemt tot nul, ongeacht de begintoestand.

Een effectieve benadering is de passiviteit-gebaseerde besturing, waarbij gebruik wordt gemaakt van de passiviteit van de relatie tussen het ingangs-koppel en de gewrichtssnelheid. Deze eigenschap geldt universeel voor robotarmen en stelt ons in staat een besturingswet te formuleren die de gewenste snelheidsreferentie en de fout in positie combineert. De implementatie hiervan vereist het vervangen van de gewenste snelheid en versnelling door hun referentievarianten, waarmee de controller robuust kan reageren op afwijkingen.

De kern van een adaptieve benadering ligt in de lineariteit van het dynamische model ten opzichte van de robotparameters. Door het niet-lineaire model te herschrijven als een lineaire combinatie van onbekende, constante dynamische coëfficiënten, kunnen adaptieve regels worden toegepast. Deze coëfficiënten worden geschat aan de hand van een regressormatrix die functies bevat van positie, snelheid en versnelling van de gewrichten. De controller kan dus dynamisch worden aangepast door de parameters bij te stellen op basis van de gemeten trackingfout.

Het gesloten-lus systeem met adaptieve besturing wordt gekenmerkt door een uitgebreid Lyapunov-functionaal dat niet alleen de trackingfout maar ook de schatting van de dynamische parameters omvat. Door het toepassen van een adaptatie wet op de parameters wordt de tijdsafgeleide van deze functie negatief semi-definiet, wat een vorm van stabiliteit garandeert. Weliswaar blijft het systeem tijdvariërend vanwege de afhankelijkheid van het gewenste traject, maar opnieuw maakt de Barbalat-lemma duidelijk dat de trackingfout uiteindelijk zal verdwijnen en de parameterinschattingen naar constante waarden convergeren.

De adaptieve besturingswet integreert drie fundamentele componenten: een compensatie op basis van inverse dynamica die de niet-lineaire en koppelende effecten benadert, een proportioneel-derivatieve actie ter stabilisatie van de trackingfout, en een gradient-type aanpassing van de parameterinschattingen die zorgt voor asymptotische compensatie van dynamische onvolkomenheden. Dit principe, gebaseerd op de 'certainty equivalence', houdt in dat de huidige parameterinschattingen worden behandeld alsof ze exact zijn, waardoor de besturing continu wordt bijgesteld.

Hoewel de adaptieve besturing primair gericht is op het minimaliseren van de trackingfout, impliceert dit niet dat de geschatte parameters exact overeenkomen met de werkelijke systeemparameters. Het eindresultaat is een parameterinschatting die binnen de nulruimte van de regressormatrix ligt, afhankelijk van het uitgevoerde traject. Indien het gewenste traject voldoet aan een persistent excitatiecriterium, waarbij de regressormatrix voldoende informatief is over de tijd, kunnen de parameters wel naar hun werkelijke waarden convergeren. Dit leidt tot een optimale regeling waarbij de trackingfout vrijwel zonder initieel overschot verdwijnt bij nieuwe trajecten.

De adaptieve aanpak kan ook uitgebreid worden naar niet-minimale parametrisaties, waarbij een grotere set dynamische parameters wordt geschat. Hoewel dit de complexiteit van de adaptieve wet verhoogt, blijft de asymptotische stabiliteit van de trackingfout behouden. Dit maakt de methode flexibel en toepasbaar op een breed scala aan robotmodellen, waarbij het wel opletten is dat de rekenlast acceptabel blijft.

Belangrijk om te begrijpen is dat deze methode niet alleen geschikt is voor trajectvolging, maar ook voor regulatie, waarbij de robot een vaste positie moet bereiken en behouden. De stabiliteitsanalyse en adaptieve regels blijven dan grotendeels gelijk.

Daarnaast is het cruciaal te beseffen dat de tijdvariërendheid van het systeem de analyse en implementatie beïnvloedt. De aanwezigheid van niet-constante gewenste trajecten vereist het gebruik van lemmas zoals die van Barbalat om stabiliteit aan te tonen, aangezien klassieke statische stabiliteitscriteria ontoereikend zijn.

De keuze van de matrix voor parameteradaptatie bepaalt de snelheid waarmee de schattingen convergeren, wat een compromis inhoudt tussen reactievermogen en stabiliteit. Eveneens dient aandacht te worden besteed aan het persistent excitatiecriterium, omdat zonder voldoende variatie in het traject de parameterinschattingen slechts beperkt kunnen verbeteren.

Voor een volledige beheersing van het adaptieve trajectvolgingsprobleem is het daarom noodzakelijk niet alleen de structuur van de robotdynamica te kennen, maar ook inzicht te hebben in de eigenschappen van het gewenste traject en de stabiliteitsanalyse in een tijdvariërende context.

Hoe werkt het kinematische model van een fietsrobot en wat maakt het uniek?

Het kinematische model van een fietsrobot beschrijft de beweging van een voertuig met een oriëntabele achterwiel en een vast voorwiel, waarbij de configuratie wordt vastgelegd door de coördinaten $q = (x, y, \theta, \varphi)$. Hierin zijn $x, y$ de Cartesische coördinaten van het contactpunt van het achterwiel met de grond, $\theta$ de oriëntatie van het achterwiel (en daarmee van het voertuig) ten opzichte van de $x$-as, en $\varphi$ de stuurhoek van het voorwiel ten opzichte van het voertuig. Het voertuig ondergaat twee zuivere rollingsbeperkingen, die voortkomen uit de rol zonder slip van de beide wielen. Deze beperkingen zorgen ervoor dat het contactpunt van elk wiel alleen een snelheid heeft langs zijn nuldraailijn, wat betekent dat de wielen niet kunnen schuiven maar uitsluitend rollen.

De meetkundige betekenis van deze beperkingen is duidelijk: de nuldraailijnen van de twee wielen snijden elkaar in een punt $C$, het zogeheten onmiddellijke draaipunt. Het gehele voertuig beweegt op dat moment langs een cirkelboog rondom dit punt $C$. Door gebruik te maken van de afstand tussen de wielen kan één van de beperkingen herschreven worden zodat het kinematische model een compacte vorm krijgt, waarbij de toestandsveranderingen worden uitgedrukt in termen van de snelheden van voortbeweging en sturen.

Voor een fiets met achterwielaandrijving kunnen de toegestane snelheden worden beschreven door een combinatie van een voortstuwingssnelheid $v$ (de snelheid van het contactpunt van het achterwiel) en een stuurhoekverandering $\omega = \dot{\varphi}$. Het kinematische model wordt dan singular bij $\varphi = \pm \pi/2$, omdat de wielen dan loodrecht staan op de rijrichting en iedere voortbewegingssnelheid slip zou veroorzaken. Dit aspect onderstreept het belang van het begrijpen van de beperkingen van het stuurmechanisme en de bewegingsvrijheid van het voertuig.

Anders is de situatie bij een fiets met voorwielaandrijving: hier zijn de snelheden zodanig dat het model niet singular wordt bij $\varphi = \pm \pi/2$. In dit geval kan het voertuig pivoteren rond het achterwiel, wat betekent dat de stuurhoek een andere dynamiek en bewegingsvrijheid toestaat dan bij achterwielaandrijving. Ook hier is het voertuig volledig bestuurbaar met dezelfde mate van niet-holonomie, wat aangeeft dat ondanks de bewegingsbeperkingen toch volledige controle over het voertuig mogelijk is.

De niet-holonomische beperkingen die voortkomen uit de zuivere rollingsbeperkingen zijn fundamenteel omdat ze bepalen dat het voertuig niet willekeurig in alle richtingen kan bewegen, maar slechts langs bepaalde paden die voldoen aan deze voorwaarden. Dit onderscheidt kinematisch vergelijkbare maar mechanisch verschillende voertuigen zoals de driewieler of autogelijkende robots, die hetzelfde kinematische model delen maar anders in balans zijn vanwege hun ondersteuningsgebieden.

De kinematische modellen van fietsrobots kunnen bovendien worden omgevormd naar een zogenoemde chained form, een gestandaardiseerd systeemtype dat driftloos is en twee inputs kent. Deze transformatie maakt systematische plannings- en controlemethoden mogelijk, doordat het model hierdoor in een eenvoudigere en uniformere vorm wordt gegoten. Bijvoorbeeld het unicycle-model en het fietsmodel met achterwielaandrijving kunnen worden teruggebracht tot (2,3) respectievelijk (2,4) chained forms, wat betekent dat hun complexiteit op een gecontroleerde manier geordend kan worden.

De ketenvorm laat zich omschrijven met toestandsvariabelen $z$ en ingangen $w$, waarbij de dynamiek van hogere orde gekoppeld is aan de lagere orde toestandsvariabelen via lineaire en niet-lineaire termen. Deze formulering maakt het mogelijk om de bestuurbaarheid en de mate van niet-holonomie van het systeem helder te analyseren.

Belangrijk om te beseffen is dat het kinematische model zich richt op de snelheidsrelaties en bewegingsbeperkingen zonder directe beschrijving van krachten of dynamische massa-effecten. De werkelijke besturing van een fietsrobot vraagt daarom om een aanvulling met dynamische modellen, vooral wanneer de snelheid hoog wordt of de interactie met de ondergrond complex is. Het begrijpen van deze onderliggende beperkingen helpt ook bij het ontwikkelen van robuuste regelstrategieën en het vermijden van slip of onstabiele situaties.

Verder speelt de positionering van het referentiepunt een grote rol bij de interpretatie van het model: het kan bijvoorbeeld het midden tussen de wielen zijn, of het contactpunt van het achterwiel. Dit beïnvloedt niet alleen de kinematische vergelijkingen, maar ook de praktische interpretatie en het ontwerp van sensoren en actuatoren.

Tot slot kan de analyse van de toegankelijkheidsdistributie en de lineaire onafhankelijkheid van inputvectorvelden (zoals $g_1(q), g_2(q), g_3(q), g_4(q)$) inzicht geven in de mate van controle over het systeem en de mogelijke manoeuvres die het voertuig kan uitvoeren. Dit is van belang bij het ontwerpen van autonome rij- en navigatiealgoritmen, waarbij rekening wordt gehouden met de intrinsieke niet-holonomische eigenschappen.