Nel trasporto di calore in elio superfluido attraverso canali stretti, la geometria della sezione trasversale assume un ruolo cruciale nel determinare la conducibilità termica effettiva del sistema. In contrasto con il caso del flusso radiale da un cilindro caldo, dove la relazione tra il flusso di calore locale e il gradiente di temperatura differisce profondamente dalla legge di Fourier, per i canali cilindrici si possono adottare analogie idrodinamiche che permettono un'analisi più familiare.

Nel regime stazionario, trascurando i termini convettivi non lineari, le equazioni di bilancio di massa ed energia si riducono a ∇·v = 0 e ∇·q = 0. Tali condizioni portano a equazioni accoppiate che descrivono il comportamento del campo di velocità v e del flusso di calore q. Quando il termine di destra dell'equazione che lega ∇p a S∇T è trascurabile — come accade quando λ₁ è sufficientemente grande, in accordo con osservazioni sperimentali — si ottiene una dipendenza esclusivamente radiale per v e q.

Applicando una procedura analoga a quella utilizzata per il flusso di Poiseuille, si arriva a una soluzione in cui il flusso medio attraverso una sezione del tubo dipende direttamente dal gradiente di temperatura e dalle proprietà del fluido. Il risultato finale porta a un'espressione per la conducibilità termica effettiva:

K_eff = (R² T S²) / (8 η)

Questa dipendenza evidenzia l'importanza non solo delle proprietà del materiale e della temperatura, ma anche della scala geometrica R del sistema. È la presenza dei termini ∇²q che giustifica l’introduzione di effetti idrodinamici non locali, i quali si manifestano in una forte dipendenza della conducibilità dalla forma e dalle dimensioni del dominio.

Estendendo tale approccio ad altre geometrie, come sezioni ellittiche, quadrate o rettangolari, si ottengono espressioni analoghe per K_eff, che si distinguono per la presenza di fattori geometrici specifici. Ad esempio, per una sezione ellittica con semiassi a e b, si ha:

K_eff = (a³ b³ S² T) / (4 η (a² + b²))

Nel caso di canali rettangolari, l'espressione diventa più complessa e include una sommatoria che dipende dal rapporto di forma φ = a/b, mentre per una sezione quadrata si ottiene:

K_eff ≈ (a⁴ S² T) / (20.21 η)

Anche geometrie più sofisticate, come sezioni triangolari o anulari, possono essere trattate con questa metodologia. Per un canale a sezione triangolare si ha:

K_eff = (√3 a⁴ S² T) / (320 η)

Il valore di K_eff risulta quindi fortemente modulato dalle caratteristiche geometriche della sezione di flusso, rendendo fondamentale una progettazione accurata nei sistemi di raffreddamento basati su elio II.

Un'applicazione pratica significativa è rappresentata dalla refrigerazione di array di cilindri che dissipano calore, come nel caso di dispositivi quantistici immersi in elio superfluido. In tali sistemi, cilindri disposti tra due piastre isolanti generano calore che deve essere efficacemente rimosso per evitare il passaggio alla turbolenza quantistica, un limite critico al trasporto di calore ordinato.

Si considerano due regimi principali: quello in cui i cilindri sono molto vicini tra loro (φ → 1) e quello in cui sono molto distanziati (φ → 0). In entrambi i casi, la conducibilità termica effettiva totale del sistema, che include sia il contributo delle piastre che quello dei cilindri, è data da:

1 / K_eff^tot = 1 / K_eff^(piastre) + 1 / K_eff^(cilindri)

Nel caso φ → 1, ovvero spaziatura minima, si ha:

K_eff = [ (12/5) (S² T / η) (9π φ² / 2b³ (1−φ)) + (1 / b (1−φ)) (1 − 0.63 a / b) ]⁻¹

Mentre nel limite opposto, φ → 0, si ottiene:

K_eff = [ (12/5) (S² T / η) (1 / b³ (1−φ)) + (1 / b (1−φ)) (1 − 0.63 a / b) ]⁻¹

Queste espressioni rivelano come parametri geometrici microscopici — come il raggio dei cilindri, la distanza tra i loro assi e la separazione tra le piastre — influiscano sensibilmente sulla capacità di evacuazione termica dell’array. La presenza di pareti isolanti superiori e inferiori impone un trasporto puramente orizzontale, accentuando l’effetto delle condizioni al contorno.

In configurazioni simmetriche, ogni cilindro dissipa calore in direzioni opposte, portando a un flusso complessivo che si distribuisce in modo bilanciato. Tuttavia, l'accumulo locale di calore può condurre rapidamente al superamento delle soglie critiche per la comparsa della turbolenza quantistica, che rappresenta un limite intrinseco all’efficienza del trasporto.

È fondamentale notare che la conducibilità termica effettiva in elio II non può essere intesa come una proprietà del materiale nel senso classico. Essa riflette invece un’interazione complessa tra dinamica dei fononi, caratteristiche idrodinamiche del flusso, e geometria del contenitore. Di conseguenza, la progettazione di sistemi criogenici avanzati, come quelli richiesti nella computazione quantistica, deve integrare calcoli dettagliati della geometria per assicurare la stabilità termica ed evitare fenomeni non lineari.

La dipendenza della conducibilità dalle dimensioni rende anche possibile, in principio, controllare il trasporto termico non solo mediante la variazione di temperatura o materiali, ma anche attraverso modifiche strutturali e geometriche, una prospettiva essenziale per lo sviluppo di sistemi di raffreddamento scalabili.

Come i Colli Phonon-Wall Influiscono sulla Conduzione Termica nei Circuiti Criogenici a Micro e Nano Scala

Nel contesto delle dimensioni microscopiche e nanoscalari, la conduzione termica non segue le leggi classiche che descrivono i materiali su scala macroscopica. In particolar modo, in un regime di rarefazione, dove le dimensioni del sistema sono piccole, la principale forma di collisione che regola la conduzione termica non è quella tra phononi (le particelle che trasportano il calore) ma tra phononi e le pareti dei condotti. Questo cambiamento sostanziale nelle dinamiche di trasporto termico ha importanti implicazioni nella progettazione dei circuiti criogenici a micro e nano scala.

Quando si riduce la dimensione dei condotti termici, la lunghezza libera media dei phononi (indicata con 𝜖) gioca un ruolo fondamentale nel determinare come il calore si propaga. Nei sistemi a micro e nano scala, le collisioni phonon-wall diventano predominanti rispetto alle collisioni phonon-phonon, che sono tipiche della conduzione termica in condizioni normali. In queste situazioni, si osserva che la conducibilità termica effettiva (𝑲𝑒𝑓𝑓) non è proporzionale al quadrato del raggio del condotto (𝑅²), come suggerito dalla teoria classica, ma è direttamente proporzionale al raggio (𝑅), a causa dell'interazione tra phononi e pareti del condotto.

Questa transizione dalla conduttività termica tradizionale alla conduttività termica che dipende da 𝑅 è cruciale nella progettazione dei dispositivi che operano in condizioni di bassa temperatura, come quelli criogenici. In effetti, per descrivere adeguatamente il flusso di calore nei condotti sottili, è necessario considerare il flusso di calore tra le pareti, che deve essere analizzato in relazione alla lunghezza libera media dei phononi. L'effetto di tale flusso di calore, denotato con 𝑞𝑤, diventa significativo soprattutto quando la lunghezza libera media dei phononi (𝜖) è comparabile o superiore al raggio del condotto (𝑅).

Nel regime ballistico, in cui le collisioni phonon-wall dominano, il flusso termico può essere descritto mediante una relazione che lega il flusso di calore 𝑞𝑤 alla differenza di temperatura lungo il condotto. La dipendenza del flusso di calore dalle caratteristiche del condotto, come il raggio e la lunghezza libera media, porta a una formulazione della conduttività termica effettiva (𝑲𝑒𝑓𝑓) che si distingue nettamente dalle leggi classiche di conduzione, mostrando una dipendenza lineare con il raggio del condotto, invece di una dipendenza quadratica.

Un altro aspetto importante, che merita attenzione nella progettazione dei sistemi criogenici, riguarda le relazioni non lineari tra lo stress meccanico e il flusso di calore. In un modello a due fluidi per elio superfluido, le relazioni non lineari tra il flusso di calore 𝑞 e le variabili interne, come la densità e la temperatura, assumono una forma complessa che non può essere facilmente descritta con modelli lineari. Questo è un fenomeno che si osserva anche in altre situazioni in cui il flusso di calore è accompagnato da un movimento relativo delle fasi costituenti. Il modello a due fluidi, pur essendo utile a livello lineare, deve essere adattato per trattare questi effetti non lineari.

In particolare, una delle scoperte fondamentali di Kapitza nel 1941 è stata la correlazione tra il flusso di calore e una forza che agisce sulle superfici, deviatandole e orientandole. Questo effetto è stato quantificato da Hall, che ha sviluppato una relazione matematica che lega lo stress meccanico al flusso di calore. Le relazioni non lineari tra stress e flusso di calore sono essenziali per comprendere le dinamiche in sistemi a bassa temperatura, dove anche piccole variazioni nelle condizioni possono influire significativamente sul comportamento del sistema.

Per affrontare questi fenomeni complessi, è necessaria una comprensione approfondita delle leggi termodinamiche, in particolare del secondo principio della termodinamica. L'approccio mediante moltiplicatori di Lagrange, usato nella termodinamica razionale, permette di analizzare rigorosamente la compatibilità tra le equazioni costitutive e la produzione di entropia, che deve essere sempre positiva. La scelta accurata delle variabili interne, come la velocità relativa delle fasi costituenti, è fondamentale per ottenere una descrizione completa e coerente dei fenomeni non lineari.

Nella pratica, ciò significa che per ottenere modelli affidabili per circuiti criogenici a micro e nano scala, è necessario andare oltre le descrizioni lineari e considerare effetti di alta non linearità legati alla temperatura, alla densità e al comportamento del flusso termico. Modificare i parametri di un modello per includere questi effetti può fornire previsioni più accurate e applicabili nella progettazione di dispositivi che operano in ambienti a basse temperature.

La comprensione e l'analisi di questi fenomeni sono essenziali non solo per la progettazione dei circuiti criogenici, ma anche per qualsiasi sistema termico che operi a micro o nano scala, dove le interazioni tra i phononi e le superfici sono fondamentali per il controllo del flusso termico.

La superfluidità dell'elio-3 e il trasporto del calore quantistico

L'elio-3 presenta differenze significative rispetto all'elio-4, in particolare per la sua natura fermionica, dovuta al suo spin semi-intero (1/2), mentre l'elio-4 è un bosone con spin nullo. Quando la temperatura scende sotto i 3.3 K, l'elio-3 si comporta come un liquido normale fino a 0.8 K, per poi diventare un liquido quantistico di Fermi fino a 2.6 mK. Al di sotto di questa temperatura, gli atomi di elio-3 si accoppiano in coppie bosoniche, spesso con accoppiamento tripletto di spin (spin S = 1), e avviene una transizione in stati superfluidi, che si suddividono in due fasi: A e B.

La fase A è anisotropa e caratterizzata da stati di spin tripletto +1 e -1, con una suscettibilità magnetica indipendente dalla temperatura. La fase B, al contrario, è isotropa e comprende i tre stati di spin tripletto (+1, 0, -1), con una suscettibilità magnetica che diminuisce con la temperatura. Sebbene questi stati superfluidi siano troppo costosi e troppo freddi per essere utilizzati in applicazioni criogeniche, rappresentano un interessante campo di studio teorico. Infatti, la loro fenomenologia è più complessa di quella dell'elio-4 e offre possibili analogie in cosmologia e fisica delle particelle.

I condensati di Bose-Einstein degli atomi alcalini condividono alcune caratteristiche con l'elio-2 (superfluidità, vortici quantizzati), ma differiscono in vari aspetti significativi. In primo luogo, si trovano a temperature molto più basse rispetto all'elio superfluido, dell'ordine dei nanokelvin, e sono costituiti da un numero relativamente ridotto di particelle, tipicamente dell'ordine di 10^5 o 10^6. Inoltre, sono gas piuttosto che liquidi, quindi molto più diluiti e comprimibili, e sono confinati in trappole ottiche o magnetiche molto più piccole rispetto ai contenitori utilizzati per gli esperimenti sull'elio superfluido. L'uso di diversi specie atomiche permette di esplorare una maggiore varietà di parametri fisici, come massa, spin e accoppiamenti spin-orbita.

Il trasporto del calore nell'elio superfluido

Il trasporto del calore nell'elio superfluido è un fenomeno che merita particolare attenzione, sia per motivi pratici che concettuali. La sua alta conducibilità termica e capacità termica a pressione costante, insieme alla sua bassa resistenza al flusso in canali stretti, lo rendono estremamente utile nelle applicazioni criogeniche. Tuttavia, il trasporto di calore nell'elio superfluido presenta aspetti nuovi e concettualmente ricchi, che lo rendono probabilmente il sistema più interessante sotto questo profilo. Questi aspetti possono essere classificati come trasporto inerziale, idrodinamico e turbolento.

Il trasporto inerziale si riferisce al fatto che il tempo di rilassamento del flusso di calore è molto lungo, il che implica che la sua inerzia rispetto alle variazioni del gradiente di temperatura è elevata. Un'importante conseguenza di questo fenomeno è la propagazione ondulatoria del calore attraverso il cosiddetto "secondo suono". Per descrivere questo fenomeno, l'equazione che lega il flusso di calore q al gradiente di temperatura ∇T deve includere un termine aggiuntivo, proporzionale alla derivata temporale del flusso di calore.

Il trasporto idrodinamico implica che il flusso di calore mostri effetti non locali notevoli, derivanti da lunghe correlazioni quantistiche. Questo significa che l'equazione che collega q a ∇T deve contenere termini simili al Laplaciano di q, analoghi al termine nel Laplaciano della velocità nell'equazione di Navier–Stokes per i fluidi viscosi. Di conseguenza, la conduttività termica effettiva del fluido elio lungo i canali dipende dalla dimensione e dalla forma della sezione trasversale del canale, e il flusso di calore può includere vortici. Questi effetti sono stati una fonte di ispirazione per la descrizione della cosiddetta idrodinamica dei fononi nei solidi, a partire dagli anni '60.

Il trasporto turbolento si manifesta in due aspetti rilevanti: quando il flusso di calore supera un valore critico, il flusso agisce come una sorgente di disordine sotto forma di vortici quantizzati nel superfluido, i quali a loro volta generano una resistenza aggiuntiva al flusso di calore, proporzionale a q³ (dove q è il modulo del flusso di calore). Questo riduce i vantaggi dell'elio superfluido nelle applicazioni criogeniche. La descrizione di questi effetti turbolenti richiede un'ulteriore equazione che descriva la resistenza al flusso dovuta ai vortici e che accoppi la dinamica del flusso di calore con la dinamica dei vortici quantizzati stessi.

Applicazioni criogeniche dell'elio superfluido

L'elio superfluido è ampiamente utilizzato nelle tecniche criogeniche grazie alla sua facilità di flusso e alla sua elevata conducibilità termica e capacità termica. Viene impiegato, ad esempio, per raffreddare bobine superconducting che trasportano correnti elettriche elevate e producono forti campi magnetici, utilizzate in acceleratori di particelle, esperimenti di fusione nucleare, e dispositivi di risonanza magnetica per l'analisi chimica e le immagini mediche. È anche utilizzato per refrigerare computer quantistici e dispositivi di misurazione sensibili in satelliti di osservazione.

L'elio-2 è stato il modello paradigmatico della superfluidità, fenomeno che è stato successivamente osservato anche nell'elio-3 e nei condensati di Bose-Einstein. La superfluidità è anche pensata per essere presente nelle stelle di neutroni, e potrebbe fornire un modello euristico per alcune proprietà del vuoto quantistico in cosmologia.

La turbolenza quantistica

Un altro comportamento peculiare dell'elio-2 è la presenza di vortici quantizzati. Le prime osservazioni di aspetti particolari della rotazione nei superfluidi risalgono alla fine degli anni '50, quando si capì che la vorticità poteva manifestarsi all'interno dei superfluidi e che essa fosse quantizzata, con un quantum di circolazione κ = h/m₄, dove h è la costante di Planck e m₄ è la massa atomica dell'elio-4. Gli esperimenti sulla propagazione del secondo suono in sistemi rotanti hanno mostrato che, quando il secondo suono si propaga perpendicolarmente all'asse di rotazione, subisce una maggiore attenuazione rispetto alla propagazione in vasi non rotanti, in misura proporzionale alla velocità angolare. L'attenuazione trascurabile che si verifica quando la propagazione avviene parallela all'asse di rotazione può essere spiegata dalla frizione reciproca tra il flusso di eccitazioni (fononi e rotoni) e i filamenti di vortici quantizzati. Questi vortici sono stati osservati direttamente e studiati quantitativamente, mostrando che, poiché sono sempre caratterizzati dallo stesso quantum di circolazione, un aumento della velocità di rotazione comporta un incremento della lunghezza totale dei vortici per unità di volume.

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