Mogilevich L. I., Popov V. S., Chernenko A. V.
Università Statale Tecnica di Saratov intitolata a Yuri Gagarin

È stato sviluppato un modello meccanico per lo studio delle oscillazioni idroelastiche della parete di un canale riempito con liquido viscoso. È stato esaminato l'effetto del supporto terminale della parete elastica del canale sulle sue oscillazioni risonanti. Il canale è posizionato su una base vibrante. Per costruire il modello matematico, è stato utilizzato il metodo della massa equivalente. È stato sviluppato un modello matematico del canale che include un sistema di equazioni per la dinamica del liquido viscoso, le equazioni per la dinamica della parete del canale, con le condizioni al contorno appropriate. La soluzione del sistema è stata ottenuta tramite il metodo delle perturbazioni. Sono state costruite le caratteristiche ampiezza-frequenza (AFC) della parete del canale e della pressione nel layer di liquido viscoso. Sono stati eseguiti calcoli per determinare le AFC della parete del canale e della pressione nel liquido, e sono state identificate le frequenze di risonanza.

Parole chiave: oscillazioni idroelastiche, liquido viscoso, piastra, modellazione matematica, pressione, caratteristiche ampiezza-frequenza

In molte macchine e dispositivi moderni, gli elementi elastici delle strutture (piastre, travi, gusci) interagiscono con il liquido [1-9]. Di conseguenza, è necessario studiare l'interazione tra gli elementi elastici delle strutture e il liquido, in condizioni di vibrazione delle basi delle macchine e di pulsazione della pressione del liquido [10-16]. Consideriamo il seguente modello meccanico del canale (vedi figura 1), che imita queste condizioni. Nel contesto di questo modello, il canale è formato da pareti parallele 1, 2 e da un liquido viscoso incomprimibile 3 tra di esse. La parete 1 è rigida, mentre la parete 2 è una piastra elastica. Utilizzando il metodo della massa equivalente, modelleremo i movimenti della parete 2 all'interno di un modello a una massa, cioè considereremo la parete come rigida su un supporto elastico. La larghezza del canale è 2ℓ, la lunghezza è b, e supponiamo che la larghezza sia molto inferiore alla lunghezza, la spessore del liquido, l'ampiezza delle oscillazioni della parete 2, dove . Introduciamo un sistema di coordinate cartesiane x, y, z. Considerando quanto sopra, assumiamo che la lunghezza del canale lungo l'asse y sia illimitata, in altre parole, considereremo un problema bidimensionale. Assumiamo che il canale sia posizionato su una base vibrante e ci limiteremo a considerare la modalità di oscillazioni armoniche stazionarie. Sulle estremità del canale, consideriamo che l'uscita del liquido sia libera, con una pressione del liquido definita rispettivamente a sinistra e a destra. La legge di movimento della base vibrante è espressa da:

A(t)=A0cos⁡(ωt)A(t) = A_0 \cos(\omega t)

dove A0A_0 è l'ampiezza delle oscillazioni della base, ω\omega è la frequenza e tt è il tempo. L'accelerazione vibrazionale della base è quindi:

A¨(t)=−A0ω2cos⁡(ωt)\ddot{A}(t) = -A_0 \omega^2 \cos(\omega t)

La dinamica del liquido viscoso nel canale è descritta dal sistema di equazioni di Navier-Stokes e dall'equazione di continuità [17]:

ρ∂v⃗∂t+ρ(v⃗⋅∇)v⃗=−∇p+μ∇2v⃗\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \rho (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v}
∇⋅v⃗=0\nabla \cdot \vec{v} = 0

dove v⃗\vec{v} è il vettore velocità del liquido, pp è la pressione, e ρ\rho, ν\nu sono rispettivamente la densità e il coefficiente di viscosità cinematica del liquido.

Figura 1. Schema di calcolo del canale

Le condizioni al contorno sono: condizioni di aderenza del liquido alle pareti del canale e condizioni di uscita libera alle estremità [5-9, 15-16]:

v⃗=0alle pareti(x=±ℓ)\vec{v} = 0 \quad \text{alle pareti} \quad (x = \pm \ell)
p=p0alle estremitaˋ(y=±b)p = p_0 \quad \text{alle estremità} \quad (y = \pm b)

L'equazione del movimento della parete elastica 2 è rappresentata come:

meqy¨+keqy=Fm_{eq} \ddot{y} + k_{eq} y = F

dove meqm_{eq} è la massa equivalente della parete 2, keqk_{eq} è la rigidità equivalente del supporto elastico, e FF è la forza esercitata dal liquido sulla parete. La forza FF è espressa come:

F=∫σ dAF = \int \sigma \, dA

dove σ\sigma è la tensione normale che agisce sul lato del liquido sulla parete [17].

Introduciamo variabili adimensionali come:

ψ=hℓ,λ=bℓ,Re=ρωℓ2μ\psi = \frac{h}{\ell}, \quad \lambda = \frac{b}{\ell}, \quad Re = \frac{\rho \omega \ell^2}{\mu}

Sostituendo queste variabili nelle equazioni (3)-(7), otteniamo una versione adimensionale del problema idroelastico che include le equazioni per la dinamica del liquido:

∂2ψ∂t2+λ2∂2ψ∂x2=0\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \lambda^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = 0

e le equazioni per il movimento della parete del canale:

meqy¨+keqy=Fm_{eq} \ddot{y} + k_{eq} y = F

I dettagli numerici e le simulazioni per il calcolo delle AFC sono stati eseguiti nel pacchetto Maple [20]. I risultati sono mostrati nelle figure successive, dove è stato studiato l'effetto dei diversi tipi di supporto della parete elastica e la risposta in termini di AFC e pressione.

Figura 2. Dipendenza delle AFC dal tipo di supporto della parete

Figura 3. Dipendenza delle AFC da un supporto articolato su un lato e rigidamente fissato sull'altro lato

Il calcolo delle AFC della pressione nel canale è stato effettuato in termini adimensionali, e i risultati mostrano che alle frequenze di risonanza la pressione nel liquido può essere significativamente inferiore alla pressione di vapore saturo. Questo suggerisce la possibilità di cavitazione alle frequenze di risonanza, il che potrebbe compromettere il funzionamento delle macchine e portare alla corrosione cavitazionale dei loro elementi elastici [21, 22].

Figura 4. Dipendenza delle AFC della pressione dalla frequenza

Figura 5. Dipendenza delle AFC della pressione nel caso di supporto articolato e rigidamente fissato

In conclusione, la soluzione di questo problema evidenzia la dipendenza delle frequenze di risonanza dal tipo di supporto della parete elastica, dalla viscosità del liquido e dalle dimensioni geometriche del canale. Sono state determinate le caratteristiche ampiezza-frequenza, che permettono a loro volta di calcolare le frequenze di risonanza e di analizzare i parametri (come l'ampiezza dei movimenti della parete e la pressione nel liquido) a queste frequenze.

Il lavoro è stato svolto con il supporto del RFBR, grant n° 16-01-00175-a e grant n° 15-01-01604-a.

Fine del testo.

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