Come i filtri lineari e non lineari generano rumori colorati: analisi dei modelli stocastici

I rumori colorati possono essere modellati come risposte di sistemi lineari, regolati da equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti e soggetti a eccitazioni da rumore bianco gaussiano. Questi rumori sono noti come rumori filtrati linearmente. Sebbene la loro distribuzione di probabilità rimanga gaussiana, le densità spettrali non sono più costanti, ma decrescono rapidamente con l’aumentare della frequenza. A seconda della natura dei sistemi lineari coinvolti, i rumori filtrati possono mostrare proprietà spettrali diverse. Tra i filtri più utilizzati troviamo quelli di primo e secondo ordine.

Il filtro lineare di primo ordine è definito dalla seguente equazione differenziale:

\dot{X} + \alpha X = W_g(t)

dove $W_g(t)$ è un rumore bianco gaussiano con densità spettrale $K$ . Le funzioni densità spettrale di potenza e la funzione di correlazione di $X(t)$ sono, rispettivamente:

S(\omega) = \frac{K}{\omega^2 + \alpha^2}

R(\tau) = \frac{1}{\alpha} e^{ -\alpha |\tau|}

Dove $K$ rappresenta l’intensità del processo e $\alpha$ determina la larghezza della banda del processo, ossia la durata della correlazione temporale. Il rumore generato da questo filtro è un rumore passa-basso, con il picco spettrale posizionato alla frequenza zero ( $\omega = 0$ ).

Il filtro lineare di secondo ordine è descritto dalla seguente equazione differenziale:

\ddot{X} + 2\zeta \omega_0 \dot{X} + \omega_0^2 X = W_g(t)

Le densità spettrali per $X(t)$ e $\dot{X}(t)$ sono, rispettivamente:

S_{XX}(\omega) = \frac{K \omega_0^2}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + 4\zeta^2 \omega_0^2 \omega^2}

S_{\dot{X}\dot{X}}(\omega) = \frac{K \omega_0^2}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + 4 \zeta^2 \omega_0^2 \omega^2}

Dove il parametro $\zeta$ controlla la larghezza di banda, mentre $\omega_0$ determina la posizione del picco. Se il valore di $\zeta$ è basso, il picco si trova vicino a $\omega_0$ e la larghezza di banda è stretta. I processi generati da questi filtri di secondo ordine sono ampiamente utilizzati per modellare le eccitazioni casuali, come nel caso delle sollecitazioni sulle navi.

Questi filtri lineari sono molto utili in quanto semplificano l’analisi matematica dei processi stocastici, rendendo conveniente il trattamento delle equazioni differenziali. Se il processo presenta più di un picco spettrale, è necessario ricorrere a filtri di ordine superiore, ma ciò implica l’introduzione di ulteriori parametri da identificare.

D’altro canto, i rumori generati da filtri non lineari sono utili per modellare rumori non gaussiani, la cui distribuzione di probabilità può essere limitata o illimitata. Ad esempio, consideriamo un processo di diffusione $X(t)$ , definito su un intervallo tra $x_l$ e $x_r$ , e governato dall’equazione di Itô:

dX = -\alpha X dt + D(X) dB(t)

dove $\alpha$ è una costante positiva e $B(t)$ è un processo Wiener unitario. Quando la funzione $D(X)$ non è costante, si ha un filtro non lineare di primo ordine. In questo caso, la funzione di correlazione del processo $X(t)$ è descritta da:

R_{XX}(\tau) = \sigma_X^2 e^{ -\alpha |\tau|}

La densità spettrale di $X(t)$ è la trasformata di Fourier della funzione di correlazione e risulta essere:

S_{XX}(\omega) = \frac{\alpha \sigma_X^2}{\omega^2 + \alpha^2}

Questa densità spettrale è simile a quella generata dai filtri lineari di primo ordine, ma in un filtro non lineare, la funzione $D(X)$ può essere scelta in modo tale da ottenere distribuzioni di probabilità arbitrarie per il processo stocastico.

Inoltre, un aspetto importante del processo di diffusione modellato è che la distribuzione di probabilità stazionaria di $X(t)$ è regolata dall'equazione Fokker-Planck ridotta. Per processi con distribuzioni di probabilità uniformi o esponenziali, è possibile determinare il coefficiente di diffusione $D(X)$ in base alla distribuzione scelta, con conseguente modifica del comportamento spettrale e della correlazione del processo.

I filtri non lineari di ordine superiore, come i filtri di secondo ordine, possono essere usati per generare rumori colorati più complessi, ma comportano una maggiore complessità nell’identificazione dei parametri. In questi casi, si possono ottenere modelli più accurati per fenomeni stocastici complessi come quelli presenti nei sistemi fisici reali, dove rumori non gaussiani e limitati sono comuni.

Un altro punto cruciale riguarda il fatto che la scelta del filtro e della sua ordinatura dipende fortemente dalla natura del processo da modellare. La possibilità di regolare la funzione di diffusione e di utilizzare equazioni di Itô per descrivere il comportamento stocastico consente di affrontare una vasta gamma di applicazioni pratiche, dai modelli fisici alla simulazione di dinamiche complesse in ingegneria e scienze applicate.

Come Classificare e Comprendere i Sistemi Hamiltoniani Generalizzati

Un sistema Hamiltoniano generalizzato, che soddisfa la condizione (3.108), è una funzione arbitraria della funzione Hamiltoniana generalizzata $H$ e delle funzioni di Casimir $C_1, C_2, \dots, C_M$ . Analogamente ai sistemi Hamiltoniani non integrabili che sono ergodici su uno spazio sottostante, si assume che i sistemi Hamiltoniani generalizzati non integrabili siano ergodici su sottovarietà dove $H$ , $C_1, C_2, \dots, C_M$ sono costanti. I sistemi Hamiltoniani generalizzati completamente integrabili e completamente non integrabili rappresentano due casi speciali di questi sistemi.

Nella maggior parte dei casi, i sistemi Hamiltoniani generalizzati sono parzialmente integrabili, il che significa che oltre alle $M$ funzioni di Casimir, esistono $r$ (con $1 < r < n$ ) integrali di primo ordine indipendenti e reciproci, noti come $H_1, H_2, \dots, H_r$ . Se questi $r$ integrali soddisfano le relazioni espresse nelle equazioni (3.80) e (3.81), allora i primi $r - 1$ integrali, insieme alle $M$ funzioni di Casimir, costituiscono un sottosistema Hamiltoniano generalizzato integrabile, mentre $H_r$ rappresenta un sottosistema Hamiltoniano non integrabile.

Prendiamo ora in considerazione un caso speciale di sistemi Hamiltoniani generalizzati separabili parzialmente integrabili con $x = [x_1, x_2, x_3]$ , dove $x_1$ è un vettore di dimensione $2n_1$ , $x_2$ un vettore di dimensione $2n_2$ , e $x_3$ un vettore di dimensione $M$ . In questo caso, la funzione Hamiltoniana $H_1(x_1) = H_1(q_1, p_1)$ , dove $q_1, p_1$ sono rispettivamente vettori di dimensione $n_1$ , è completamente integrabile, e sono disponibili i vettori di azione $I = [I_1(x_1), \dots, I_{n_1}(x_1)]^T$ e i vettori angolari $\theta = [\theta_1(x_1), \dots, \theta_{n_1}(x_1)]^T$ . La funzione Hamiltoniana $H_2(x_2) = H_2(q_2, p_2)$ , dove $q_2, p_2$ sono vettori di dimensione $n_2$ , definisce un sottosistema Hamiltoniano non integrabile.

Il sottosistema Hamiltoniano generalizzato integrabile soddisfa le seguenti equazioni di movimento:

\frac{dI}{dt} = \frac{d\theta_i}{dt} \quad (I_i, H_1 = 0, \frac{\partial H_1}{\partial \theta_i} = \omega_i I)

dove $\omega_i$ rappresenta la frequenza angolare. Quando le frequenze $\omega_i$ non sono linearmente dipendenti da coefficienti interi, il sottosistema Hamiltoniano generalizzato integrabile è non risonante. In tal caso, il sistema originale è parzialmente integrabile e non risonante, con $n_1 + 1 + M$ integrali di primo ordine, tra cui $I_1, \dots, I_{n_1}$ , $H_2$ e $C_1, \dots, C_M$ .

Per i sistemi Hamiltoniani generalizzati parzialmente integrabili e non risonanti, se $F_4$ è una funzione continuamente differenziabile di $I, H_2, C$ , essa è in involuzione con la funzione Hamiltoniana generalizzata $H$ , cioè soddisfa la condizione:

[F_4, H] = 0 \quad \text{per i vari integrali di primo ordine}

Se questa condizione è soddisfatta, allora $F_4$ è una funzione arbitraria di $I, H_2, C$ .

Per i sistemi Hamiltoniani generalizzati parzialmente integrabili e risonanti, si verifica una relazione di risonanza per le frequenze angolari, espressa come:

\sum_{i=1}^{n_1} k_{ui} \omega_i = 0, \quad u = 1, 2, \dots, \alpha_1

In questo caso, il sistema è risonante e la variabile angolare combinata $\psi_u = \sum_{i=1}^{n_1} k_{ui} \theta_i$ diventa un integrale di primo ordine. Il sistema possiede $n_1 + \alpha_1 + 1 + M$ integrali di primo ordine, che includono $I, \psi = [\psi_1, \dots, \psi_{\alpha_1}]$ , $H_2$ e $C$ .

Quando una funzione $F_5 = F_5(I, \psi, H_2, C)$ soddisfa una condizione simile, essa è in involuzione con la funzione Hamiltoniana generalizzata $H$ e deve essere una funzione arbitraria di $I, \psi, H_2, C$ .

I sistemi Hamiltoniani generalizzati parzialmente integrabili e risonanti presentano un sottosistema integrabile che è ergodico su una sottovarietà $(n_1 - \alpha_1)$ -dimensionale, dove $I, \psi$ e $C$ sono costanti, mentre il sottosistema non integrabile è ergodico su una superficie dove $H_2$ è costante.

Questa visione dei sistemi Hamiltoniani generalizzati, comprendente le loro caratteristiche di integrabilità parziale, non risonanza e risonanza, fornisce una base solida per lo studio e l'applicazione a una varietà di sistemi dinamici complessi. È importante sottolineare che la comprensione profonda di queste dinamiche è fondamentale per l’analisi delle interazioni tra variabili e per l'applicazione pratica a modelli fisici, soprattutto nel contesto di sistemi meccanici non conservativi.

Come ottenere e analizzare i momenti derivati nei sistemi stocastici non lineari eccitati da rumore bianco di Poisson

I momenti derivati, ottenuti tramite l'applicazione della media temporale, rappresentano una parte fondamentale della modellizzazione di sistemi dinamici stocastici, soprattutto quando questi sistemi sono eccitati da rumore bianco o rumore gaussiano frazionale. Per un sistema lineare o non lineare soggetto a eccitazioni stocastiche, l’analisi dei momenti derivati permette di caratterizzare le risposte del sistema in relazione alle forze esterne applicate.

Partiamo da una considerazione fondamentale che emerge dall’equazione generale per i momenti derivati, che viene ottenuta da una serie di operazioni matematiche e applicazioni della teoria delle medie temporali. Supponiamo di considerare il sistema stocastico di una singola libertà, per esempio, un oscillatore non lineare soggetto a forze di recupero non lineari. Le equazioni ottenute attraverso l’approccio perturbativo sono, ad esempio, espresse come segue:

a1 = \langle - 1 \, \frac{\partial h}{\partial x^2} f \rangle_t + D_2 \, x^2 h + h + 7 \, \frac{\partial h}{\partial D_4 h^2} + \ldots

dove il termine di media temporale viene calcolato come definito nella formula 4.433, con l'integrazione che tiene conto delle fluttuazioni stocastiche nel dominio del tempo.

L'approccio ai momenti derivati si sviluppa in questa forma, con calcoli sempre più complessi delle derivate. Ogni termine rappresenta un'influenza diversa sul comportamento del sistema, e pertanto i momenti derivati descrivono come la risposta di un sistema evolve nel tempo sotto eccitazioni stocastiche. La definizione dei momenti di ordine superiore, come $a_1$ , $b_{11}$ , $c_{111}$ , e $d_{1111}$ , consente di formulare una soluzione approssimativa all'equazione differenziale che modella il sistema:

a1(\lambda) = -4 \alpha \lambda - \beta \lambda^2 + I \quad \text{e} \quad b11(\lambda) = \lambda + 2 \epsilon^2

Questi momenti derivati possono essere utilizzati per risolvere l’equazione Fokker-Planck, la quale descrive la distribuzione stazionaria di probabilità in un sistema sottoposto a rumore bianco gaussiano. Con l’analisi di questi momenti, è possibile comprendere meglio la probabilità di trovare il sistema in determinati stati o configurazioni, che è cruciale quando si studiano sistemi complessi, come quelli che rispondono a rumore esterno o forze casuali.

Nel contesto di un sistema stocastico non lineare eccitato da rumore frazionale gaussiano, l'approccio di media stocastica può essere applicato per descrivere la dinamica dell'energia del sistema, come nel caso di oscillatori di Duffing eccitati da rumore frazionale. In questo caso, la dinamica energetica può essere descritta dall’equazione stocastica media:

d\mathcal{E} = m(\mathcal{E}) dt + \sigma(\mathcal{E}) dB_H(t)

dove $m(\mathcal{E})$ e $\sigma(\mathcal{E})$ sono determinati dalla media temporale, e $B_H(t)$ è il processo di Wiener frazionale che modella il rumore frazionale. La soluzione di questa equazione è complessa, ma necessaria per calcolare la risposta del sistema, che dipende fortemente dalle proprietà del rumore e dalle forze di recupero non lineari.

La simulazione numerica diventa fondamentale in questi casi, poiché il processo stocastico non è markoviano e le soluzioni esatte non sono facilmente ottenibili. Si deve ricorrere a metodi di simulazione per ottenere una descrizione realistica della risposta del sistema.

L’importanza della media stocastica in questo contesto non può essere sottovalutata. Essa permette di semplificare l’equazione originale per il sistema non lineare, riducendo la complessità computazionale e fornendo un quadro concettuale chiaro per l’analisi delle dinamiche energetiche sotto rumore frazionale. La media stocastica aiuta anche a isolare i principali effetti delle forze eccitanti e dei fenomeni di dissipazione, consentendo di sviluppare modelli predittivi efficaci per sistemi complessi in ingegneria e fisica.

Quando si applicano metodi di media stocastica a sistemi stocastici non lineari, è fondamentale comprendere come le proprietà del rumore, in particolare la sua correlazione temporale e la sua intensità, influenzano la dinamica complessiva. L’uso di tecniche di media stocastica, sebbene potente, non esime dall’importanza della validazione numerica e sperimentale. La simulazione dei momenti derivati, la loro evoluzione nel tempo e la valutazione della distribuzione stazionaria, sono essenziali per una comprensione completa dei sistemi stocastici non lineari eccitati da rumore.

Come i Sistemi Hamiltoniani Quasi-Parzialmente Integrabili Influenzano i Modelli Stocastici

Un sistema Hamiltoniano quasi-parzialmente integrabile è caratterizzato dalla presenza di variabili di stato che, pur non essendo completamente separabili, mostrano una struttura che consente di applicare metodi di media stocastica per semplificare il problema e ottenere equazioni differenziali stocastiche. Il trattamento di questi sistemi richiede una comprensione approfondita delle dinamiche che emergono quando i gradi di libertà (DOF) sono interconnessi in modo complesso.

In un sistema di questo tipo, la media spaziale gioca un ruolo cruciale nel ridurre le equazioni di movimento ad una forma più gestibile. Per esempio, quando si considera una superficie isoenergetica r-dimensionale, la media temporale nelle equazioni stocastiche può essere sostituita da una media spaziale che semplifica notevolmente il calcolo della funzione di distribuzione di transizione. La trasformazione da media temporale a spaziale comporta una riduzione della complessità computazionale, in quanto le variabili dipendenti dal tempo vengono sostituite da un’analisi più direttamente correlata alle variabili spaziali del sistema.

Nel contesto degli equilibri stazionari, l’equazione di Fokker-Planck (FPK) media associata al sistema Hamiltoniano quasi-integrabile rivela come la distribuzione probabilistica delle variabili di stato si evolve nel tempo. Queste equazioni sono caratterizzate da termini di deriva e diffusione mediati, che riflettono l’interazione tra le diverse variabili di sistema e i perturbatori esterni (come il rumore bianco gaussiano). L’analisi di questi termini ci permette di determinare le condizioni di stazionarietà e stabilità del sistema.

Nel caso di un sistema non resonante internamente, il modello matematico può essere espresso mediante equazioni differenziali stocastiche di Itô, che descrivono l'evoluzione delle variabili di energia e momento attraverso il tempo. In questa formulazione, la derivata temporale di ciascuna variabile è espressa come una somma di due termini: uno deterministico, che rappresenta l’andamento medio del sistema, e uno stocastico, che cattura gli effetti delle fluttuazioni dovute al rumore esterno.

Il passaggio alla forma media delle equazioni differenziali, ottenuto tramite una media spaziale, consente di derivare una forma semplificata delle funzioni di diffusione e deriva, che sono critiche per la comprensione del comportamento a lungo termine del sistema. In particolare, i coefficienti di drift e diffusione mediati sono calcolati utilizzando la struttura specifica del sistema e delle sue interazioni non-lineari. Questi coefficienti forniscono informazioni importanti sulla stabilità e la probabilità di transizioni tra diversi stati di energia del sistema.

Per i sistemi con gradi di libertà accoppiati, la media spaziale consente di ridurre il numero di variabili dinamiche, permettendo una trattazione più semplice ma comunque accurata delle interazioni interne. Le equazioni di media per la derivata della funzione di distribuzione stazionaria offrono una comprensione più chiara delle probabilità di transizione tra stati e delle condizioni necessarie per la stabilità a lungo termine del sistema.

Inoltre, è fondamentale considerare che i termini non-lineari nel sistema Hamiltoniano, come quelli che appaiono nelle funzioni di potenziale U(Q3, Q4), non sono separabili facilmente, il che complica la trattazione analitica. Tuttavia, l’approccio stocastico mediato consente di gestire tali complessità, fornendo un modello che può essere numericamente simulato e analizzato per ottenere informazioni pratiche sul comportamento del sistema.

Quando si analizzano i sistemi quasi-integrabili, è importante tener conto delle possibili risonanze interne tra i gradi di libertà. Tali risonanze possono influenzare significativamente la dinamica del sistema e modificare la forma delle equazioni mediate. La presenza di risonanze implica che alcune variabili possano evolversi in modo più interconnesso, portando a una modifica della struttura del sistema e dei suoi comportamenti a lungo termine. In assenza di risonanze, il sistema tende a comportarsi in modo più indipendente nei suoi gradi di libertà, facilitando una descrizione più semplice attraverso metodi stocastici.

La gestione di questi sistemi, anche se complessa, permette di ottenere risultati importanti in molte applicazioni, come la meccanica statistica, la dinamica molecolare e l’ingegneria dei sistemi complessi. Comprendere i meccanismi stocastici che sottendono questi modelli è fondamentale per predire il comportamento di sistemi reali che, pur essendo influenzati da rumore o perturbazioni esterne, mostrano comunque strutture di ordine che possono essere catturate tramite tecniche di media stocastica.

L'approccio mediato non solo semplifica le equazioni ma rende anche possibile l'analisi numerica, che è essenziale per il trattamento di sistemi con elevati gradi di libertà, dove una soluzione analitica completa sarebbe impraticabile. Inoltre, questi modelli consentono di integrare i risultati teorici con osservazioni pratiche, offrendo uno strumento potente per ingegneri e fisici che lavorano su sistemi complessi.

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