Il principio dell'averaging stocastico si fonda sull'assunzione che il comportamento di un sistema dinamico stocastico, con eccitazioni non bianche, possa essere semplificato in un processo di Markov. Questo approccio è utile per studiare sistemi che interagiscono con rumori o forze esterne, con l'intento di ridurre la complessità del modello dinamico. Per applicare correttamente questo metodo, è necessario conoscere le equazioni governanti del sistema, che sono solitamente espresse in termini di funzioni di stato che evolvono nel tempo sotto l'effetto di forze stocastiche.

Consideriamo una serie di funzioni $f_j(X_t, t)$ e $g_{jl}(X_t, t)$ che definiscono l'evoluzione delle variabili di stato $X_j(t)$. Queste funzioni descrivono rispettivamente la parte deterministica e stocastica del sistema. Il comportamento di $X_j(t)$ viene aggiornato nei passi temporali, come mostrato nelle equazioni (4.11) e (4.12), dove il termine di incremento del sistema è separato in una parte deterministica e una stocastica. La complicazione principale risiede nel fatto che, per la natura stocastica delle forze eccitanti, il sistema è influenzato da fluttuazioni che devono essere trattate tramite media stocastica.

L'idea centrale è che, in un intervallo temporale Δt, le funzioni $f_j(X_t, t)$ e $g_{jl}(X_t, t)$ non cambiano in modo significativo a causa delle variazioni lente del sistema. Questo permette di trattare la variazione del sistema come un processo diffuso Markoviano, dove le correlazioni temporali delle forze esterne sono cruciali per determinare la risposta del sistema. Le equazioni (4.16) e (4.17) derivano dalla combinazione delle medie temporali e spaziali delle forze eccitanti, assumendo che il tempo Δt sia maggiore dei tempi di correlazione delle forze stocastiche, ma minore del tempo di rilassamento del sistema. Il tempo di rilassamento rappresenta il tempo necessario affinché un sistema subisca una modifica significativa a causa di forze esterne.

Nel contesto di un sistema stocastico con rumore bianco gaussiano, le funzioni di correlazione come $E[\xi_l(u)\xi_s(v)]$ sono rappresentate da densità spettrali costanti $K_{ls}$, e le equazioni (4.23) e (4.24) permettono di semplificare ulteriormente il calcolo dei momenti delle derivate prime e seconde del sistema, così da ottenere le matrici di deriva e diffusione. Questo approccio porta a una descrizione compatta del sistema come un processo Markoviano, in cui le variabili di stato lentamente varianti governano l'evoluzione complessiva del sistema, mentre quelle velocemente varianti vengono integrate nel processo medio.

L'implementazione dell'averaging stocastico per sistemi con variabili velocemente varianti e lentamente varianti è stata formalizzata attraverso il teorema di Khasminskii (1968), che riduce la complessità del modello dinamico. Le equazioni ottenute nel caso del rumore bianco gaussiano sono (4.29) e (4.30), che descrivono rispettivamente i momenti della prima e seconda derivata del sistema, con il termine di correzione di Wong-Zakai che appare nel caso delle eccitazioni non bianche. Il tempo di mediazione, se le variabili sono periodiche, può essere effettuato su un ciclo completo $T_0$, ma nel caso di variabili non periodiche, si può ricorrere alla media spaziale rispetto alle variabili velocemente varianti.

Elementi Aggiuntivi per la Comprensione Completa del Metodo

Oltre alla comprensione formale delle equazioni e dei metodi sopra descritti, è importante notare che l'averaging stocastico semplifica il trattamento di sistemi non lineari complessi, riducendo il numero di variabili indipendenti da considerare. Tuttavia, per applicare correttamente questo metodo, è essenziale verificare che le condizioni sul tempo di rilassamento e sulle correlazioni temporali siano soddisfatte. Se Δt è troppo grande rispetto al tempo di rilassamento del sistema, le assunzioni che permettono di trattare le forze come rumore bianco potrebbero non essere più valide, e il modello potrebbe perdere precisione.

Inoltre, l'uso del rumore bianco gaussiano come approssimazione potrebbe non essere sempre appropriato in contesti fisici reali, dove le forze stocastiche potrebbero avere distribuzioni di probabilità più complesse. È quindi fondamentale esaminare attentamente la natura delle forze esterne e le correlazioni per determinare se l'approccio basato su rumore bianco fornisce una rappresentazione adeguata del sistema.

Come Analizzare il Processo Energetico e di Fase in Sistemi con Esigenze Stocastiche

Il processo energetico Λ(t)\Lambda(t) e il processo di fase θ(t)\theta(t) sono concetti fondamentali nello studio dei sistemi stocastici con un grado di libertà, specialmente quando questi sono soggetti a eccitazioni randomiche. Per descrivere questi fenomeni, sono utilizzate equazioni stocastiche che integrano sia il comportamento dinamico del sistema che le forze stocastiche applicate. Un aspetto centrale è il calcolo dei coefficienti di deriva e diffusione, che caratterizzano l'evoluzione dei processi Λ(t)\Lambda(t) e θ(t)\theta(t), e la loro dipendenza dalle variabili stocastiche.

Le equazioni fondamentali che descrivono l’evoluzione del sistema in termini di Λ(t)\Lambda(t) e θ(t)\theta(t) sono fornite dalle seguenti espressioni:

Λ˙(t)=∑m2h(Λ,θ)sin⁡θ+g1l(Λ,θ)ξl(t),(4.174)\dot{\Lambda}(t) = \sqrt{\sum_{m} 2 h(\Lambda, \theta) \sin\theta + g_1 l(\Lambda, \theta) \xi_l(t)}, \quad (4.174)
θ˙(t)=12h(Λ,θ)cos⁡θ+g2l(Λ,θ)ξl(t),(4.175)\dot{\theta}(t) = \sqrt{\frac{1}{2}} h(\Lambda, \theta) \cos\theta + g_2 l(\Lambda, \theta) \xi_l(t), \quad (4.175)

dove h(Λ,θ)h(\Lambda, \theta), u(Λ)u(\Lambda) e gl(Λ,θ)g_l(\Lambda, \theta) sono funzioni che derivano dal comportamento dinamico del sistema e dalle sue caratteristiche fisiche. ξl(t)\xi_l(t) rappresenta il termine stocastico, una forza randomica che agisce sul sistema, mentre i coefficienti g1g_1 e g2g_2 sono determinati in funzione delle variabili Λ\Lambda e θ\theta.

Il processo energetico Λ(t)\Lambda(t) è generalmente lento nel suo andamento, mentre il processo di fase θ(t)\theta(t) varia più rapidamente. Quando si applica l'average temporale, è possibile approssimare il processo energetico come un processo di diffusione di Markov, caratterizzato dai coefficienti di deriva e di diffusione, che possono essere calcolati in base alla correlazione del rumore stocastico presente nel sistema. La correlazione tra i rumori ξl(t)\xi_l(t) e ξs(t)\xi_s(t) è descritta dalla funzione di correlazione Rls(τ)R_{ls}(\tau), che è essenziale per determinare l'evoluzione stocastica del sistema nel tempo:

Rls(τ)=E[ξl(t)ξs(t+τ)].R_{ls}(\tau) = E[\xi_l(t)\xi_s(t+\tau)].

Le equazioni (4.177) e (4.178) descrivono come calcolare la derivata del processo energetico e della fase attraverso l'uso della serie di Fourier. Una trasformazione fondamentale è quella di rappresentare le funzioni stocastiche come espansioni in serie di Fourier, utilizzando una frequenza fondamentale ωΛ\omega_\Lambda, che dipende dalla natura del movimento libero non smorzato del sistema.

In questo contesto, si eseguono le seguenti espansioni in serie di Fourier per i termini sinusoidali e cosenoidali che compaiono nelle equazioni stocastiche:

sin⁡(θ(t))=∑n=1∞ansin⁡(nωΛt),cos⁡(θ(t))=∑n=1∞bncos⁡(nωΛt).\sin(\theta(t)) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(n \omega_\Lambda t), \quad \cos(\theta(t)) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(n \omega_\Lambda t).

Questa espansione permette di ridurre il problema all'eliminazione dei termini che variano rapidamente, come quelli contenenti sin⁡(nωΛt)\sin(n \omega_\Lambda t) e cos⁡(nωΛt)\cos(n \omega_\Lambda t). Le approssimazioni sono giustificate dalla breve durata delle correlazioni delle eccitazioni a banda larga, che sono tipiche dei rumori che eccitano il sistema.

Un esempio di applicazione di queste tecniche è il sistema descritto dall'equazione:

X¨+2ζω0X˙+ω02(1+αX2)X=ξ(t).\ddot{X} + 2 \zeta \omega_0 \dot{X} + \omega_0^2 (1 + \alpha X^2) X = \xi(t).

In questo caso, le tecniche di approssimazione con rumore bianco dipendente dall'energia e la serie di Fourier sono entrambe applicabili per risolvere il problema. La trasformazione che collega il sistema alle variabili Λ\Lambda e θ\theta porta alla formulazione stocastica del movimento del sistema. È importante sottolineare che, nella pratica, i coefficienti di Fourier ana_n e bnb_n tendono a diminuire rapidamente con l'aumento di nn, il che implica che, anche per forze restauratrici non lineari, è sufficiente considerare solo i primi due o tre termini nelle espansioni.

A partire da queste espansioni, è possibile calcolare la densità di probabilità stazionaria di Λ(t)\Lambda(t) e la densità congiunta di X(t)X(t) e X˙(t)\dot{X}(t), utilizzando un approccio numerico che implica la computazione dei coefficienti della serie di Fourier e l'integrazione della densità spettrale di eccitazione S(ω)S(\omega). I risultati ottenuti permettono di confrontare i modelli teorici con simulazioni Monte Carlo, confermando la validità dei metodi proposti.

Il comportamento del sistema dipende in modo significativo dal tipo di eccitazione a banda larga che viene applicata. Un’analisi dettagliata delle densità di probabilità stazionarie, come mostrato nei grafici, aiuta a comprendere meglio la relazione tra il sistema e le forze stocastiche che agiscono su di esso. La conoscenza di questi processi è cruciale per la progettazione di sistemi che operano in ambienti stocastici, dove il controllo della risposta energetica e di fase diventa fondamentale per prevedere e ottimizzare le performance del sistema.

Come calcolare la densità di probabilità stazionaria e il valore medio in sistemi dinamici perturbati da rumori casuali

Nel contesto della dinamica stocastica, uno degli obiettivi fondamentali è quello di determinare la densità di probabilità stazionaria (PDF) di un sistema dinamico che è soggetto a eccitazioni stocastiche. Le simulazioni numeriche vengono spesso utilizzate per analizzare i sistemi dinamici, confrontando il comportamento di un sistema originale con quello di un sistema mediato. Questo approccio risulta particolarmente utile quando si lavora con sistemi non lineari, in cui è difficile ottenere soluzioni analitiche dirette.

Nel caso dei sistemi lineari e non lineari, la densità di probabilità stazionaria p(λ) è un componente cruciale per comprendere il comportamento a lungo termine del sistema. Le simulazioni numeriche presentano i risultati per la densità di probabilità p(λ) in vari casi. Per esempio, come evidenziato in uno studio condotto da Deng e Zhu (2016), i risultati mostrano che la densità di probabilità stazionaria si comporta in modo simile in entrambi i sistemi originali e mediati, con le eccezioni relative alla velocità media quadratica che si verificano quando il parametro k è inferiore a un certo valore. Questo fenomeno è particolarmente evidente nei sistemi che coinvolgono eccitazioni casuali, come il rumore gaussiano frazionario.

La relazione tra la densità di probabilità congiunta stazionaria p(x, ̇x) e le distribuzioni marginali p(x) e p(ẋ) è fondamentale per comprendere il comportamento dinamico di questi sistemi. Il sistema dinamico considerato include variabili come la posizione x e la velocità ẋ, la cui evoluzione è descritta da equazioni differenziali stocastiche. La PDF congiunta p(x, ̇x) può essere separata nelle due PDF marginali p(x) e p(ẋ) attraverso l'integrazione, come mostrato dalle seguenti equazioni:

\int_{ -\infty}^{\infty} p(x)dx = \int_{ -\infty}^{\infty} p(x, ̇x)dẋ, \quad \int_{ -\infty}^{\infty} p(ẋ)dẋ = \int_{ -\infty}^{\infty} p(x, ̇x)dx

Inoltre, i valori attesi, come il valore medio e il valore medio quadratico delle variabili x e ẋ, possono essere ottenuti con le seguenti formule:

E[X2]=∫−∞∞x2p(x)dx,E[X˙2]=∫−∞∞x˙2p(x˙)dx˙E[X^2] = \int_{ -\infty}^{\infty} x^2 p(x)dx, \quad E[\dot{X}^2] = \int_{ -\infty}^{\infty} \dot{x}^2 p(\dot{x})d\dot{x}

Questi calcoli forniscono informazioni fondamentali sulla distribuzione energetica e sulle fluttuazioni delle variabili in gioco.

Quando si analizzano i sistemi stocastici, è necessario prendere in considerazione l'effetto del parametro di Hurst, che influisce sul comportamento a lungo termine del sistema. Il parametro H, che rappresenta l'indice di Hurst, determina se la serie temporale è persistente o anti-persistente. Nei sistemi stocastici, il parametro di Hurst gioca un ruolo cruciale, in quanto influenza la distribuzione e l'andamento del rumore. Le simulazioni numeriche mostrano che le distribuzioni marginali delle variabili, così come i valori medi e quadrati delle stesse, variano sensibilmente in base a H, il che suggerisce una forte dipendenza dalle caratteristiche del rumore stocastico.

Inoltre, durante la simulazione numerica, è possibile osservare la deviazione della distribuzione da quella gaussiana, specialmente nei sistemi in cui la linearità è rotta da parametri come la non linearità del sistema o l'instabilità dinamica. La deviazione dalla distribuzione gaussiana può essere attribuita a una complessa interazione tra le variabili del sistema e le eccitazioni casuali, che portano a un comportamento che può essere descritto solo approssimativamente mediante tecniche di media stocastica.

Un altro elemento importante riguarda il calcolo delle PDF stazionarie p(x) e p(ẋ) per valori differenti di parametri come il coefficiente k, che rappresenta un parametro di damping. In alcuni casi, le distribuzioni marginali si discostano dalla forma gaussiana, e questo effetto diventa più evidente man mano che k aumenta o diminuisce. Le simulazioni numeriche presentano delle curve che mostrano il comportamento di queste distribuzioni al variare di k, con l'osservazione che per certi valori di k, le distribuzioni non sono più simmetriche né gaussiane, ma tendono a concentrarsi su determinate regioni dello spazio delle fasi.

Per comprendere appieno il comportamento di questi sistemi, è essenziale non solo calcolare le PDF stazionarie e i valori medi, ma anche tenere conto dell'effetto combinato di diversi fattori, come la frequenza di eccitazione, la forma della non linearità e la natura del rumore stocastico. La combinazione di questi fattori determina in modo significativo le caratteristiche del sistema dinamico, in particolare nelle applicazioni ingegneristiche dove le sollecitazioni casuali possono avere effetti significativi sulla stabilità e sulla risposta a lungo termine dei sistemi meccanici.

Come si definisce e si analizza la sequenza di Farey e le sue implicazioni nella teoria dei numeri?
La proprietà dei contenuti generati dall'intelligenza artificiale: chi detiene i diritti?
Come affrontare il ricordo e la perdita attraverso il tempo e lo spazio: riflessioni sulla memoria e sull'elaborazione del lutto
Come la Storia delle Navi da Guerra Antiche Rivela la Potenza Navale nel Mediterraneo
Come si determina la distribuzione marginale e la funzione copula migliore per dati bivariati?