La sequenza di Farey, denotata come FNF_N, è l'insieme delle frazioni irriducibili mn\frac{m}{n} comprese nell'intervallo [0,1][0,1], con denominatori nn positivi e non superiori a un intero naturale fissato NN. La condizione di irriducibilità si esprime con il massimo comune divisore ⟨m,n⟩=1\langle m,n \rangle = 1. Questa costruzione, pur semplice nella sua definizione, rivela proprietà profonde e connessioni intricate con vari rami della matematica, come la teoria analitica dei numeri, la teoria delle funzioni zeta e i metodi di crivello.

Un aspetto fondamentale della sequenza di Farey è il comportamento delle terne di termini consecutivi ab,mn,cd\frac{a}{b}, \frac{m}{n}, \frac{c}{d}. Esse soddisfano relazioni aritmetiche che determinano una struttura rigida e ben definita: innanzitutto, la somma dei denominatori di termini consecutivi è vincolata da b+n≥N+1b + n \geq N + 1 e n+d≥N+1n + d \geq N + 1; inoltre, i determinanti formati dalle coppie di frazioni adiacenti assumono sempre valore 1, ossia bm−an=1bm - an = 1 e cn−dm=1cn - dm = 1. Infine, la frazione centrale è espressa come la somma dei numeratori divisa per la somma dei denominatori dei due estremi, ovvero mn=a+cb+d\frac{m}{n} = \frac{a+c}{b+d}.

Queste proprietà consentono di generare la sequenza FNF_N a partire da FN−1F_{N-1} mediante l'inserimento delle cosiddette medianti, frazioni di forma a+cb+d\frac{a+c}{b+d} con b+d=Nb + d = N. Questo processo di costruzione è al contempo elegante e strettamente legato alla struttura dell'insieme dei numeri razionali in [0,1][0,1].

Dal punto di vista applicativo, la sequenza di Farey fornisce una potente metodologia per l'approssimazione razionale di numeri reali irrazionali. Per ogni ξ∈R∖Q\xi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, esistono infiniti frazioni irriducibili ab\frac{a}{b} che soddisfano disuguaglianze del tipo

∣ξ−ab∣<1b2,\left| \xi - \frac{a}{b} \right| < \frac{1}{b^2},

indicando una precisione nell'approssimazione proporzionale al quadrato del denominatore. Tale risultato è strettamente connesso con la suddivisione dell'intervallo unitario in sottintervalli definiti dai termini di FNF_N e dalle loro medianti, garantendo la presenza di frazioni vicine a qualsiasi reale.

Non meno importante è la relazione storica e teorica tra la sequenza di Farey e altre strutture matematiche di rilievo. La connessione con la funzione di Möbius e, indirettamente, con la funzione zeta di Riemann suggerisce che la distribuzione delle frazioni irriducibili non sia un fenomeno casuale, ma obbedisca a leggi asintotiche ancora oggetto di studio, come l’ipotesi di Riemann. Inoltre, le sequenze di Farey e i metodi di crivello condividono un legame intrinseco che contribuisce a comprendere fenomeni di distribuzione e densità in teoria dei numeri.

Un ulteriore capitolo nell’evoluzione di questa tematica è rappresentato dalle frazioni egiziane, ovvero rappresentazioni di numeri razionali come somme di frazioni unità distinte, concetto che risale all'antichità, testimoniato dal papiro Rhind. Ogni numero razionale positivo può essere espresso in questa forma, un fatto che illumina le molteplici modalità con cui i numeri razionali possono essere rappresentati e studiati.

In tale contesto, si evidenziano con vigore le connessioni tra proprietà algebriche dei numeri razionali, metodi di approssimazione, e strutture combinatorie profonde, evidenziando la ricchezza concettuale della sequenza di Farey. Essa rappresenta non solo un oggetto di studio a sé stante, ma un punto di convergenza di molteplici tematiche matematiche, dalla divisibilità all’analisi asintotica, dalla geometria dei numeri ai metodi analitici.

Per una piena comprensione, è essenziale riconoscere che i numeri razionali non sono semplici elementi isolati sulla retta reale, ma si dispongono secondo schemi rigorosi e complessi, la cui natura duale (sia come elementi di Q\mathbb{Q}, sia come punti in Z2\mathbb{Z}^2 con relazione di equivalenza) apre a molteplici interpretazioni e applicazioni. L’analisi della sequenza di Farey illumina quindi la densità e la struttura aritmetica dei razionali, nonché il loro ruolo critico nella teoria dei numeri, nello studio delle approssimazioni e nei problemi più avanzati che coinvolgono distribuzioni numeriche e funzioni speciali.

Quando un polinomio produce solo numeri primi? Una connessione con le forme quadratiche e il numero di classe

Sia kk un numero primo. Consideriamo il polinomio fk(x)=x2−x+kf_k(x) = x^2 - x + k. Una delle domande fondamentali che si pongono in teoria dei numeri è la seguente: per quali valori di kk, il polinomio fk(x)f_k(x) produce esclusivamente numeri primi per ogni intero xx compreso tra 11 e k−1k - 1? La risposta è sorprendentemente collegata alla teoria delle forme quadratiche e al numero di classe dei campi quadratici reali.

Rabinowicz dimostrò nel 1913 che la condizione affinché tutti i valori fk(j)f_k(j), con 1≤j≤k−11 \leq j \leq k-1, siano primi è equivalente a richiedere che il numero di classe ristretto h+(1−4k)h^+(1 - 4k) sia uguale a 11. In particolare, l’osservazione di Eulero riguardante il caso k=41k = 41, per cui f41(x)f_{41}(x) genera 40 numeri primi consecutivi, è equivalente all’identità h+(−163)=1h^+(-163) = 1, che corrisponde al più piccolo intero DD tale che Q(D)\mathbb{Q}(\sqrt{D}) ha numero di classe ristretto uguale a 1.