Come trovare le radici complesse di un polinomio con il metodo di Bairstow

Il problema del calcolo delle radici di un polinomio, soprattutto quando queste radici sono complesse, si presenta frequentemente in ambito matematico e ingegneristico. Tra i vari metodi numerici utilizzati, uno dei più noti e utili è il metodo di Bairstow, che consente di trovare le radici complesse di un polinomio mediante una serie di iterazioni. Questo metodo è particolarmente vantaggioso rispetto ad altri metodi perché riduce la dimensione del polinomio ad ogni passaggio, facilitando il calcolo delle radici, anche quando si tratta di polinomi di grado elevato.

Consideriamo un polinomio di grado $n$ , dato dalla seguente espressione:

p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

L'obiettivo è trovare le radici di questo polinomio, che possono essere reali o complesse. Nel caso di radici complesse, il metodo di Bairstow si applica dividendolo in fattori quadrati successivi, in modo da semplificare il problema in un polinomio di grado inferiore.

Procedura di calcolo delle radici complesse

Il metodo di Bairstow si basa sulla fattorizzazione del polinomio come prodotto di un polinomio quadratico e un polinomio di grado inferiore. Iniziamo scrivendo il polinomio $p(x)$ come prodotto:

p(x) = (x^2 - ux - v) \cdot q(x)

dove $q(x)$ è un polinomio di grado $n-2$ . Qui, $u$ e $v$ sono i coefficienti del fattore quadratico, e devono essere determinati tramite iterazioni successive.

Per ottenere i coefficienti di $q(x)$ , si applicano le seguenti relazioni ricorsive:

b_n = a_n, \quad b_{n-1} = a_{n-1} + u b_n, \quad b_i = a_i + u b_{i+1} + v b_{i+2} \quad \text{per ogni } i

Con i coefficienti $b_i$ calcolati, è possibile determinare le variazioni di $u$ e $v$ tramite il metodo di Newton-Raphson. Le equazioni non lineari da risolvere sono:

b_1(u,v) = 0, \quad b_0(u,v) = 0

e si risolvono utilizzando le derivate parziali dei coefficienti, ottenendo le relazioni lineari:

c_1 \Delta u + c_2 \Delta v = -b_1, \quad c_0 \Delta u + c_1 \Delta v = -b_0

da cui si ricavano le correzioni $\Delta u$ e $\Delta v$ , che vengono successivamente aggiustate iterativamente. Questo processo continua fino a quando le correzioni diventano trascurabili, indicando che i valori di $u$ e $v$ sono convergenti.

Una volta ottenuti $u$ e $v$ , il polinomio quadratico $x^2 - ux - v$ può essere risolto per trovare due radici complesse. Se il polinomio $q(x)$ risulta ancora di grado maggiore di 2, il processo di Bairstow viene ripetuto sulla parte restante del polinomio, fino a ottenere tutte le radici.

Applicazione pratica

Per applicare correttamente il metodo di Bairstow, è fondamentale avere delle stime iniziali per $u$ e $v$ . Il valore di partenza può influire significativamente sulla velocità di convergenza del metodo, pertanto è importante scegliere valori appropriati basati sul comportamento del polinomio o su esperimentazioni precedenti.

Ad esempio, per il polinomio $f(x) = x^3 - 10.98x^2 + 35.9384x - 33.139392$ , il programma mostra come il metodo di Bairstow sia in grado di trovare le radici $x = 5.67999649$ , $x = 3.74000239$ , e $x = 1.56000006$ con alta precisione, iterando sulle correzioni di $u$ e $v$ .

In un altro esempio, per il polinomio $f(x) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 4x + 4$ , il programma è riuscito a determinare le radici complesse $x = 2 \pm 2i$ , illustrando come il metodo possa essere utilizzato non solo per polinomi di grado più basso, ma anche per polinomi di grado maggiore.

Considerazioni importanti

Scelta delle stime iniziali: Le scelte iniziali per $u$ e $v$ sono cruciali. Una scelta errata potrebbe rallentare la convergenza o persino impedire la convergenza del metodo. In molti casi, un'analisi preliminare del polinomio o l'uso di metodi di stima basati sulle radici note può aiutare a fare buone scelte iniziali.
Convergenza e accuratezza: Sebbene il metodo di Bairstow sia potente, è necessario prestare attenzione alla convergenza. Se il processo di iterazione non converge, potrebbe essere necessario riprovare con stime iniziali diverse o con un altro metodo numerico. Il numero di iterazioni richieste può variare a seconda della complessità del polinomio.
Trattamento di polinomi di grado elevato: Il metodo è particolarmente utile per polinomi di grado elevato, dov

Come trovare gli autovalori e gli autovettori di una matrice simmetrica utilizzando il metodo di Jacobi

Il problema di determinare gli autovalori e gli autovettori di una matrice simmetrica è un aspetto fondamentale dell'analisi numerica, con applicazioni che spaziano dalla fisica all'ingegneria e oltre. La matrice simmetrica ha la proprietà che tutti i suoi autovalori sono reali, e l'insieme degli autovettori corrispondenti è ortogonale. Una delle tecniche più utilizzate per ottenere questi risultati è il metodo di Jacobi, che non si basa sull'inversione della matrice, ma sull'utilizzo di matrici di rotazione successive per diagonalizzare la matrice.

Il metodo di Jacobi si propone di annullare progressivamente gli elementi fuori diagonale di una matrice simmetrica. Per fare ciò, vengono applicate sequenze di matrici di rotazione $R_1, R_2, \dots, R_n$ , che modificano la matrice originale in modo che gli elementi fuori diagonale tendano a zero, mentre gli elementi diagonali convergono ai corrispondenti autovalori.

La matrice di rotazione $R$ utilizzata per annullare un elemento $A_{ij}$ della matrice $A$ è definita come segue:

R_{ii} = \cos(\theta), \quad R_{ij} = -\sin(\theta) \quad \text{e} \quad R_{jj} = \cos(\theta)

dove $\theta$ è l'angolo calcolato come:

\theta = 0.5 \cdot \tan^{ -1}\left( \frac{2A_{ij}}{A_{ii} - A_{jj}} \right)

In altre parole, l'angolo $\theta$ dipende dall'elemento fuori diagonale $A_{ij}$ e dalla differenza tra gli elementi diagonali $A_{ii}$ e $A_{jj}$ . Se la differenza $A_{ii} - A_{jj}$ è zero, $\theta$ è scelto come $\frac{\pi}{4}$ , il che rappresenta una rotazione di 45 gradi.

Il processo di diagonalizzazione consiste nel calcolare la matrice $A = R^{ -1} A R$ , dove $R^{ -1}$ è la matrice trasposta di $R$ (poiché $R$ è ortogonale). Questo passaggio è ripetuto fino a quando tutti gli elementi fuori diagonale di $A$ sono sufficientemente piccoli, ottenendo così una matrice diagonale i cui elementi sulla diagonale sono gli autovalori della matrice originale.

Oltre alla diagonalizzazione della matrice, è importante calcolare anche gli autovettori. Questi vengono ottenuti prendendo il prodotto di tutte le matrici di rotazione utilizzate durante il processo. Ogni colonna della matrice risultante rappresenta un autovettore associato all'autovalore corrispondente. Ad esempio, la prima colonna rappresenta l'autovettore associato al primo autovalore, la seconda colonna all'autovettore del secondo autovalore, e così via.

Il metodo di Jacobi richiede tipicamente un numero elevato di iterazioni, soprattutto per matrici di grandi dimensioni. Tuttavia, il vantaggio principale di questo approccio è che, a differenza di altri metodi, esso preserva la simmetria della matrice, assicurando che gli autovettori siano ortogonali.

Nel caso di una matrice di piccole dimensioni, come una matrice $3 \times 3$ , il processo di calcolo degli autovalori e degli autovettori può essere relativamente veloce e facilmente implementabile in un linguaggio di programmazione come Fortran. Un esempio di implementazione di questo metodo in Fortran è presentato di seguito, dove vengono eseguiti cicli di rotazioni e modifiche della matrice $A$ per ottenere la diagonalizzazione desiderata.

Oltre alla diagonalizzazione, un altro aspetto cruciale del metodo è la verifica della convergenza. Alla fine del processo, è necessario assicurarsi che la matrice $A$ sia completamente diagonalizzata, ossia che tutti gli elementi fuori diagonale siano effettivamente zero o prossimi a zero. Se ciò non accade dopo un numero predefinito di iterazioni, il processo di Jacobi viene considerato non convergente.

Il programma che implementa il metodo di Jacobi non solo fornisce gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonalizzata, ma anche gli autovettori corrispondenti. La precisione delle soluzioni dipende dalla quantità di iterazioni e dalla tolleranza impostata per la convergenza.

Nel caso di matrici di dimensioni maggiori, il metodo di Jacobi può richiedere un numero significativo di operazioni, ma la sua robustezza e la capacità di trattare matrici simmetriche ne fanno uno strumento molto utile in numerosi campi scientifici e ingegneristici.

È importante ricordare che, sebbene il metodo di Jacobi funzioni molto bene per matrici simmetriche, non è altrettanto efficace per matrici non simmetriche, dove altri metodi numerici, come il metodo QR, potrebbero essere preferibili. Inoltre, poiché il metodo di Jacobi si basa su rotazioni successive, la sua efficienza può diminuire con l'aumentare della dimensione della matrice, rendendo necessari metodi di ottimizzazione o tecniche alternative in contesti pratici.

Qual è l'ordine delle operazioni in Fortran e come influisce sulle variabili?

In Fortran, la gestione dell'ordine delle operazioni aritmetiche è cruciale per ottenere il risultato corretto. Quando vengono scritti calcoli complessi, è essenziale comprendere come il linguaggio gestisce le priorità delle operazioni. Esaminando esempi pratici, possiamo vedere come diversi calcoli vengano eseguiti in base all'ordine stabilito dalla sintassi di Fortran.

Per esempio, nell'espressione EXP1 = A - B * C + D / E, il prodotto B * C viene calcolato per primo, seguito dalla divisione D / E. I risultati intermedi vengono quindi memorizzati temporaneamente in posizioni di memoria specifiche. Successivamente, il risultato di B * C viene sottratto da A, e infine il risultato di D / E viene aggiunto. Il calcolo in EXP2 = A + D / E - B * C si differenzia solo per l'ordine delle operazioni, dove D / E viene valutato prima di B * C, ma il risultato finale sarà lo stesso.

In un'altra espressione, EXP3 = A + B * C - D / E + A ** B - (B - F), l'ordine di valutazione è più complesso. Prima viene calcolato B - F, seguito dal calcolo di A elevato alla potenza di B. Successivamente, vengono eseguiti i prodotti e le divisioni da sinistra a destra, e infine il risultato complessivo viene determinato. La stessa logica si applica anche a EXP4 = A + A ** B - (B - F) - D / E + B * C, con la differenza che qui tutte le operazioni sono eseguite rispettando la stessa sequenza, e il risultato sarà anch'esso identico a quello di EXP3.

In un altro esempio che coinvolge operazioni con numeri interi e reali, vediamo come l'uso dei numeri interi possa modificare il risultato di una divisione. Nell'espressione S1 = 2 * 30 / 4, il prodotto 2 * 30 viene calcolato per primo, seguito dalla divisione per 4. In S2 = 2 * (30 / 4), invece, la divisione 30 / 4 viene eseguita prima, ma in modalità intera, producendo un risultato di 7 invece di 7.5. In S3, l'operazione viene eseguita in modalità reale, quindi il risultato sarà lo stesso di S1, ma il calcolo avviene con numeri reali. In S4, la divisione viene eseguita prima in modalità intera, ma il calcolo finale avviene in modalità reale, quindi il risultato sarà 15, come in S3.

Un altro concetto essenziale in Fortran è l'uso delle variabili di tipo carattere. Nel programma P7-temp.f, si converte una temperatura in gradi Celsius in Fahrenheit. In questo caso, le variabili numeriche sono trattate correttamente, ma è interessante notare come Fortran gestisca anche variabili di tipo carattere, come nel caso della variabile NAME, che memorizza il nome dell'utente.

Per quanto riguarda la dichiarazione dei tipi di variabili, Fortran offre due metodi principali: dichiarazione esplicita e dichiarazione implicita. La dichiarazione esplicita richiede che ogni variabile venga dichiarata con il tipo specificato, ad esempio REAL C, F o INTEGER I. D'altra parte, la dichiarazione implicita consente di dichiarare un gruppo di variabili con lo stesso tipo utilizzando una sola istruzione. Un esempio di questa sintassi è IMPLICIT INTEGER (A-C), che dichiara tutte le variabili che iniziano con le lettere A, B e C come variabili di tipo intero.

Tuttavia, se si utilizza IMPLICIT NONE, è necessario dichiarare esplicitamente tutte le variabili del programma. Questo approccio è utile per evitare errori legati alla dichiarazione implicita, che potrebbe causare problemi di interpretazione dei tipi di variabili. L'uso di IMPLICIT NONE è particolarmente consigliato per scrivere programmi più sicuri e facili da debug.

Un altro aspetto importante riguarda la precisione dei numeri reali. Fortran offre una dichiarazione chiamata DOUBLE PRECISION, che consente di aumentare la precisione dei numeri reali. In un programma che utilizza DOUBLE PRECISION, i numeri reali possono essere rappresentati con una precisione maggiore, permettendo di lavorare con più cifre significative rispetto ai numeri reali normali. Questo è particolarmente utile in applicazioni scientifiche e ingegneristiche che richiedono una maggiore accuratezza nei calcoli numerici.

Quando si scrivono programmi in Fortran, è fondamentale comprendere come il linguaggio gestisca l'ordine delle operazioni e la dichiarazione delle variabili. Conoscere queste regole aiuterà a evitare errori e a garantire che i programmi producano i risultati attesi. Inoltre, l'uso corretto di variabili reali, intere e caratteri, così come l'adozione della dichiarazione esplicita o implicita, può migliorare notevolmente la qualità e la sicurezza del codice.

Come utilizzare la precisione doppia nei programmi di calcolo numerico

La dichiarazione di variabili come "DOUBLE PRECISION" è una caratteristica fondamentale per ottenere risultati di calcolo numerico più accurati in molti contesti scientifici e ingegneristici. Tuttavia, è importante comprendere che la precisione doppia è applicabile solo alle variabili reali. Non è possibile dichiarare variabili di tipo intero come "DOUBLE PRECISION".

Nel seguente esempio, le variabili I e J sono dichiarate come reali a doppia precisione (DOUBLE PRECISION) e non come interi. L'esempio dimostra come effettuare un calcolo utilizzando questa modalità di precisione. È stato assegnato il valore di π alla variabile pi attraverso l'espressione 4*atan(1.0). Ricordiamo che atan(1.0) è pari a π/4, quindi moltiplicando per 4 otteniamo il valore di π. La funzione atan è una delle funzioni trigonometriche di base, che sarà discussa in dettaglio più avanti nel testo.

Esempio di calcolo con precisione doppia

fortran
! Calcolo con precisione doppia
double precision dp, pi, pid, pidd, areadp, darea1, darea2, ddarea
sp = 1.0 / 3.0
dp = 1.0 / 3.0
pi = atan(1.0) * 4.0
pid = atan(1.0) * 4.0
pidd = datan(1.D0) * 4.D0
area = pi * sp * sp
areasp = pi * dp * dp
areadp = pi * dp * dp
darea1 = pid * sp * sp
darea2 = pid * dp * dp
ddarea = pidd * dp * dp
write(*,*) sp, dp
write(*,*) pi, pid, pidd
write(*,*) area, areasp, areadp
write(*,*) darea1, darea2, ddarea

Uscita:

mathematica
3.333333E-01   3.333333432674408E-001        3.141593        3.141592653589793        3.141592653589793

3.490659E-01    3.490659E-01   3.490658809184550E-001   3.490658712048122E-001   3.490658712048122E-001

In questo esempio, la prima linea dell'output mostra che il valore in precisione doppia viene calcolato anche con variabili a precisione singola, se il valore viene memorizzato in una variabile dichiarata come DOUBLE PRECISION. La seconda riga mostra che non c'è alcuna differenza tra l'uso della funzione di libreria ATAN e DATAN almeno in questo esempio, ma è importante notare che DATAN è la versione con precisione doppia, mentre ATAN di default è una funzione a precisione singola.

La dichiarazione di una variabile come "double precision" è sufficiente per ottenere valori con questa maggiore precisione, come dimostrato dal programma. È interessante osservare che sebbene la variabile areasp sia di tipo singola precisione, essa memorizza il risultato del calcolo della variabile dp in precisione doppia, ma il valore finale viene comunque limitato alla precisione singola.

Scrivere un programma per calcolare l'area e la circonferenza di un cerchio, e il volume e la superficie di una sfera

Per comprendere meglio come applicare questi concetti, vediamo un programma che calcola l'area e la circonferenza di un cerchio, nonché il volume e la superficie di una sfera con lo stesso raggio. Ma prima, è fondamentale comprendere il concetto di algoritmo, che è una sequenza di passaggi necessari per risolvere un problema in modo sistematico.

L'algoritmo per risolvere questo problema è il seguente:

Leggere il raggio del cerchio (che è anche il raggio della sfera).
Assegnare il valore di π alla variabile pi come 4*atan(1.0).
Calcolare l'area del cerchio con la formula area = pi * r**2.
Calcolare la circonferenza con la formula circumference = 2 * pi * r.
Calcolare il volume della sfera con la formula vol = (4.0 * pi * r**3) / 3.0.
Calcolare la superficie della sfera con la formula sa = 4.0 * pi * r**2.
Stampare i valori calcolati su dispositivo di uscita con i messaggi appropriati.

Programma Fortran per calcolare l'area e il volume

fortran
! Calcolare area, circonferenza di un cerchio

! Calcolare volume, superficie di una sfera
real r, area, circum, vol, sa
pi = 4.0 * atan(1.0)
write(*,*) 'input radius'
read(*,*) r
area = pi * r**2
circum = 2.0 * pi * r
vol = (4.0 * pi * r**3) / 3.0
sa = 4.0 * pi * r**2
write(*,*) 'Pi:', pi
write(*,*) 'Cerchio: area=', area, '  circonferenza=', circum
write(*,*) 'Sfera: volume=', vol, '  superficie=', sa
stop
end

Uscita:

makefile
input radius
5.2
Pi:  3.14159274
Cerchio: area=  84.9486618  circonferenza=  32.6725616
Sfera: volume=  588.977356  superficie=  339.794647

In questo programma, la dichiarazione delle variabili reali e la successiva computazione dei valori tramite le formule matematiche sono eseguite senza problemi. Notiamo come, anche in presenza di numeri con precisione singola, i valori di pi, area, circum, vol, e sa vengono calcolati e stampati con la precisione appropriata per ciascun tipo di variabile.

Gestire gli errori durante la scrittura di un programma

Un altro concetto fondamentale quando si scrive un programma è la gestione degli errori. Durante la fase di compilazione, è possibile che vengano rilevati errori di sintassi o di logica. In un esempio successivo, un programma contenente errori viene compilato per dimostrare come correggerli.

Il compilatore segnalerà vari tipi di errori, come l'uso errato delle dichiarazioni, l'assenza di parentesi e l'errore di sintassi nelle istruzioni di scrittura. In questi casi, l'analisi dei messaggi di errore e la correzione graduale degli stessi sono passi essenziali per il successo del processo di sviluppo del programma.

Errori comuni:

Posizionamento scorretto delle dichiarazioni di variabili e delle istruzioni eseguibili.
Errori di sintassi nelle espressioni, come la mancata chiusura delle virgolette o l'uso di operatori errati.
Uso di variabili non dichiarate o di tipo errato.

Aggiungere ulteriori funzionalità al programma

Un altro aspetto da considerare è l'ottimizzazione delle performance del programma, specialmente quando si trattano operazioni numeriche complesse. È importante valutare se sia necessario utilizzare la precisione doppia in tutte le variabili o se sia possibile lavorare con una precisione singola senza compromettere troppo l'accuratezza dei risultati. Inoltre, si potrebbe aggiungere una gestione degli errori più robusta, come il controllo delle condizioni di input o la verifica di eventuali valori di errore nei calcoli.

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