Come analizzare il circuito frigorifero in una pompa di calore

Il circuito frigorifero di una pompa di calore è un processo a flusso stazionario, dove l'energia viene trasferita tramite il fluido frigorifero. L'analisi di questo processo richiede l'applicazione della prima legge della termodinamica, espressa dall'equazione del bilancio energetico. Nel caso di una pompa di calore, la variazione dell'entalpia è il parametro principale che intercorre tra i vari stati del circuito frigorifero.

• Compressor: $\dot{W} = \dot{m} (h_B - h_A)$

• Condensatore: $\dot{Q}_H = \dot{m} (h_C - h_B)$

• Valvola di espansione: $0 = \dot{m} (h_D - h_C)$

• Evaporatore: $\dot{Q}_L = \dot{m} (h_A - h_D)$

L'entalpia gioca un ruolo fondamentale in questi processi a flusso stazionario. La capacità di prestazione della pompa di calore, definita dall'equazione del COP (Coefficiente di Prestazione), può essere espressa tramite le differenze di entalpia tra gli stati:

• Stato A: Vapore saturo di R-134a a $T_L = 2^\circ C$, con $p_A = 3.15 \, \text{bar}$, $h_A = 399.8 \, \text{kJ/kg}$, e $s_A = 1.726 \, \text{kJ/(kg·K)}$.

• Stato C: Liquido saturo di R-134a a $T_H = 35^\circ C$, con $p_C = 8.87 \, \text{bar}$, $h_C = 249.0 \, \text{kJ/kg}$.

La determinazione dello stato B, che corrisponde al vapore sovrasaturato in uscita dal compressore, è il passo più complesso. Qui, la compressione adiabatica determina una variazione di entalpia, e per determinare con precisione questo stato, si utilizza il concetto di entropia costante per processi adiabatici reversibili. Si cerca quindi lo stato che ha la stessa entropia di $s_A = 1.726 \, \text{kJ/(kg·K)}$ a una pressione di $p_B = 8.87 \, \text{bar}$.

In un ciclo ideale, si cerca di ottenere il massimo COP possibile, ma in pratica il COP reale è sempre inferiore a quello teorico. Le perdite dovute a frizioni nel compressore, perdite per tenute e spazi morti non utilizzabili, nonché le inevitabili perdite di pressione lungo le linee, limitano le prestazioni del sistema. La differenza di temperatura richiesta per il trasferimento di calore efficiente tra il condensatore e il serbatoio caldo, ad esempio, impedisce di raggiungere i valori teorici massimi.

L'analisi quantitativa del circuito frigorifero, come quella mostrata in un esempio pratico con il refrigerante R-134a, permette di calcolare il flusso di massa necessario per ottenere una potenza termica di 10 kW. Dal punto di vista energetico, si determinano il lavoro del compressore e il COP della pompa di calore, che risulta essere pari a 8.05 in questo esempio pratico, rispetto al valore teorico di 9.3 ottenuto con il ciclo di Carnot per le stesse temperature.

Come Ottimizzare l'Efficienza nei Cicli Termici: Il Ruolo delle Turbine a Vapore e la Super-Saturazione

Nel contesto della generazione di energia, l'efficienza termica rappresenta una delle sfide più complesse. La trasformazione dell'energia termica in energia meccanica, e successivamente in elettricità, si basa su processi termodinamici che comportano inevitabili perdite, soprattutto durante il trasferimento di calore. In tutte le centrali termiche, la principale fonte di irreversibilità è rappresentata dal trasferimento di calore attraverso una notevole differenza di temperatura, un processo che genera entropia e riduce l'efficienza complessiva. Questo fenomeno è evidente in tutti i sistemi di combustione, dalle caldaie domestiche alle centrali a carbone, e si manifesta particolarmente nelle turbine a vapore.

Per migliorare l'efficienza, uno dei metodi più comuni è quello di utilizzare impianti a ciclo combinato, che impiegano sia turbine a gas che a vapore. In questi impianti, l'energia dei gas di scarico prodotti dalla turbina a gas viene utilizzata per riscaldare il vapore che alimenta la turbina a vapore, riducendo così l'impatto delle perdite dovute alle differenze di temperatura.

Nonostante ciò, in molte centrali a vapore si adotta il metodo della super-saturazione per evitare che la condensa d'acqua danneggi le pale delle turbine. Durante l'espansione isentropica del vapore, il flusso di vapore si espande in una regione che è soggetta alla formazione di goccioline di acqua, le quali, a causa delle alte velocità delle turbine, provocano danni significativi alle turbine stesse. Per evitare questo, la proporzione di vapore deve essere aumentata al di sopra del 66%, che è il valore che si ottiene normalmente durante il processo di espansione, per portarla a valori superiori al 90%.

Questo si ottiene attraverso due tecniche: la super-saturazione e il riscaldamento del vapore (reheat). Nel processo di super-saturazione, il vapore viene riscaldato oltre la temperatura di saturazione, separando il vapore dall'acqua liquida, e quindi il vapore può essere riscaldato ulteriormente, riducendo la formazione di goccioline. La temperatura di riscaldamento, tuttavia, è limitata dalle proprietà termiche del fluido termico. Nei moderni impianti a ciclo combinato, il vapore viene riscaldato a temperature che vanno da 500°C a 700°C, ma queste temperature sono vincolate dalle proprietà dei materiali.

Tuttavia, per ottimizzare ulteriormente la produzione di vapore, è necessario implementare il riscaldamento (reheat) del vapore espanso che ha subito un abbassamento della temperatura all'interno della turbina. Questo vapore viene estratto e riscaldato nuovamente, ma a una pressione più bassa, in un altro scambiatore di calore. Questo approccio consente di ottenere una maggiore quantità di vapore al termine del ciclo, migliorando l'efficienza globale del processo.

Tuttavia, il ciclo combinato gas-vapore risulta essere una delle soluzioni più efficaci per ridurre queste perdite. In queste centrali, il vapore non viene riscaldato direttamente dalla combustione, ma dal gas di scarico della turbina a gas. Questo approccio, che non richiede un trasferimento diretto di calore dalla fiamma al fluido di lavoro, riduce sensibilmente la perdita di efficienza, consentendo di ottenere una temperatura ottimale per il funzionamento della turbina a vapore. Inoltre, l'energia termica residua dei gas di scarico viene utilizzata per produrre ulteriori quantità di vapore, migliorando ulteriormente l'efficienza complessiva dell'impianto.

La comprensione di questi processi è cruciale per chiunque si occupi della progettazione e gestione di impianti termici. Le sfide legate alle irreversibilità non sono solo teoriche, ma si manifestano concretamente nel funzionamento quotidiano degli impianti. Per questo, le strategie di miglioramento dell'efficienza, come l'uso della super-saturazione, il riscaldamento e il ciclo combinato, sono elementi fondamentali da considerare nella progettazione di centrali elettriche più efficienti e sostenibili.

Come funziona la conduzione del calore in un sistema?

La variazione dell'energia interna all'interno dei confini di un sistema si verifica a causa dell'input di calore da un lato e dell'output di calore dall'altro lato. Questo fenomeno viene descritto dalla seguente equazione di bilancio energetico:

Dove $dU$ è il cambiamento nell'energia interna, mentre $\dot{Q}(x)$ rappresenta la potenza termica in un punto specifico del sistema. L'energia interna in un elemento di volume può essere espressa in termini di variazione di temperatura, utilizzando la capacità termica specifica $c$:

dove $\rho$ è la densità del materiale. Se si divide entrambi i membri dell'equazione di bilancio energetico per $\Delta x$ e si fa tendere $\Delta x$ a zero, si ottiene:

Per sostituire $\dot{Q}$, si utilizza la legge di Fourier per la conduzione del calore, che stabilisce che il flusso di calore è proporzionale al gradiente di temperatura:

Sostituendo questa relazione nell'equazione precedente, si ottiene la forma finale della legge di conduzione del calore:

dove $\lambda$ è la conducibilità termica del materiale. Questa è l'equazione fondamentale per la conduzione del calore in una dimensione. Se si considera un sistema tridimensionale, l'equazione si estende come segue:

Il prefattore $\alpha = \frac{\lambda}{\rho c}$ è la diffusività termica, una costante materiale che descrive la velocità con cui il calore si diffonde all'interno di un corpo.

Un esempio classico riguarda il gradiente di temperatura all'interno di una parete. In un problema di conduzione termica stazionaria, la distribuzione della temperatura viene assunta come lineare, come mostrato dalla soluzione dell'equazione differenziale:

La soluzione generale di questa equazione è:

dove $a$ e $b$ sono costanti che possono essere determinate tramite le condizioni al contorno, come le temperature sulle superfici esterne e interne della parete.

In situazioni pratiche, la risoluzione esatta delle equazioni di conduzione del calore non è sempre necessaria, specialmente se la conduzione all'interno del corpo è molto più rapida rispetto alla fornitura di calore dall'esterno. In questi casi, è spesso utile adottare un'ipotesi di riscaldamento uniforme, ovvero assumere che il calore si distribuisca uniformemente all'interno del corpo. Questo è valido quando la conduzione termica interna è molto più veloce rispetto al trasferimento di calore dall'esterno, come nel caso di un piccolo oggetto metallico immerso in un fluido con bassa capacità termica, come l'aria.

Per determinare se l'approccio di riscaldamento uniforme sia valido, si usa il numero di Biot $Bi$, definito come:

dove $h$ è il coefficiente di scambio termico, $L$ è una lunghezza caratteristica del corpo e $\lambda$ è la conducibilità termica del materiale. Quando il numero di Biot è inferiore a 0.1, l'approssimazione del riscaldamento uniforme è generalmente valida e si può fare a meno di risolvere le complicate equazioni di conduzione del calore.

Nel caso in cui il riscaldamento sia uniforme, la variazione della temperatura nel tempo può essere descritta dall'equazione ordinaria:

che è nota come legge di raffreddamento di Newton. La soluzione di questa equazione fornisce la temperatura del corpo nel tempo:

A volte, un approccio semplificato come quello del riscaldamento uniforme è sufficiente per ottenere stime ragionevoli sul tempo di riscaldamento o raffreddamento, senza dover risolvere equazioni complesse. La validità di tale approssimazione dipende fortemente dalle caratteristiche fisiche del materiale e dalle condizioni ambientali.

Come calcolare il tempo di cottura di un uovo alla coque perfetto?

Nel contesto delle tecniche termiche, la questione del tempo di cottura per ottenere un uovo alla coque perfetto rappresenta un’affascinante applicazione della conduzione termica transitoria. Sebbene la tradizione suggerisca semplicemente di cuocere un uovo per tre minuti, la scienza ha cercato una risposta più precisa a questa domanda. Un’approfondita analisi termodinamica del 1998, condotta da Charles Williams dell’Università di Exeter, ha prodotto una formula che calcola il tempo di cottura ideale in funzione delle condizioni iniziali dell'uovo e delle sue proprietà termiche.

Il processo di cottura di un uovo, come quello di altri oggetti sferici, non può essere trattato con l’approssimazione di un riscaldamento uniforme, dato che il numero di Biot per un uovo è circa 120, molto più grande di 0.1, che è il limite per un riscaldamento uniforme. Pertanto, si deve applicare la teoria della conduzione termica transitoria, che descrive il trasferimento di calore in un corpo che cambia temperatura nel tempo. La difficoltà di questo tipo di problema è che il riscaldamento non avviene uniformemente in tutto l'uovo, ma strato per strato, con il calore che penetra dalla superficie verso l’interno.

Per semplificare i calcoli, l'uovo viene modellato come una sfera, la cui superficie si riscalda tramite il contatto con l’acqua bollente. La condizione di contorno alla superficie dell’uovo è che la sua temperatura sia uguale a quella dell’acqua circostante, una condizione che semplifica i calcoli poiché, in queste condizioni, la resistenza termica dalla superficie all’interno dell'uovo è praticamente nulla. Sottolineiamo che per i numeri di Biot più elevati, dove questa approssimazione non è valida, si devono applicare condizioni di contorno di tipo Neumann, che prendono in considerazione il flusso termico alla superficie del corpo.

La soluzione dell’equazione della conduzione termica, che descrive l’evoluzione della temperatura all’interno dell’uovo, può essere espressa come una serie infinita, ma per tempi sufficientemente lunghi e per dimensioni dell'uovo non troppo piccole, si può trascurare il contributo delle somme successive. In tal caso, si ottiene una buona approssimazione per la temperatura interna dell’uovo in funzione del tempo. La formula finale che descrive il tempo di cottura dell’uovo alla coque è quindi una funzione della sua dimensione, della sua temperatura iniziale e delle proprietà termiche dei materiali coinvolti.

Per esempio, nel caso di un uovo con raggio di 2.5 cm preso direttamente dal frigorifero (a 4°C) e uno che si trova a temperatura ambiente (20°C), la formula di Williams permette di calcolare il tempo necessario affinché il bianco dell’uovo raggiunga i 63°C, temperatura in cui il bianco denaturato separa il tuorlo ancora fluido. Con i dati termici degli uova di gallina, possiamo calcolare che un uovo freddo ha bisogno di circa 5 minuti per raggiungere la cottura ideale. Questo esempio dimostra l'importanza di considerare non solo la temperatura dell’acqua, ma anche la temperatura iniziale dell’uovo e la sua struttura fisica.

Va notato che la precisione del calcolo dipende molto dalle condizioni iniziali e dalle caratteristiche dell’uovo. Ad esempio, se un uovo proviene dal frigorifero, il tempo di cottura sarà significativamente maggiore rispetto a un uovo che è stato mantenuto a temperatura ambiente. Inoltre, l'analisi assume che l’uovo sia immerso completamente in acqua bollente, il che è fondamentale per garantire una distribuzione uniforme del calore. Se l’uovo non fosse completamente immerso o se la temperatura dell’acqua non fosse costante, il risultato potrebbe variare notevolmente.

In sintesi, il tempo di cottura di un uovo alla coque perfetto non è un semplice valore fisso, ma dipende da variabili termiche e fisiche che devono essere attentamente considerate. L'analisi termodinamica ci offre una comprensione profonda di come la temperatura si diffonda all'interno di un uovo e di come questi fenomeni possano essere modellati matematicamente per ottenere un risultato ottimale. Così, la "ricetta perfetta" non è più un mistero, ma un problema risolvibile con la giusta applicazione della fisica.