Come risolvere i problemi di valore al contorno in coordinate polari: applicazioni alla temperatura in piastre circolari e semicircolari

Il problema del valore al contorno è uno degli aspetti centrali nell'analisi delle equazioni differenziali parziali, e un buon numero di applicazioni fisiche richiede la risoluzione di tali problemi per geometrie non rettangolari, come nel caso di piastre circolari o semicircolari. In questo contesto, le coordinate polari diventano fondamentali, in particolare per la risoluzione dell'equazione di Laplace, che descrive la distribuzione della temperatura in sistemi in equilibrio termico. Qui esploreremo il processo di risoluzione di problemi di valore al contorno utilizzando coordinate polari, con esempi di applicazione.

e viceversa, permettendo di trasformare qualsiasi funzione definita su un dominio circolare in un dominio rettangolare e viceversa. Con queste trasformazioni, l'equazione di Laplace in due dimensioni, che in coordinate cartesiane è:

si converte nella forma:

Questa nuova espressione è fondamentale per risolvere problemi in cui la simmetria del dominio è radiale, come in una piastra circolare o in una piastrella cilindrica.

Nel processo di separazione delle variabili, si cerca una soluzione della forma:

Sostituendo questa forma nell'equazione di Laplace e separando le variabili, otteniamo due equazioni ordinarie separate:

Le soluzioni di queste equazioni dipendono dal valore della costante di separazione $\lambda$, che è legato agli autovalori del problema. Per il problema circolare, i valori $\lambda_n = n^2$ (con $n = 1, 2, 3, \dots$) sono gli autovalori del problema, e le soluzioni per $\Theta(\theta)$ sono funzioni trigonometriche periodiche, $\cos(n\theta)$ e $\sin(n\theta)$, che soddisfano la periodicità richiesta per $\theta$.

La soluzione generale quindi sarà una somma infinita di soluzioni, che può essere scritta come:

Sovrapponendo queste soluzioni, si ottiene una serie di Fourier per descrivere la funzione della temperatura lungo la circonferenza, adattandola alla condizione al contorno imposta.

In un altro esempio, si può considerare una piastra semicircolare, come mostrato nella figura di riferimento. Qui, le condizioni al contorno richiedono che la temperatura lungo i bordi della semicirconferenza sia zero, e la soluzione si sviluppa utilizzando una separazione delle variabili simile a quella nel caso circolare. Il problema in coordinate polari si trasforma in un sistema di equazioni differenziali ordinari per $R(r)$ e $\Theta(\theta)$, e le condizioni al contorno, come $\Theta(0) = 0$ e $\Theta(\pi) = 0$, definiscono ulteriormente la soluzione.

In generale, le soluzioni di questo tipo di problemi sono applicabili in una varietà di situazioni fisiche, dalla conduzione del calore in materiali a geometria circolare alla modellizzazione di fenomeni in ingegneria e scienze applicate, come nelle analisi strutturali e termiche. Essere in grado di risolvere questi problemi in coordinate polari è una competenza cruciale per l'ingegnere e il fisico che si occupano di sistemi con simmetrie radiali.

Qual è la natura di una funzione di variabile complessa e come si comportano i suoi limiti e la sua continuità?

Quando si parla di una funzione di variabile complessa, si entra in un dominio che supera la semplice rappresentazione grafica su un piano cartesiano. A differenza delle funzioni reali, per le quali possiamo facilmente tracciare grafici in due dimensioni, le funzioni di variabile complessa coinvolgono concetti più astratti, come la trasformazione di punti dal piano complesso al piano immagine. Ogni funzione complessa è definita come una corrispondenza tra i numeri complessi di partenza e quelli di arrivo. Concretamente, una funzione complessa si scrive come $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$, dove $z = x + iy$ è un numero complesso, e $u(x, y)$ e $v(x, y)$ sono le sue parti reali e immaginarie.

Le funzioni di variabile complessa possono essere viste come trasformazioni geometriche che agiscono su figure nel piano complesso. Un esempio pratico di ciò è la trasformazione di una retta, come quella definita da $\text{Re}(z) = 1$, attraverso una funzione come $f(z) = z^2$. In questo caso, l'immagine della retta è una parabola nel piano $w$, ottenuta risolvendo le equazioni parametriche del tipo $u = 1 - y^2$ e $v = 2y$.

Un altro aspetto fondamentale delle funzioni complesse è il concetto di limite. Definire un limite di una funzione complessa $f(z)$ mentre $z \to z_0$ è simile alla definizione di limite per una funzione di variabile reale, ma con una differenza sostanziale. Mentre per le funzioni reali ci si limita ad esaminare i limiti da destra e da sinistra, nel caso delle funzioni complesse il limite deve essere considerato da tutte le direzioni possibili nel piano complesso. Un esempio di definizione del limite in questo contesto è il seguente: se $f(z) = L$, allora per ogni $\epsilon > 0$, esiste un $\delta > 0$ tale che per ogni $z$ tale che $0 < |z - z_0| < \delta$, $|f(z) - L| < \epsilon$. In altre parole, i valori di $f(z)$ si avvicinano arbitrariamente a $L$ se $z$ si avvicina abbastanza a $z_0$.

Le derivate delle funzioni complesse si definiscono attraverso un limite simile a quello delle funzioni reali, ma richiedono che il limite sia preso in tutte le direzioni nel piano complesso. Una funzione che soddisfa questa condizione è detta derivabile, e questo comporta una serie di proprietà analitiche molto potenti che vengono esplorate in dettaglio nel corso dello studio delle funzioni complesse.

Per comprendere appieno questi concetti, è cruciale non solo apprendere le definizioni formali, ma anche visualizzare come queste funzioni interagiscono con l'oggetto geometrico che rappresentano. Ogni funzione complessa descrive una trasformazione che, anche se difficile da rappresentare direttamente in uno spazio a quattro dimensioni, fornisce intuizioni molto ricche sulla struttura del piano complesso e sui modi in cui le sue figure possono evolversi o trasformarsi.

Come si applicano i modelli matematici ai processi naturali e tecnologici?

I modelli matematici che descrivono fenomeni naturali, come il decadimento radioattivo o i cambiamenti termici, sono essenziali per comprendere e prevedere vari eventi in numerosi ambiti, tra cui l'archeologia, la medicina e la fisica. Un esempio emblematico è il metodo della datazione al carbonio, che consente di stimare l'età di oggetti antichi tramite l'analisi del decadimento del carbonio-14. Tale modello si fonda sull'uso di una formula esponenziale che descrive il tasso di decadimento di una sostanza radioattiva, rivelando così la quantità residua di carbonio-14 in un campione e permettendo di dedurre la sua età.

Tali modelli, tuttavia, si estendono anche a contesti tecnologici e fisici, come nel caso delle equazioni che descrivono il raffreddamento o il riscaldamento degli oggetti. La legge di raffreddamento di Newton, ad esempio, stabilisce che la variazione di temperatura di un corpo in relazione alla temperatura ambiente segue una legge esponenziale. Se un termometro, inizialmente a 70°F, viene portato all'esterno dove la temperatura è di 10°F, il tasso di variazione della temperatura del termometro può essere descritto tramite un'equazione differenziale che tiene conto della differenza tra la temperatura interna e quella esterna.

Un altro interessante esempio di applicazione dei modelli matematici è rappresentato dalla soluzione di miscele in serbatoi, dove il flusso di un liquido contenente una certa quantità di sale (o qualsiasi altra sostanza) viene regolato attraverso il processo di immissione e fuoriuscita del liquido stesso. La quantità di sale nel serbatoio, che cambia con il tempo, può essere modellata tramite equazioni differenziali che dipendono dal flusso di ingresso e uscita del liquido, oltre alla concentrazione di sale.

Per esempio, in un serbatoio contenente 200 litri di liquido, con 30 grammi di sale disciolti, se una soluzione salina entra al ritmo di 4 litri al minuto, e la soluzione ben miscelata esce alla stessa velocità, la quantità di sale nel serbatoio cambierà con il tempo secondo una formula esponenziale, la cui risoluzione permette di determinare quanta sostanza sarà presente nel serbatoio dopo un dato intervallo di tempo.

Tali modelli, seppur semplici, sono essenziali per risolvere una vasta gamma di problemi reali e pratici, e la loro applicazione non è limitata ai soli ambiti scientifici, ma trova spazio anche in contesti tecnologici, economici e persino in situazioni quotidiane. La precisione nel calcolare le variabili in gioco e nel comprendere le leggi sottostanti è fondamentale non solo per ottenere risposte accurate, ma anche per prevedere comportamenti futuri con una certa affidabilità.

Quando si utilizzano questi modelli, è cruciale non solo risolvere le equazioni matematiche, ma anche considerare i fattori che potrebbero influenzare i risultati. Nel caso della datazione al carbonio, per esempio, è necessario tener conto di variabili come la contaminazione del campione, la presenza di altre sostanze radioattive o la possibile alterazione del tasso di decadimento nel corso dei millenni. Analogamente, nelle equazioni che descrivono il raffreddamento di un oggetto, bisogna considerare le condizioni ambientali precise e il comportamento del materiale, per ottenere una stima precisa della temperatura futura.

Qual è la soluzion generale per un'equazione differenziale lineare omogenea e non omogenea?

Sia $y = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + \dots + c_n y_n(x)$, dove $c_i$, con $i = 1, 2, \dots, n$, sono costanti arbitrarie. Il Teorema 3.1.5 stabilisce che, se $Y(x)$ è una qualsiasi soluzione dell'equazione differenziale sull'intervallo, allora è sempre possibile determinare le costanti $C_1, C_2, \dots, C_n$ affinché $Y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \dots + C_n y_n(x)$. Per provare questo, consideriamo il caso in cui $n = 2$.

Esempio 7: La soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea. Le funzioni $y_1 = e^{3x}$ e $y_2 = e^{ -3x}$ sono soluzioni dell'equazione differenziale omogenea $y'' - 9y = 0$ sull'intervallo $(-\infty, \infty)$. Con una semplice ispezione, possiamo vedere che queste soluzioni sono linearmente indipendenti sull'asse $x$, cosa che può essere confermata osservando che il Wronskiano per ogni $x$ è diverso da zero. Concludiamo che $y_1$ e $y_2$ formano un insieme fondamentale di soluzioni e, di conseguenza, la soluzione generale dell'equazione è $y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{ -3x}$.

Esempio 9: La soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea di terzo ordine. Le funzioni $y_1 = e^x$, $y_2 = e^{2x}$ e $y_3 = e^{3x}$ sono soluzioni dell'equazione differenziale di terzo ordine $y^{(3)} - 6y'' + 11y' - 6y = 0$. Poiché le funzioni $y_1$, $y_2$ e $y_3$ formano un insieme fondamentale di soluzioni sull'intervallo $(-\infty, \infty)$, la soluzione generale dell'equazione è $y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x}$.

Teorema 3.1.6: Soluzione generale delle equazioni non omogenee. Se $y_p$ è una soluzione particolare dell'equazione differenziale lineare non omogenea $y'' + 9y = 27$, e $y_1, y_2, \dots, y_n$ sono un insieme fondamentale di soluzioni dell'equazione omogenea associata, allora la soluzione generale dell'equazione non omogenea è:

dove $c_1, c_2, \dots, c_n$ sono costanti arbitrarie. La soluzione generale si compone di due termini: uno omogeneo e uno particolare.

Funzione complementare. La funzione complementare di un'equazione differenziale non omogenea è rappresentata dalla combinazione lineare delle soluzioni dell'equazione omogenea associata. La soluzione generale dell'equazione non omogenea è quindi data dalla somma della funzione complementare e di una particolare soluzione. In altre parole, per risolvere un'equazione differenziale lineare non omogenea, prima si risolve l'equazione omogenea associata, e poi si trova una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. La soluzione generale è quindi la somma di queste due componenti.

Teorema 3.1.7: Principio di sovrapposizione per equazioni non omogenee. Se $y_{p1}, y_{p2}, \dots, y_{pk}$ sono soluzioni particolari di equazioni non omogenee distinte, allora la loro somma $y_p = y_{p1} + y_{p2} + \dots + y_{pk}$ è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea risultante dalla somma dei termini a destra delle singole equazioni.