Nel contesto della superfluidità, le onde di primo e secondo suono costituiscono due modalità fondamentali di propagazione che riflettono la complessità termodinamica del fluido quantistico. Il primo suono corrisponde essenzialmente a un'onda di densità e pressione, la cui velocità di fase può essere identificata con V12=(∂p∂ρ)V_1^2 = \left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right), mentre il secondo suono è un’onda di temperatura e entropia, la cui propagazione coinvolge quantità termiche e dissipative non trascurabili, sintetizzate nel parametro ζ\zeta, definito macroscopicamente come ζ=λ1τ1=ρcVV22\zeta = \frac{\lambda_1}{\tau_1} = \rho c_V V_2^2.

La velocità del secondo suono, V2V_2, e il relativo coefficiente di attenuazione contengono termini proporzionali al quadrato della frequenza. In condizioni in cui il tempo di rilassamento τ1\tau_1 è molto lungo, tali termini diventano dominanti, rivelando la natura dissipativa della seconda modalità. Nonostante una certa divergenza formale rispetto al modello di Landau-Khalatnikov, il comportamento sperimentale osservato è in buon accordo con le previsioni teoriche. Inoltre, quando si considera l'espansione termica, le due modalità di suono non sono più completamente indipendenti: oscillazioni di temperatura e flusso termico compaiono nel primo suono, mentre nel secondo emergono oscillazioni di pressione e velocità.

L'analisi delle modalità trasversali mette in luce il legame profondo tra il modello a un fluido esteso e il modello a due fluidi. Proiettando le equazioni delle piccole perturbazioni di velocità e flusso termico sul piano frontale dell’onda, emergono due soluzioni distinte dalla relazione di dispersione. La prima è associata a un campo vettoriale u(s)=v−βTq\mathbf{u}^{(s)} = \mathbf{v} - \beta_T \mathbf{q}, quasi privo di attenuazione, mentre la seconda, u(n)=v+1P−1q\mathbf{u}^{(n)} = \mathbf{v} + \frac{1}{P - 1} \mathbf{q}, risulta fortemente attenuata. Questa distinzione è concettualmente rilevante: u(s)\mathbf{u}^{(s)} rappresenta la componente superfluida, che si propaga quasi senza dissipazione, mentre u(n)\mathbf{u}^{(n)} descrive la componente normale, soggetta a viscosità e attenuazione rapida.

Anche nell’analisi del modello completo a 14 variabili, in cui si considerano le dinamiche veloci dei tensori di stress non in equilibrio, i due campi vettoriali u(s)\mathbf{u}^{(s)} e u(n)\mathbf{u}^{(n)} emergono naturalmente. La decomposizione delle variabili macroscopiche v\mathbf{v} e q\mathbf{q} in termini di u(s)\mathbf{u}^{(s)} e u(n)\mathbf{u}^{(n)} chiarisce ulteriormente la struttura fisica sottostante:

v=1Pu(s)+(1−1P)u(n),q=1βT(u(s)−u(n)).\mathbf{v} = \frac{1}{P} \mathbf{u}^{(s)} + \left(1 - \frac{1}{P}\right) \mathbf{u}^{(n)}, \quad \mathbf{q} = \frac{1}{\beta_T} \left( \mathbf{u}^{(s)} - \mathbf{u}^{(n)} \right).

In prossimità delle pareti di un contenitore, la condizione al contorno imposta riguarda solo u(n)\mathbf{u}^{(n)}: la sua componente tangenziale deve annullarsi. Questo è compatibile con l’assenza di viscosità tangenziale nella componente superfluida. Quando però il cammino libero medio dei portatori di calore diventa comparabile al raggio del canale, questa condizione deve essere riconsiderata.

Una volta che si identificano u(s)\mathbf{u}^{(s)} e u(n)\mathbf{u}^{(n)} con le velocità delle componenti superfluida e normale, è possibile definire le densità di massa associate come:

ρ(s)=(1−1P)ρ,ρ(n)=1Pρ,\rho^{(s)} = \left(1 - \frac{1}{P}\right)\rho, \quad \rho^{(n)} = \frac{1}{P} \rho,

che risultano sempre comprese tra 0 e ρ, secondo le condizioni imposte dalla relazione di dispersione. Inoltre, l’analisi del flusso entropico convettivo rivela che entrambe le componenti trasportano entropia, contrariamente all’ipotesi semplificata del modello a due fluidi classico che assume entropia nulla per la parte superfluida. Dallo sviluppo teorico, si ricavano:

s(s)=s+1ρβT2,s(n)=s−βTζ,s^{(s)} = s + \frac{1}{\rho \beta_T^2}, \quad s^{(n)} = s - \beta_T \zeta,

soddisfacendo così la decomposizione dell’entropia totale: ρs=ρ(s)s(s)+ρ(n)s(n)\rho s = \rho^{(s)} s^{(s)} + \rho^{(n)} s^{(n)}. L’aggiunta dei termini correttivi nel calcolo dell’entropia convettiva permette una rappresentazione più accurata della termodinamica del sistema, in particolare quando si considerano effetti dissipativi in regime dinamico.

L’interpretazione fisica dei campi u(s)\mathbf{u}^{(s)} e u(n)\mathbf{u}^{(n)} come velocità rispettivamente della componente superfluida e di quella normale non solo è coerente con le osservazioni sperimentali, ma consente anche un passaggio naturale dal modello esteso a un fluido unico a una generalizzazione del modello a due fluidi. Ciò dimostra che la distinzione tra fluido normale e superfluido non è soltanto un’ipotesi formale, ma una

Come si comportano i vortici quantizzati in sistemi rotanti: Confronto tra elio superfluido e condensati di Bose-Einstein

Nel contesto della fisica dei fluidi superfluidi e dei condensati quantistici, uno degli argomenti più affascinanti è l’analisi del comportamento dei vortici quantizzati. Questi vortici, caratterizzati da una circolazione discreta, sono fondamentali non solo per comprendere fenomeni che avvengono in sistemi come l'elio II, ma anche per fare analogie con sistemi più complessi come i condensati di Bose-Einstein (BEC). Studiando questi vortici in vari ambienti, dalla materia condensata agli oggetti astrofisici come le stelle di neutroni, si possono ottenere indizi cruciali sui meccanismi di interazione tra materia e energia nelle condizioni più estreme.

Nel 1964, Ginzburg e Kirzhnits suggerirono che nelle stelle di neutroni rotanti rapidamente si possano formare linee di vortici quantizzati, con una circolazione pari a ℏ/2mn\hbar / 2m_n, dove mnm_n è la massa del neutrone. Quest'idea ha suscitato un grande interesse, soprattutto dopo la scoperta dei vortici quantizzati in elio II. Quando la temperatura di un sistema scende al di sotto di un valore critico, il comportamento del fluido cambia radicalmente. Ad esempio, in presenza di vortici quantizzati, questi possono essere trasportati dal fluido superfluido in modo che il sistema stesso possa raggiungere uno stato metastabile, a meno che non intervengano forze esterne a perturbare l'equilibrio.

In esperimenti condotti nel 1980 da Tsakadze e Tsakadze, utilizzando sfere di vetro piene di elio superfluido, è stato osservato un interessante processo di rilassamento della velocità angolare dopo un’accelerazione rotazionale. La particolarità di questi esperimenti risiedeva nella misurazione del tempo di decadimento τ0\tau_0 e della sua dipendenza da vari fattori come temperatura, raggio della sfera e velocità angolare iniziale. Una delle scoperte più rilevanti fu il cambiamento esponenziale della velocità angolare durante il processo di ritorno all’equilibrio, in cui l'angolo di velocità decresce in funzione di vari parametri fisici.

A temperature basse, intorno ai 2.17 K, è stato notato un aumento improvviso del tempo di decadimento τ0\tau_0, indicativo di una minore interazione tra il contenitore e il fluido. Questo fenomeno è un segno della diminuzione della componente normale del fluido, la quale interagisce con la superfluida, causando un rallentamento progressivo dell'accelerazione della sfera. Tali osservazioni sono direttamente collegabili alle osservazioni sugli "glitch" nelle stelle di neutroni, dove l’interazione tra vortici e il fluido che li trasporta gioca un ruolo fondamentale nel comportamento di questi oggetti astrofisici.

Quando si tratta di condensati di Bose-Einstein rotanti, alcuni analoghi comportamentali si manifestano anche se in un contesto ben diverso. I condensati di Bose-Einstein sono significativamente più diluiti e freddi rispetto all’elio II, con una massa atomica molto maggiore, come nel caso degli atomi di rubidio 87^{87}Rb, la cui massa è venti volte superiore a quella degli atomi di elio. A causa di ciò, il quantum di circolazione in un BEC è circa venti volte più piccolo rispetto all’elio II. Nonostante le differenze fisiche tra i due sistemi, sono state riscontrate alcune analogie, ad esempio nella formazione e dinamica dei vortici quantizzati.

Nel caso dei BEC, i vortici non aumentano indefinitamente con l’aumentare della velocità angolare. Al contrario, il numero di vortici per unità di area trasversale tende a raggiungere un massimo e successivamente a diminuire, scomparendo oltre una certa soglia. Questo fenomeno potrebbe essere dovuto all’effetto combinato della repulsione tra vortici e dell’influenza crescente delle forze centrifughe a velocità elevate. A differenza degli esperimenti con elio II, che avvengono in contenitori rigidi, nei BEC si utilizzano trappole ottiche o magnetiche, e la presenza di “muri” fisici è meno determinante. Inoltre, la frequenza di rotazione nei BEC è molto più alta, arrivando fino a 300 rad/s, rispetto ai meno di 10 rad/s osservati in elio II.

In entrambe le situazioni, quindi, l’interazione tra vortici quantizzati e il fluido che li supporta è un elemento cruciale per comprendere la dinamica dei sistemi rotanti, sia a livello microscopico che nelle osservazioni astrofisiche. In un BEC, ad esempio, la variabilità della densità di vortici in funzione della rotazione evidenzia un comportamento complesso che riflette la delicatezza delle interazioni a livello microscopico, mentre nel caso dell’elio II, i vortici possono formare strutture più stabili, ma non prive di effetti disturbatori.

L'analisi di questi fenomeni permette di fare progressi significativi sia nella fisica fondamentale che nella comprensione delle osservazioni astrofisiche, come i glitch nei pulsar, dove il comportamento dei vortici gioca un ruolo fondamentale. L'importanza di questi studi risiede nel fatto che la comprensione dei vortici quantizzati, della loro dinamica e delle interazioni con il fluido circostante, fornisce una chiave di lettura fondamentale per esplorare le proprietà dei sistemi superfluido-quantistici sia sulla Terra che nello spazio.

Come il Flusso di Calore e i Vortici Interagiscono in un Canale a Due Dimensioni con un Ostacolo Centrale: Un'Analisi Sperimentale

Il comportamento del flusso di calore e dei vortici all'interno di un canale a due dimensioni, in particolare quando un ostacolo cilindrico centrale viene introdotto, rappresenta una situazione fisica significativamente più complessa rispetto ai flussi in canali privi di ostacoli. I risultati numerici, come quelli presentati in precedenza, dimostrano l'importanza della viscosità e della frizione mutua nell'influenzare la distribuzione dei vortici. In presenza di bassa viscosità, infatti, gli effetti di inerzia e frizione mutua emergono con maggiore intensità, determinando una separazione netta dei vortici, con una densità di vortici prossima a zero nel centro del canale, e valori molto elevati vicino alle pareti. Questo fenomeno è accompagnato da un profilo di velocità del fluido normale che risulta coerente con la costanza del flusso volumetrico di calore.

Nel contesto sperimentale studiato da Zhang e Van Sciver, l'analisi dei flussi di calore e dei vortici è stata effettuata in un canale a due dimensioni con un ostacolo cilindrico centrale, utilizzando un flusso di calore sufficientemente elevato da generare vortici. I loro esperimenti, che simulano una situazione tridimensionale ma semplificata a due dimensioni, sono stati condotti con elio superfluido, a temperature che favoriscono la separazione tra la componente normale e la componente superfluida del fluido. Il flusso di calore è stato studiato in due situazioni termiche distinte: una a 1,6 K e l’altra a 2,03 K.

In base a queste condizioni, i risultati sperimentali mostrano la formazione di grandi eddy polarizzati, che si distribuiscono in modo asimmetrico lungo il flusso. L'accumulo locale di vortici positivi e negativi produce una configurazione di vortici che si dispongono lungo il flusso, con effetti visibili nelle regioni circostanti l'ostacolo cilindrico. A temperature più basse (1,6 K), si osservano due vortici principali in direzione del flusso di calore, uno a destra (vortice in senso orario) e uno a sinistra (vortice in senso antiorario). Quando la temperatura aumenta (2,03 K), i vortici diventano più lunghi e si allungano lungo la direzione del flusso, ma la loro distribuzione rimane simile a quella osservata a temperature più basse, sebbene con dimensioni maggiori.

Questa formazione di vortici può essere interpretata alla luce della teoria dei flussi viscosi, che normalmente predice la creazione di vortici nella zona posteriore di un ostacolo in un flusso ad alta velocità. Tuttavia, la situazione descritta da Zhang e Van Sciver presenta alcune discrepanze. Nonostante i numeri di Reynolds calcolati, che suggerirebbero vortici di dimensioni più grandi a velocità più basse, le dimensioni osservate dei vortici non corrispondono esattamente a quelle attese. Inoltre, la misura effettiva della velocità del fluido normale da PIV (Particle Image Velocimetry) ha rivelato numeri di Reynolds significativamente inferiori a quelli calcolati da Zhang, indicando che la formazione dei vortici osservati potrebbe essere legata più strettamente alla separazione tra vortici positivi e negativi indotta dal flusso di calore, piuttosto che alla semplice interazione di vortici in un flusso viscoso.

Inoltre, la geometria complessa del flusso, che è curvata dall'ostacolo cilindrico, contribuisce alla separazione dei vortici in modo più marcato rispetto ai flussi in canali rettilinei. La presenza di questo ostacolo, infatti, devia il flusso e induce un comportamento più articolato dei vortici, evidenziando la necessità di considerare la curvatura del flusso nelle analisi numeriche e sperimentali di questo tipo di fenomeni. È in questo scenario che si inserisce la riflessione sulla modifica delle traiettorie delle particelle sospese, utilizzate per visualizzare il flusso, che possono essere influenzate dalla presenza dei vortici. Sebbene il flusso normale, a causa della sua viscosità, sia in grado di trascinare le particelle, la presenza di vortici può alterare il movimento di queste particelle, rendendo necessaria una comprensione più approfondita di come la dinamica dei vortici possa interagire con il flusso stesso.

Un aspetto fondamentale che deve essere compreso dal lettore è che l’introduzione di ostacoli in un flusso di elio superfluido non solo modifica il comportamento del flusso di calore ma influenza anche in modo significativo la distribuzione dei vortici, creando una situazione più complessa rispetto ai casi senza ostacoli. La curvatura del flusso, combinata con gli effetti di frizione e inerzia, può portare a una configurazione molto più dinamica e interattiva dei vortici. Questi effetti, a loro volta, devono essere considerati con attenzione nelle simulazioni numeriche, che devono essere in grado di descrivere accuratamente le forze in gioco e la loro evoluzione temporale.

Come comprendere la chiusura della gerarchia delle equazioni per i momenti nel modello turbolento: dai fluidi classici ai superflui

Nel contesto della turbolenza, uno degli aspetti fondamentali per comprendere le dinamiche di un fluido è l'evoluzione delle fluttuazioni e dei momenti di ordine superiore delle grandezze fisiche coinvolte, come la velocità, la pressione e la densità. Quando si studiano questi fenomeni in modo rigoroso, si affronta la necessità di descrivere l'evoluzione di momenti di ordine crescente, come .v′ ⊗ v′ ⊗ v′, .v′ ⊗ v′ ⊗ q′ e così via. Il cuore di questo problema è la chiusura di queste gerarchie, in quanto i momenti di ordine superiore influenzano quelli di ordine inferiore e, per mantenere un modello matematicamente trattabile, è necessario applicare delle tecniche di troncamento della gerarchia.

Una delle modalità più comuni per affrontare la chiusura delle equazioni è l'uso di metodi che si ispirano a modelli noti della teoria cinetica dei gas, come la formulazione generalizzata dell'equazione di Boltzmann o la teoria del lattice-Boltzmann. In tal modo, si stabilisce un sistema in cui, ad esempio, i momenti di ordine superiore sono descritti mediante l'introduzione di parametri efficaci, come la viscosità turbolenta, che hanno la funzione di sintetizzare gli effetti della turbolenza in un solo parametro.

Nel modello classico della turbolenza, la chiusura avviene frequentemente utilizzando il cosiddetto modello .K − ε, che si fonda sulla sostituzione dei momenti delle fluttuazioni, come il termine v′ ⊗ v′ nell'equazione evolutiva della velocità .v, con un termine che ha la stessa forma di un termine viscoso, ma con una viscosità modificata, che prende in considerazione gli effetti della turbolenza. In questo caso, il termine .Rv ≡ v′ ⊗ v′ viene sostituito da un'espressione della forma:

Rv≡v′⊗v′=−2νt∇svRv ≡ v′ ⊗ v′ = -2ν_t∇sv

dove ν_t rappresenta la viscosità turbolenta, che è definita in modo fenomenologico per descrivere l'aumento della dissipazione di energia turbolenta rispetto ai flussi laminari. La viscosità turbolenta dipende dalla cinetica dell'energia per unità di massa .K e dalla funzione di dissipazione .ε, che vengono collegati da una relazione di tipo dimensionale:

K2/νt=Cν/εK^2 / ν_t = Cν / ε

Questa relazione serve come base per il modello .K − ε, che descrive in maniera efficiente l'evoluzione della velocità in un fluido turbolento. Tuttavia, il modello .K − ε è limitato ai fluidi classici, dove l'unica variabile indipendente è la velocità .v.

Nel caso della turbolenza superfluida, ad esempio nel caso dell'elio superfluido, il modello diventa più complesso. In questi sistemi, oltre alla velocità .v, è necessario considerare anche altre grandezze come la vorticità .q e la quantità di moto .L, che introducono nuovi termini nelle equazioni evolutive e richiedono una chiusura della gerarchia che coinvolge più variabili. Qui, i momenti delle fluttuazioni devono essere espressi in funzione delle grandezze medie .v, .q e .L, o dei loro gradienti.

Per chiudere il sistema in maniera analoga al modello .K − ε, si procede in questo modo: i termini .Rv, .Rq e .RqL vengono espressi come:

Rv≡v′⊗v′=−νt∇v−ν1t∇qRv ≡ v′ ⊗ v′ = -ν_t∇v - ν1_t∇q
Rq≡v′⊗q′=−μt∇v−μ1t∇qRq ≡ v′ ⊗ q′ = -μ_t∇v - μ1_t∇q
RqL≡Kfq′L′=KftqLRqL ≡ Kf q′L′ = Kf_t qL

Dove i parametri .ν_t, .ν1_t, .μ_t, .μ1_t e .Kf_t sono definiti fenomenologicamente, in analogia al modello .K − ε, ma devono essere espressi in termini dei momenti secondari delle fluttuazioni di .v e .q. Questo approccio permette di ottenere le equazioni evolutive per .v e .q, che, pur essendo più complesse, hanno una struttura simile a quella del caso classico. L'introduzione di nuovi parametri turbolenti come .ν_t, .μ_t e i loro corrispondenti coefficienti consente di descrivere con maggiore precisione gli effetti della turbolenza, che ora coinvolgono anche le fluttuazioni di altre variabili fisiche.

Inoltre, è fondamentale notare che, in un sistema di turbolenza superfluida, i coefficienti che descrivono la dissipazione, come .ε e .εq, sono correlati ai gradienti delle fluttuazioni di .v′ e .q′, il che rende l'analisi più complessa rispetto al caso classico. Le evoluzioni di queste quantità devono essere trattate con particolare attenzione, poiché i termini che coinvolgono .ν_t e .μ_t si accoppiano in modo non lineare, creando nuove sfide nella chiusura del sistema di equazioni.

Le equazioni evolutive per .K, .ε, .Kq ed .εq, sebbene basate su un approccio fenomenologico, forniscono una rappresentazione utile per simulazioni numeriche e per comprendere i fenomeni che emergono in sistemi turbolenti, siano essi fluidi classici o superfluidi. Tuttavia, l'espressione di questi parametri in termini delle grandezze medie richiede una costante validazione sperimentale, che permetta di determinare le costanti dimensionless, come .Cν, .Cμ, e altri, che sono essenziali per il funzionamento del modello.

La comprensione dei modelli turbolenti, in particolare l'equilibrio tra i momenti e la loro chiusura, è cruciale non solo per lo studio della turbolenza in sé, ma anche per applicazioni pratiche come la simulazione dei flussi in sistemi complessi, l'analisi della dissipazione dell'energia in sistemi fluidi e la progettazione di dispositivi che dipendono da tali fenomeni.

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