Hogyan kapcsolódnak a mozgásegyenletek, szimmetriák és a Ward-identitás a kvantumelméletben?

A kvantummechanikában a mozgásegyenletek és a szimmetriák közötti kapcsolatot a legáltalánosabb formában az operátoros mozgásegyenletek és a kanonikus kommutációs szabályok segítségével vizsgáljuk. Az alábbiakban három példát mutatunk be, amelyek bemutatják, hogy a kvantummechanikai szimmetriák hogyan befolyásolják a rendszerek viselkedését, és hogyan kapcsolódnak azok a megfigyelhető fizikai mennyiségekhez.

A legelső példában, amikor az operátoros mozgásegyenletek és a kanonikus kommutációs szabályok alkalmazásáról van szó, figyelembe vesszük a dinamikai változók, $q_i(t)$ infititezimális eltolódását, azaz $\delta q_i(t) = \eta_i(t)$ . Az ehhez tartozó variációk vezetnek a következő összefüggésekhez:

\frac{\partial \delta L}{\partial q_i} = \eta_i F^i(t) + \dot{\eta}_i(t) p_i(t),

ahol $p_i(t)$ a konjugált impulzus és $F^i(t)$ az i-edik komponens erője. Ebből az összefüggésből elérhetjük a következő eredményt, amely összekapcsolja a kvantummechanikai operátorokat:

\int dt \, \eta_i(t) \langle 0 | T \, p_i(t) \, q_{i1}(t_1) \cdots q_{in}(t_n) | 0 \rangle \hbar = \int dt \, \eta_i(t) \langle 0 | T \, F^i(t) \, q_{i1}(t_1) \cdots q_{in}(t_n) | 0 \rangle.

Ezt követően, ha figyelembe vesszük, hogy $\eta_i(t)$ végül 0-ra tart végtelenben, és az integrált részleges deriválás után újraszervezzük a kifejezéseket, akkor a következő eredményt kapjuk:

\int dt \, \eta_i(t) \, \frac{d}{dt} \langle 0 | T \, p_i(t) \, q_{i1}(t_1) \cdots q_{in}(t_n) | 0 \rangle \hbar.

Ez a kifejezés az operátorformájú mozgásegyenleteknek felel meg, melyek biztosítják, hogy a konjugált impulzusok és erők kapcsolatba lépnek az operátorokkal, és következésképpen leírják a rendszer dinamikáját. Az eredmények alapját képezi annak, hogy a mozgásegyenletek helyesek és érvényesek az operátoros kvantummechanikai formában, és az erők komponenst a Lagrange-függvény által határozottak.

A szimmetriák kapcsán egy másik fontos aspektus a transzlációk időben és térben. A szimmetriák gyakran kapcsolódnak a fizikai rendszerek invarianciájához, amelyek például azt biztosítják, hogy a rendszer viselkedése nem változik, ha időben vagy térben eltoljuk azt. Ilyen szimmetria például az időbeli transzláció, amikor a Lagrange-függvény nem változik, ha a rendszert egy $\delta g q_i$ típusú eltolódással módosítjuk.

Amikor az ilyen szimmetriák változásait vizsgáljuk, és a kvantummechanikai leírást alkalmazzuk, elérhetjük azt az összefüggést, amely a J generátort bevezeti, amely felelős az eltolásokért. A generátor az eltolások operátorával való kapcsolatban írható le a következő formában:

J_g(t) q_i(t) + J_g(t) = q_i(t) + \delta g q_i(t),

ahol a generátorok és az eltolások közötti kapcsolatot az időbeli transzlációkban és a megfelelő szimmetrikus változásokban találjuk. A kommutációs szabályok, mint például:

[J_g(t), q_i(t)] = -i \hbar \delta g q_i(t),

megerősítik, hogy a generátor az eltolásokat vezérli, és ezek a kvantummechanikai szimmetriák összekapcsolódnak a rendszerek viselkedésével.

Fontos, hogy a szimmetriák és az operátoros mozgásegyenletek kapcsolata alapvető szerepet játszik a kvantumelméletben. Az időbeli és térbeli transzlációk szimmetriái lehetővé teszik a rendszerek konzerválásának megértését, és biztosítják, hogy a kvantumelméleti leírások összhangban legyenek az alapvető fizikai törvényekkel. A Noether-tétel segítségével az eltolások generátorai és az azokhoz kapcsolódó kvantumoperátorok a konzerválódó mennyiségek megértéséhez vezetnek.

A fentiekből világosan látszik, hogy a mozgásegyenletek és szimmetriák összefonódnak, és segítenek abban, hogy a kvantummechanikai rendszerek viselkedését pontosabban leírjuk és megértsük. A szimmetriák konzerválódó mennyiségeket generálnak, és ezek a kvantumelmélet alapvető pillérei.

A kvantum-színtézis tételének érvényesülése és a szellemföldek szerepe a QCD-ben

A kvantum-mechanikában, amikor a kvantált mezőelméleteket dolgozzuk fel, egy kulcsfontosságú jelenség, amely elkerülhetetlenül felmerül, az a szellemföldek szükségessége. A szellemföldek, amelyek gyakran negatív metrikával rendelkeznek, nem teljesítik a színtetikai tételt, így nem szerepelhetnek a külső állapotokban. Ezen okok miatt a kvantummechanikában "szellemekként" ismertek. Mint ahogyan azt az 14.3. fejezetben láthattuk, a szellemföldek szükségessége nem csupán a Faddeev és Popov elméletéből ered, hanem egy alapvető lépésként szükséges a QCD gaugek fixálásához, amikor a Feynman integrált alkalmazzuk. A Feynman-gauge-ban a Faddeev-Popov szellemföldek valójában a skalaris mezők, amelyeket Feynman javasolt az amplitúdók unitaritásának visszaállítására.

Feynman érvelése világos fizikális alapot ad a Faddeev és Popov elméleti érveinek. Az analízis során vegyünk egy egyszerű példát, amely a fermion-antifermion annihiláció során két gluon közbenső állapotához kapcsolódó diszkontinuitást tárgyalja: $u + \bar{u} \rightarrow u + \bar{u}$ . A diszkontinuitás kiszámításához először célszerű összesíteni a teljes amplitúdók tagjait, vagyis $u + \bar{u} \rightarrow gluon + gluon$ és $gluon + gluon \rightarrow u + \bar{u}$ , majd ezeket követően kiszámolni a diszkontinuitást.

Az $u + \bar{u} \rightarrow gluon + gluon$ amplitúdót a következő diagrammok jellemzik (A), (B) és (C), amelyek a 16.3. ábrán találhatók. Az amplitúdó kifejezése a következőképpen írható fel:

M^{\mu\nu} \lambda_A^i \lambda_B^{AB}(q_1, q_2) = \overline{v}(p^+)(-ig) \gamma^\mu (-ig) \gamma^\nu u(p^- - \frac{2}{p^- } - \frac{q}{2}) + \overline{v}(p^+)(-\lambda_i ig) \gamma^\mu (-\lambda ig) \gamma^\nu u(p^- - \frac{2}{p^- } - \frac{q}{2})

A képlet tartalmazza a három-gluon vertexet is, amelyet a 14.51-es egyenlet ír le. Ez az elemzés alapvetően a kvark-antifermion annihiláció leírásához szükséges diszkontinuitást mutatja, és segít megérteni, hogyan kell azokat a mezőelméletekben ábrázolni.

A következő relációk az amplitúdókat jellemzik:

M^{\mu\nu}_1(q_2) = (-ig)^2 f^{ABC} q_2^\nu (q_1)^\mu /q_2^2

Ez egy egyszerűsített kifejezés, amely a fenti amplitúdók alapján következik. Az analízis során a Feynman-gauge-ban való alkalmazás szintén fontos szerepet kap, amely segít a diszkontinuitás helyes kezelésében és a különböző hozzájárulások megfelelő figyelembevételében.

A diszkontinuitás egy másik fontos aspektusa a szellemföldek hozzájárulása. Ahogy a 16.4-es ábra is mutatja, a szellemföldek közbenső állapotának hozzájárulása elengedhetetlen ahhoz, hogy a fermion-antifermion annihiláció amplitúdója megfeleljen az unitaritásnak. Ezt a hozzájárulást a következő diszkontinuitás figyelembevételével számoljuk ki:

\Delta_{ghost} = - \frac{g^4}{32\pi^3 q_2^2} j_A j_A^*

Ez az eredmény világosan mutatja, hogy a szellemföldek hozzájárulása alapvetően szükséges a rendszer megfeleléséhez a kvantumelméletben, és ez a hozzájárulás végső soron megoldja az unitaritás problémáját.

A szellemföldek szerepe nem csupán elméleti érdekesség, hanem a fizikai rendszerek pontosabb leírásához is elengedhetetlen. Ezért különösen fontos, hogy a kvantummező-elméletekben a szellemföldekre vonatkozó számításokat és azok hatásait pontosan vegyük figyelembe, hogy az amplitúdók ne veszítsenek el unitáriás tulajdonságaikat.

Végül, amikor a QCD-ban való alkalmazásukról van szó, elengedhetetlen, hogy tisztában legyünk a szellemföldek elméleti alapjaival, és megértsük, hogyan befolyásolják a fizikai reakciókat, mint például a fermion-antifermion annihilációs folyamatokat. A szellemföldek tehát nem csupán matematikai formalizmusok, hanem alapvető elemei a fizikai elméleteknek, amelyek biztosítják azok koherenciáját és érvényességét.

Hogyan viselkednek a mezők és kölcsönhatások a renormalizált potenciálban?

A mezők és kölcsönhatások renormalizációja egy rendkívül összetett téma, amely a részecskefizika alapvető kérdései közé tartozik. A potenciálok viselkedését magas energiákon, különösen a mezők elméleti modellezésén keresztül vizsgálhatjuk, miközben figyelembe vesszük a renormalizálás és a természetesség elveit. Az ilyen típusú analízis során figyelembe kell venni a különböző kölcsönhatásokat és azok hatását a rendszerekre, hogy végül a kísérletekben mért értékekhez hasonlóan, megfelelő fizikai eredményeket kapjunk.

A mezők és az interakciók viselkedését a renormalizált potenciál általános kifejezésével modellezhetjük, ahol különböző hatások, mint például a skálázás és a kölcsönhatások ereje, meghatározzák a végső megoldásokat. Az effektív potenciál ezen belül a kvantumtérelméleti számításokban a következő formát ölti:

\delta \Gamma = -\frac{g^4}{16 \pi^2} \cdot M_t(\phi)^2 \phi^4 \log \left( \frac{1}{\mu^2} \right)

Ez a kifejezés a renormalizációs csoport egyenleteihez vezet, amelyek alapvetően leírják a kölcsönhatások változását magas energia szinten. Az effektív potenciál számítása során az egyes részecskék tömegei és kölcsönhatásai, mint a $\phi$ mezők és a kvarkok, mind hatással vannak a végső eredményekre. Az ezen analízis során végzett számítások kulcsszerepet játszanak abban, hogy hogyan kezelhetjük az ilyen típusú kölcsönhatásokat és azok hatásait a modellekben.

Amikor a mezők közötti kölcsönhatásokat és az effektív potenciált vizsgáljuk, elengedhetetlen, hogy figyelembe vegyük a skálázási hatásokat is. A magas energia hatására a kölcsönhatások ereje változhat, és a renormalizációs csoport egyenletei segítenek ennek megfelelő modellezésében. Az effektív potenciál kifejezésében az alábbi formát találjuk, amely bemutatja a mezők és kölcsönhatások közötti összefüggéseket a magas energiákon:

V(\phi) = \frac{\lambda(\mu)}{24} \cdot \phi^4

Ez a forma magában foglalja a renormalizált kölcsönhatások és a meződimenziók függőségét, amely segít a különböző interakciók pontos leírásában.

A fenti képletek és számítások alkalmazása során figyelembe kell venni, hogy a renormalizált potenciálok skálázása hogyan befolyásolja a kölcsönhatások mértékét és hatását a rendszer viselkedésére. A megfelelő renormalizálás érdekében a különböző hatások, mint például a normálási tényezők és a különböző kölcsönhatások, szükségessé teszik a további korrekciók alkalmazását a képletekben. A standard modellben megjelenő kiegészítő diagramok figyelembevétele, amelyek irreducibilis és reducibilis típusúak, alapvető ahhoz, hogy a végső potenciál megfelelően viselkedjen a különböző mezőkonfigurációkban.

A kutatás során felmerülő problémák közé tartozik az, hogy hogyan lehet pontosan mérni a különböző mezők hatásait a kölcsönhatásokra, és hogyan érdemes figyelembe venni az egyes energia- és mezőskálák közötti átváltásokat. A mezőelmélet és a renormalizációs folyamatok alapos megértése alapvető fontosságú a természetes potenciálok helyes leírásában, hiszen a nem megfelelő renormalizálás torzíthatja a számításokat és hibás eredményekhez vezethet.

Fontos továbbá figyelembe venni, hogy a renormalizált potenciálok és a különböző kölcsönhatások közötti összefüggések nemcsak az elméleti modellek szintjén, hanem kísérleti megfigyelések során is kulcsfontosságúak. A renormalizált potenciálok és a mezők kölcsönhatásainak részletes megértése segíthet a jövőbeli fizikai kutatásokban, különösen a nagyenergiás fizika területén, ahol a kölcsönhatások és a potenciálok viselkedése új lehetőségeket nyithat meg.

Hogyan alkalmazható a mezőelmélet kvantummechanikai rendszerekben?

A korábbiakban ismertetett eljárás, amelyet egyetlen szabadságfokú rendszerre alkalmaztunk, könnyedén kiterjeszthető a véges számú szabadságfokú rendszerre is. Az eredmények közvetlenül alkalmazhatók egy n szabadságfokú rendszerre, amennyiben figyelembe vesszük, hogy a $q$ jelölést vektorként kell értelmezni, amely $n$ komponenssel rendelkezik, tehát $q = \{ q_1, q_2, \dots, q_n \}$ . Például egy Green-függvény definiálható így:

G_{k1,k2,\dots,kN}(t_1, t_2, \dots, t_N) = \langle 0 | T[q_{k_1}(t_1) q_{k_2}(t_2) \dots q_{k_N}(t_N)] | 0 \rangle

A "útvonal" fogalma az $q_k(t)$ vektorok $t_1$ -től $t_2$ -ig terjedő trajektóriáját jelenti, vagyis az $t_1 \geq t \geq t_2$ intervallumban lévő $q_k(t)$ függvények halmazát. Ezen fogalmakat a mezőelmélet területére is át lehet vinni, legalábbis formálisan.

A példát a valós skaláris mező, $\phi(x,t)$ , vizsgálatával bővíthetjük, ahol a Lagrangián $L$ a Lagrangián sűrűség integrálja, és az akció $S$ a Lagrangián idő szerinti integráljaként van meghatározva:

L = \int d^3x L(\phi, \partial_\mu \phi), \quad S = \int dt L = \int d^4x L(\phi, \partial_\mu \phi)

Ezt a rendszert egy olyan mezőként képzelhetjük el, amely egy rácsot képező pontokon van meghatározva, ahol a pontok közötti távolság $a$ , a rács távolsága, és a rács egy $L$ oldallal rendelkező kockát fed le. A kettős határértéket ( $a \to 0, L \to \infty$ ) kell alkalmaznunk, hogy átmenjünk a folytonos mezőelméletbe. Az egyes $a$ értékekhez az $L$ -nek véges számú pontja van, $n = (L/a)^3$ , és a mező a $n$ dinamikai változóval $\phi_k(t) = \phi(x_k, t)$ van leírva.

A diszkrét változattal írhatjuk az akciót így:

S = \int dt \, a^3 \sum_k L[\phi(x_k, t), \partial_\mu \phi(x_k, t)]

A rácson leírt mező fogalma és a folytonos határ felé való átmenet hasznos lehet a mezőelmélet formális meghatározásához, de számítások végzésére is alkalmazható, például Green-függvények számítására. Ebben az esetben hasznos lehet, ha az időt diszkrét változóként kezeljük, amint azt az 2.2. szakaszban említettük.

Összegzésül elmondható, hogy a mezőelmélet egy olyan határértékként felfogható, amely sok szabadságfokú rendszert tartalmaz, és a megfelelő kvantumelméletet a pályák összegzése révén lehet meghatározni. A "pálya" itt fix $a$ és $L$ értékek mellett a releváns időintervallumban érvényes $\phi_k(t)$ függvények halmazát jelenti. Az $a \to 0, L \to \infty$ határértékek alkalmazása révén ez a halmaz a $\phi(x,t)$ függvényt adja minden $x$ és $t$ értékre az adott intervallumban.

A konvergencia bizonyítása szükséges, de ezt általában nem lehet általánosan megtenni, kivéve a legegyszerűbb esetekben, mint a szabad mezők és néhány más példa. Az interakciós mezők esetében szükséges a perturbációs elmélet alkalmazása, amelyet később tárgyalunk. Itt látni fogjuk, hogy egy alapvető lépést képez a renormalizációs eljárás, amely elengedhetetlen a divergenciák eltávolításához – vagy inkább értelmezésükhöz – a kis távolságok határértékénél, amikor $a \to 0$ .

Ezek után minden, amit az előző szakaszban mondtunk, közvetlenül alkalmazható a mezőelméletre is. Például a N-pontos Green-függvény definiálható így:

G(x_1, x_2, \dots, x_N) = \langle 0 | T[\phi(x_1)\phi(x_2) \dots \phi(x_N)] | 0 \rangle

Ahol $|0 \rangle$ a vákuumállapotot jelöli, és $x_k$ a négyes vektort $(x_k, t_k)$ jelöli. Ahogyan a véges dimenziós esetben, itt is kifejezhető funkcionális integrál formájában:

G(x_1, \dots, x_N) = \frac{\int d[\phi(x)] \exp(iS) \phi(x_1) \dots \phi(x_N)}{\int d[\phi(x)] \exp(iS)}

Ahol $d[\phi(x)]$ a mező függvényeinek terében vett mérést jelenti. Ez a kifejezés is határértékként értelmezendő, ahogyan az a 2.6 szakaszban is látható, ahol az integrál az összes $\phi(x,t')$ függvényre kiterjed, ahol $t'$ az intervallumban lévő időpontok.

Fontos, hogy amikor komplex mezőkről beszélünk, azokat két valós mezőként is kezelhetjük. Az összetett mező, $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_1 + i\phi_2)$ és annak Hermitikus konjugáltja $\phi^{\dagger}(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_1 - i\phi_2)$ segítségével egyszerűsödnek a Green-függvények számításai. Így a Green-függvények a mezők lineáris függvényei lesznek, amit a pályaösszegzésből származó definíciók is biztosítanak.

Ezenkívül a generáló funkcionális eszközeinek alkalmazása lehetővé teszi a Green-függvények egyszerű, tömör formában való kifejezését, különösen több szabadságfokú rendszer esetén. A generáló funkcionális $Z[J]$ definiálható a következő formában:

Z[J] = \int d[q(t)] \exp\left(iS(q(t)) - i \sum_k \int dt \, q_k(t) J_k(t)\right)

Ez az eszközkészlet kiterjeszthető komplex mezőkre és számos más, több szabadságfokú rendszerre is, amely lehetővé teszi a mélyebb és részletesebb kvantumelméleti vizsgálatokat.

Miért fontos a tények ellenőrzése a politikában?
Mi motiválja a magányos farkasokat? A jobb- és baloldali radikalizmus pszichológiája és ideológiai alapjai
Hogyan értelmezzük Trump és Abe kapcsolatát és a Koreai-félsziget politikai helyzetét?
Hogyan oldja meg a Fourier-analízis a diffúziós egyenletet?
A digitális bűnözés hatásai és a társadalmi kontroll új formái
Hogyan viszonyul a tudás és meggyőzés egymáshoz Hobbes filozófiájában?