A diffúziós egyenlet megoldása a Fourier-féle módszer alkalmazásával jelentős előrelépést hozott a fizikai rendszerek modellezésében. Fourier, a híres francia matematikus, azt javasolta, hogy a megoldás egy olyan szorzat formájában fejezhető ki, amelyben az egyik tényező csak a helytől, a másik pedig csak az időtől függ. Ezt figyelembe véve a következő formátumot feltételezte: c(x,t)=f(x)g(t)c(x, t) = f(x)g(t).

Mihelyt ezt a feltételezést a diffúziós egyenletbe helyettesítjük, az alábbi egyenletet kapjuk:

1g(t)dg(t)dt=Dd2f(x)dx2⋅1f(x)\frac{1}{g(t)} \frac{dg(t)}{dt} = D \frac{d^2f(x)}{dx^2} \cdot \frac{1}{f(x)}

A fenti egyenlet bal és jobb oldalának egyenlősége azt jelenti, hogy mindkét oldalnak azonos konstansot kell adnia. Ezt a konstansot λ2D\lambda^2 D-nek nevezzük, és így két különálló differenciálegyenletet kapunk:

dg(t)dt+λ2Dg(t)=0\frac{dg(t)}{dt} + \lambda^2 D g(t) = 0
λ2f(x)=0\lambda^2 f(x) = 0

A bal oldali egyenlet megoldása azonnal adódik, és g(t)=ce−λ2Dtg(t) = c e^{ -\lambda^2 D t}-t kapjuk, míg a jobb oldali egyenlet megoldása f(x)=bcos⁡[λ(x−α)]f(x) = b \cos[\lambda(x - \alpha)], ami könnyen ellenőrizhető. Így a differenciálegyenletre egy különleges megoldásként az alábbi kifejezés adódik:

c(x,t)=Acos⁡[λ(x−α)]e−λ2Dtc(x, t) = A \cos[\lambda(x - \alpha)] e^{ -\lambda^2 D t}

Mivel a diffúziós egyenlet lineáris, bármely két megoldás összege szintén megoldás lesz. Ezért az általános megoldást úgy adhatjuk meg, mint egy integrált, amelyben λ\lambda értékekre integrálunk 0-tól végtelenig. Az integrálás során a A(α)A(\alpha) függvényt választjuk, amely minden α\alpha-hoz rendel egy tetszőleges értéket. Ezáltal minden lehetséges AA értéket be tudunk vonni az integrálba. Az általános megoldás tehát az alábbi integrál formájában adódik:

c(x,t)=∫−∞+∞∫0+∞A(α)cos⁡[λ(x−α)]e−λ2Dtdλdαc(x, t) = \int_{ -\infty}^{+\infty} \int_0^{+\infty} A(\alpha) \cos[\lambda(x - \alpha)] e^{ -\lambda^2 D t} d\lambda d\alpha

Ez az általános megoldás végtelen sokféle formát ölthet az A(α)A(\alpha) tetszőleges választása miatt, de a megfelelő határfeltételek figyelembevételével csak egyetlen megoldásra szűkíthető. Először feltehetjük azt a határfeltételt, hogy ismerjük a koncentráció eloszlását az idő t=0t = 0 pillanatában, és ezt φ(x)\varphi(x)-ként adjuk meg. Ez azt jelenti, hogy t=0t = 0-nál az c(x,t)c(x, t) koncentrációs eloszlásnak pontosan meg kell egyeznie φ(x)\varphi(x)-szel, tehát

φ(x)=∫−∞+∞A(α)cos⁡[λ(x−α)]dαdλ\varphi(x) = \int_{ -\infty}^{+\infty} A(\alpha) \cos[\lambda(x - \alpha)] d\alpha d\lambda

Ez a kifejezés gyakorlatilag megegyezik a Fourier-integrál tételekkel, amelyet részletesebben a 7. szakaszban fogunk tárgyalni. A Fourier-integrál tétele azt mondja, hogy két Fourier-transzformáció után ismét visszakapjuk az eredeti függvényt. Ha ezt alkalmazzuk, és A(α)A(\alpha)-t 1πφ(α)\frac{1}{\pi} \varphi(\alpha)-ként definiáljuk, akkor a következő eredményre jutunk:

c(x,t)=1π∫−∞+∞φ(α)cos⁡[λ(x−α)]e−λ2Dtdλdαc(x, t) = \frac{1}{\pi} \int_{ -\infty}^{+\infty} \varphi(\alpha) \cos[\lambda(x - \alpha)] e^{ -\lambda^2 D t} d\lambda d\alpha

Ez tehát a végső megoldás, amelyet az t=0t = 0-nál megadott koncentráció eloszlás alapján számíthatunk ki.

Amint azt az integrálásban látjuk, a megoldás idővel a Gauss-eloszlás formájában terjed ki. Ez a Gauss-eloszlás szélesedik az idő múlásával, és az inicializált koncentráció eloszlást széthúzza. A következő példában azt vizsgáljuk, hogyan terjed el a kezdetben erősen koncentrált tinta, amikor azt vízfürdőben helyezzük el. A Gauss-eloszlás egyébként mind a két-, mind a háromdimenziós esetekben alkalmazható.

A diffúzió számítása során különböző dimenziókban érdemes polar- vagy szférikus koordinátákat használni. Ha a megoldás radiálisan szimmetrikus, azaz nem függ az irányoktól, a diffúziós egyenletet egyszerűsíthetjük és könnyen alkalmazhatunk az alábbi megoldásokat a különböző dimenziókban. Két és háromdimenziós esetben a Gauss-eloszlás az alábbi formában írható fel:

c(r,t)=c0(4πDt)d/2e−r2/4Dtc(r, t) = \frac{c_0}{(4 \pi D t)^{d/2}} e^{ -r^2 / 4Dt}

ahol dd a dimenzió számát jelenti, és a normálás biztosítja, hogy az integrál eredménye egyenlő legyen 1-gyel.

A diffúzióval kapcsolatos további fontos megértés, hogy a rendszer pontos állapota nemcsak az idő függvényében változik, hanem a környezethez való interakciók eredményeként is. A szélesedő Gauss-eloszlás valójában a rendszer energiatárolásának és eloszlásának változásait tükrözi, miközben a rendszer elér egy dinamikai egyensúlyt. A diffúzió nemcsak a koncentráció terjedését, hanem a szomszédos rendszerekkel való kölcsönhatásokat is leírja, amelyek a valós életben sokszor nem is láthatóak, mégis jelentős hatással vannak a végeredményre.

Miként határozzák meg a hosszú láncú molekulák és a sejtváz mechanikája az élő rendszerek működését?

A biológiai rendszerekben a hosszú láncú molekulák és rúd-szerű struktúrák mechanikája alapvető szerepet játszik az információ tárolásában, a sejtek alakjának és stabilitásának fenntartásában, valamint a sejtek mozgásában és környezeti interakcióiban. Az egyik legjellegzetesebb példa a DNS, amely akár öt centiméter hosszú is lehet, ha kiterítve vizsgáljuk az emberi sejtmagban, ahol 46 kromoszóma tárolja a genetikai információt. E hosszú molekulák kompakt elhelyezése a sejtmagban a nukleoszómák révén valósul meg: ezek histon fehérjékből álló komplexek, melyek köré a DNS szálak feltekerednek, így teszik lehetővé az információ tömör, mégis hozzáférhető tárolását. A DNS lokális hajlíthatósága döntő jelentőségű a kromatin szerkezetének kialakulásában, és hasonló mechanikai elvek érvényesülnek vírus kapszidok csomagolásánál is, ahol nagy mennyiségű genetikai anyagot kell korlátozott térben elhelyezni.

A sejt mechanikai stabilitását, alakját és mozgását a citoszkeleton három fő, rúd-szerű szerkezete biztosítja: az aktin filamentumok, az intermedier filamentumok és a mikrotubulusok. Ezek a fehérjealapú szálak hasonló felépítésű polimerekből állnak, amelyeknek a mechanikai tulajdonságai minden képződési fázisban kulcsfontosságúak. Az egyes aminosav láncok – amelyek önmagukban egy-egy polimer – térbeli szerkezete, a helyi csavarodási és hajlítási képessége alapvetően meghatározza az összetettebb struktúrák kialakulását. Amennyiben ezek a láncok nem lennének képesek bizonyos mértékű lokális hajlításra és csavarodásra, a globuláris fehérjék nem jöhetnének létre, és a láncok kizárólag kinyúlt formában léteznének.

Az aktin filamentumok az egyik legvékonyabb és legdinamikusabb komponensei a citoszkeletonnak, átmérőjük mindössze 6 nm. A globuláris aktin (G-aktin) mintegy 375 aminosavból álló fehérje, amely ATP kötésére képes, és polimerizáció után kialakítja a szálas aktint (F-aktin). Az F-aktin egy balkezes helix szerkezet, amely 13 molekulánként ismétlődő, jobbkezes kettős helix illúzióját kelti. Ezek a filamentumok hálózatokat alkotva alapvetőek a sejt alakjának fenntartásában, az izomsejtek kialakulásában, valamint a sejtmozgásban. Dinamikus természetük lehetővé teszi a folyamatos polimerizációt és depolimerizációt, amely nélkülözhetetlen a sejt környezetéhez való alkalmazkodásban és a mozgásban. Az aktin szálak például képesek körülvenni és lezárni olyan sejt közötti járatokat, amelyeket kórokozók toxinjai indukálnak, így megvédve a sejtet.

Az intermedier filamentumok vastagságuk (8–12 nm) miatt a citoszkeleton középső komponenseinek számítanak, szerkezetük heterogén, többféle altípussal, melyek között megtalálhatók a keratinok, vimentinek és laminok is. Ezek a filamentumok alapvető szerepet játszanak a sejt és a sejtmag mechanikai integritásának megőrzésében, mivel képesek jelentős mechanikai terhelések, feszítések és csavaró erők elviselésére, amelyek az aktin és mikrotubulus filamentumok esetében kevésbé jellemzőek. Szerkezetileg a monomerek koilos-csavarodott dimereket képeznek, amelyek aggregációjával a nagyobb, stabilabb filamentumok jönnek létre, ezzel biztosítva a sejt mechanikai ellenállását.

A mikrotubulusok szintén fontos mechanikai elemei a citoszkeletonnak, amelyek szintén polimer fehérjékből épülnek fel, és többek között intracelluláris szállítást és sejtmozgást segítik elő.

Fontos megérteni, hogy ezen láncok és szálak mechanikája nem csupán statikus jellemző, hanem folyamatosan változó, dinamikus állapot, amely nélkülözhetetlen a sejtek funkcionális adaptációjához és túléléséhez. A lokális hajlítási, csavarodási és aggregációs képességek, valamint a kapcsolódó fehérje-interakciók együttesen határozzák meg az élő szervezetek bonyolult működését, és a sejtek alkalmazkodóképességét a változó környezethez. Az ilyen mechanikai jellemzők mélyebb megértése nemcsak az alapkutatásokban, hanem az orvosi és biotechnológiai alkalmazásokban is kulcsfontosságú, például a vírusok sejten belüli viselkedésének modellezésében vagy a sejtek mechanikai tulajdonságainak célzott manipulációjában.

Miért fontos a megfelelő távolság a sugárzás forrása és a beteg bőre között a röntgenfelvételezés során?
Hogyan magyarázhatók a Lemaître–Tolman geometriák és a kékeltolódás jelenségei?
Mi az a vékonybélbeli bakteriális túlnövekedés, és hogyan diagnosztizálható?