Hogyan magyarázhatók a Lemaître–Tolman geometriák és a kékeltolódás jelenségei?

A Lemaître–Tolman (L–T) geometriák olyan kozmológiai modellek, amelyek a táguló univerzumok inhomogenitásait és szingularitásait vizsgálják. Az ilyen típusú modellek különös figyelmet igényelnek, mivel a hagyományos Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) modellekhez képest sokkal bonyolultabb viselkedést mutatnak. A L–T modellek alkalmazásával kapcsolatos egyik legérdekesebb és legnehezebben értelmezhető jelenség a kékeltolódás (blueshift). Ez a jelenség szoros kapcsolatban áll a geodézikák mentén történő fénykibocsátással és annak észlelésével, különösen akkor, amikor a fényforrás a szingularitás közelébe kerül.

A kékeltolódás elméletének alapvető megértése elengedhetetlen a L–T modellek érvényességi körének tisztázásában. A kutatók, mint például Szekeres (1980) és Hellaby & Lake (1984), már korábban megemlítették, hogy a kékeltolódás végtelensége akkor fordul elő, ha a fényút valóban radikális, vagyis ha a fény egyenesen a szingularitás felé halad. Azonban egy másik szükséges feltétel, amit Hellaby és Lake figyeltek meg, az az, hogy a fényút valóban radikálisan irányuljon, és ne legyen szögletes elhajlás, különben a kékeltolódás nem válik végtelenné.

A megfelelő paraméterek figyelembevételével, és a kékeltolódás paraméterének részletes vizsgálatával, mint a geodézikákra vonatkozó egyenletek (18.134–18.137), megérthetjük a fény terjedését a L–T geometrákban. Az egyenletek segítségével pontosan meghatározhatók azok a kritikus pontok, ahol a fényút radikálisan irányul a szingularitás felé, és ahol a kékeltolódás eléri a végtelenséget. A következő számítások és megfigyelések pontosítják ezt a jelenséget, és igazolják, hogy a radikális geodézikák végpontján valóban végtelen kékeltolódás léphet fel.

Bár a kékeltolódás elméleti modelljei a L–T geometriákban tisztán matematikai szinten jól dokumentáltak, a valós világban az ilyen típusú jelenségeket nem lehet közvetlenül megfigyelni. Az univerzumban, a nagy-bumm utáni első ~380,000 évben az anyag egy átlátszatlan plazmaformában létezik, amely nem engedi át a fényt. Az első, bármilyen megfigyelhető fény, amely egy megfigyelőhöz elérhet, a CMB (kozmikus mikrohullámú háttér) sugárzás, amely az utolsó szóródási (LS) korszakban keletkezett. Így az, hogy közvetlenül megfigyelhessük a kékeltolódás végtelen értékét a L–T modellekből, nem valóságos, és a modellek csak az általános kozmológiai értelmezés szempontjából hasznosak. A CMB sugárzás és az abból származó kékeltolódás csak akkor lenne észlelhető, ha a fényforrás a kora-univerzumban található objektumok köréhez közel helyezkedik el, ahol a kékeltolódás mértéke véglegesen végtelenné válik.

Fontos megemlíteni, hogy a L–T modellekben a kékeltolódás nem mindig egy monotonikus függvény a fényúton, és hogy a fényforrás előre történő eltolása változásokat okozhat a z értékében. Amikor a fényforrást egy adott fényúton távolítják el a megfigyelőtől a múlt felé, z növekedhet először, majd csökkenhet, akár negatív értéket is elérhet, majd ismét nőhet, és végül végtelen nagy értékre nőhet a szingularitás közelében. Ez a viselkedés a Szekeres modellekben is megfigyelhető, és alapvető fontosságú megérteni, hogy a fényeltolódás a L–T geometriákban nem mindig lineáris.

A kékeltolódás ezen bonyolult mintázatainak értelmezése, és azok alkalmazása a kozmológiai modellek megértésében segít a kozmikus evolúció alaposabb megértésében, valamint a nagy-bumm utáni fejlődés pontosabb leírásában. Ahogyan a radikális és nem radikális fényutak közötti eltérések is fontosak, úgy a kékeltolódás viselkedése is alapvető fontosságú a szingularitások és az univerzum szerkezetének mélyebb megértéséhez. A jövőbeni kutatások és szimulációk tovább tisztázhatják a kékeltolódás és a L–T modellek közötti kapcsolatot, valamint a kozmikus tágulás pontos mechanizmusait.

A Kerr-metrika analitikus kiterjesztése

A koordináta-patch-ek kétféle módon kiterjeszthetők: a $r > r+$ régiót először az ℓ mező mentén, majd a $k$ mező mentén. A téridő szerkezete az így létrejött patch-ekkel ábrázolható, és a kiterjesztett diagramok segítségével az egyes régiók kapcsolódásai könnyen vizualizálhatók. Az E′ és E koordináta-rendszerekben végzett kiterjesztés során először a (-1) és (-2) régiókhoz rendelhetjük a megfelelő kiterjesztéseket, majd ezeket követi a pozitív régiók kiterjesztése, mint a (+1) és (+2) régiók.

A két régió, $0''$ és $−2''$, melyek a kiterjesztett ($-1$) patch kiterjesztésével jönnek létre, szoros kapcsolatban állnak a (+1) és (+2) régiókhoz, de az analitikus kapcsolatot egy koordináta-térkép segítségével kell igazolni. Ezt az analitikus kiterjesztést a Kerr-metrika esetében különösen úgy kell kezelni, hogy az egyes kiterjesztett régiók egymásra épüljenek, és mindegyik patch valódi kiterjesztését biztosítani tudjuk.

A Kerr-metrika analitikus kiterjesztése során az $r=r+$ és $r=r−$ horizontokon való viselkedés különbsége szoros összefüggésben áll a téridő egyes régióinak továbbkiterjesztésével. A megfelelő koordináta-átalakítások segítségével, mint például a B-L koordináták, a Kerr-metrika kiterjesztése úgy érhető el, hogy a különböző patch-ek összekapcsolása zökkenőmentesen történik. Ez az analitikus kiterjesztés lehetővé teszi a jövőbeli és múltbeli régiók közötti kapcsolatokat, és a téridő egyes részeinek átjárhatóságát biztosítja.

Végül, az analitikus kiterjesztés során elért eredmények lehetőséget adnak arra, hogy a Kerr-metrika által leírt téridőt egy teljesebb formában vizsgáljuk meg. A különböző kiterjesztett régiók lehetővé teszik, hogy a gravitációs hatásokat és a téridő szerkezetét a múltból a jövőbe vezető úton folytassuk. Az ilyen típusú kiterjesztések alkalmazása a fekete lyukak és a gravitációs hullámok kutatásában kulcsszerepet játszanak, mivel lehetővé teszik a téridő-szerkezetek részletesebb és pontosabb vizsgálatát.