Az ortogonális és ortonormált bázisok közötti különbség, valamint azok alkalmazása alapvető fontosságú a lineáris algebra területén, különösen a vektorterekben végzett számítások során. Az ortonormált bázisokkal való munka jelentősen leegyszerűsíti a vektorok koordinátáinak meghatározását és a különböző problémák megoldását. Az alábbiakban részletesen bemutatjuk, hogyan építhetők fel ortonormált bázisok, és miért lehetnek előnyösek azok a lineáris algebrai feladatok megoldásában.

Először is, egy egységvektor minden esetben a körön helyezkedik el a síkban, ahol a paraméterezés x = cos(θ), y = sin(θ) formában van kifejezve, ahol θ egy szög, amely 0 ≤ θ < 2π között mozog. Ebből kiindulva a bázis első vektora a következő alakot ölti: T u1 = (cos θ, sin θ). Az ortogonális bázis második vektora pedig T u2 = (-sin θ, cos θ) vagy T u2 = (sin θ, -cos θ), mivel ez a vektor merőleges az elsőre. Tehát a R²-nek két lehetséges ortonormált bázisa van, amelyek a következőképpen néznek ki:

u1=(cos⁡θ,sin⁡θ),u2=(sin⁡θ,−cos⁡θ)u_1 = (\cos \theta, \sin \theta), \quad u_2 = (\sin \theta, -\cos \theta)

vagy

u1=(cos⁡θ,sin⁡θ),u2=(−sin⁡θ,cos⁡θ)u_1 = (\cos \theta, \sin \theta), \quad u_2 = (-\sin \theta, \cos \theta)

ahol θ 0 ≤ θ < 2π.

A bázisok ortogonalitása és normáltsága alapvető fontosságú, amikor lineáris kombinációk segítségével egy vektort szeretnénk kifejezni egy adott bázisban. Az ortogonális bázisok alkalmazása lehetővé teszi számunkra, hogy gyorsan és pontosan meghatározzuk egy vektor koordinátáit a bázis vektorokhoz viszonyítva. Ha a bázis ortonormált, akkor a vektorok koordinátáinak meghatározása szinte azonnali, hiszen egyszerű skaláris szorzatok alkalmazásával megtalálhatók. Ráadásul az ortonormált bázisok minimalizálják a számítási hibák és instabilitások lehetőségét is, ami különösen fontos a magas dimenziójú vektorterek esetén.

Tételezzük fel, hogy rendelkezésünkre áll egy ortonormált bázis a V alatti k-dimenziós altérben. Ekkor bármely vektort v ∈ V lineáris kombinációként kifejezhetjük, és a következő egyszerűsített formulát használhatjuk:

v=c1u1+c2u2+⋯+ckukv = c_1u_1 + c_2u_2 + \cdots + c_ku_k

Ahol az egyes koordináták ci=⟨ui,v⟩c_i = \langle u_i, v \rangle, azaz az uiu_i és vv közötti skaláris szorzatok adják meg a vektorok koordinátáit. A Püthagorasz-tétel szerinti normát is egyszerűen meghatározhatjuk az ortonormált bázis vektorok segítségével:

∥v∥=c12+c22+⋯+ck2\|v\| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + \cdots + c_k^2}

Ez a képlet azt mutatja, hogy a vektor hossza az ortonormált bázis vektoraihoz viszonyított koordináták négyzetösszegének négyzetgyöke. Mivel minden ortonormált bázisú vektor hossza 1, és a bázisok ortogonálisak egymáshoz, így az összes koordináta négyzetösszege pontosan megegyezik a vektor normájának négyzetével.

A gyakorlatban az ortogonális és ortonormált bázisok nagy előnye, hogy a számítások egyszerűsítése mellett csökkentik a számítási hibák kockázatát. Az ilyen típusú bázisok nemcsak egyszerűbbé teszik a vektorok lineáris kombinációját, hanem segítenek a geometriai problémák gyors megoldásában is. Képzeljünk el például egy bonyolult geometriájú rendszert, ahol több változót kell figyelembe venni. Ha egy ortonormált bázist használunk, akkor a rendszer egyes elemeit könnyen különböző irányokba projektálhatjuk, így egyszerűsítve a probléma megoldását.

Az ortogonális bázisok tehát nemcsak a számításokat teszik gyorsabbá, hanem lehetőséget adnak arra is, hogy könnyebben átlássuk a vektortér szerkezetét és a különböző vektorok közötti kapcsolatokat. Mivel a lineáris függetlenség és az ortogonalitás biztosítja, hogy a vektorok nem függenek egymástól, minden egyes bázis vektor hozzájárul egy új, független irányhoz a vektortérben, amely segíti a tér vizualizálását és a különböző lineáris műveletek végrehajtását.

A vektorok ortogonális projeciája egy másik fontos fogalom, amely a gyakorlatban gyakran előfordul. Ha egy vektort szeretnénk egy adott altérhez projekálni, akkor azt úgy érhetjük el, hogy a vektorokat az altér bázisával ortogonálisan projicáljuk. Ez az eljárás segít megtalálni a legközelebbi pontot az altérben, amely a kívánt vektorra vonatkozóan a legjobban "illeszkedik" hozzá. Az ortogonális projekciók különösen hasznosak a geometriai optimalizálásban, amikor minimalizálni kell a távolságot egy pont és egy sík vagy egy egyenes között.

Hogyan határozható meg egy vektor ortogonális vetülete egy altérre?

Az ortogonális vetítés geometriáját az alábbi ábra szemlélteti. A p és q vektorok egyértelműen meghatározottak, amint azt az alábbi 2.24-es tétel is mutatja. Továbbá, mivel ⟨v,q⟩=0\langle v, q \rangle = 0, amikor v∈Vv \in V, következik, hogy ⟨v,b⟩=⟨v,p⟩\langle v, b \rangle = \langle v, p \rangle minden v∈Vv \in V esetén. Ez a kapcsolódás rendkívül fontos, mivel bemutatja, hogy az ortogonális vetítés lényegében nemcsak a geometriai elhelyezkedést, hanem az alatta rejlő analízist is meghatározza.

Az ortogonális vetítés explicit megalkotása jelentősen egyszerűsödik, ha ortonormált bázist választunk az alaptérhez. (Az ilyen bázis létezésének bizonyítása, amely egyébként ezen az építkezésen alapul, az alábbiakban következik.) Tekintsük a következő tételt:

Tétel 2.24. Legyenek u1,…,uku_1, \dots, u_k az V⊂RnV \subset \mathbb{R}^n alaptér ortonormált bázisai. Ekkor a b vektor ortogonális vetítése az VV alaptérre az alábbi módon adható meg:

p=c1u1+⋯+ckuk,p = c_1 u_1 + \dots + c_k u_k,

ahol ci=⟨ui,b⟩c_i = \langle u_i, b \rangle, i=1,…,ki = 1, \dots, k. Továbbá a vetítés normája az alábbiak szerint alakul:

∥p∥=c12+⋯+ck2=∑i=1k⟨ui,b⟩2.\|p\| = \sqrt{c_1^2 + \dots + c_k^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{k} \langle u_i, b \rangle^2}.

Bizonyítás. Mivel u1,…,uku_1, \dots, u_k egy ortonormált bázist alkotnak, az ortogonálisan vetített vektornak egy lineáris kombinációnak kell lennie ezekből. A vetítés definíciója szerint q=b−pq = b - p ortogonális az VV alaptérre, tehát elegendő ellenőrizni az ortogonalitást a bázis vektorokkal. Az ortonormalitás miatt a következő egyenlőségek teljesülnek:

0=⟨ui,q⟩=⟨ui,b−c1u1−⋯−ckuk⟩=⟨ui,b⟩−c1⟨ui,u1⟩−⋯−ck⟨ui,uk⟩.0 = \langle u_i, q \rangle = \langle u_i, b - c_1 u_1 - \dots - c_k u_k \rangle = \langle u_i, b \rangle - c_1 \langle u_i, u_1 \rangle - \dots - c_k \langle u_i, u_k \rangle.

Mivel a bázis vektorok ortonormáltak, csak akkor nem nullák az összes szorzatok, ha i=ki = k. Ezért ci=⟨ui,b⟩c_i = \langle u_i, b \rangle, amit az 2.39-es formulával kifejezhetünk.

Egy érdekes megfigyelés, hogy az ortogonális vetítés egyenletekben szereplő együtthatók az ortonormált bázis segítségével történő vektorkifejezés egyenletével egybeesnek. Ha bb egy eleme az VV altérnek, akkor maga az ortogonális vetítés p=bp = b lenne. Ezért az ortogonális vetítés egyenlete egy speciális esetet is tartalmaz, amely az ortonormált bázisok alkalmazásával történő vektorkifejezést eredményezi.

Az ortogonális vetítés ezen kívül megoldja azt a problémát, hogy meghatározza az adott bb vektorhoz legközelebb eső vektort az VV altérben. Más szavakkal, keressük azt a v∈Vv \in V vektort, amely minimalizálja a következő távolságot:

dist(b,v)=∥b−v∥.\text{dist}(b,v) = \|b - v\|.

Tétel 2.25. Legyen V⊂RnV \subset \mathbb{R}^n egy altér, és legyen b∈Rnb \in \mathbb{R}^n. Ekkor a legközelebb eső vektor v∈Vv \in V, amely a távolságot minimalizálja, maga az ortogonális vetítése, p∈Vp \in V.

Bizonyítás. Vegyünk bármely v∈Vv \in V vektort az alaptérből. Az b=p+qb = p + q felbontás használatával a négyzetes távolság a következőképpen alakul:

dist(b,v)2=∥b−v∥2=∥b∥2−2⟨b,v⟩+∥v∥2=∥b∥2−2⟨p,v⟩+∥v∥2=∥b∥2−∥p∥2+∥v−p∥2.\text{dist}(b,v)^2 = \|b - v\|^2 = \|b\|^2 - 2 \langle b, v \rangle + \|v\|^2 = \|b\|^2 - 2 \langle p, v \rangle + \|v\|^2 = \|b\|^2 - \|p\|^2 + \|v - p\|^2.

Az első két kifejezés nem függ vv-től, ezért a minimális értéket akkor kapjuk, ha az utolsó kifejezés eltűnik, ami akkor következik be, ha v=pv = p.

Fontos, hogy az ortogonális vetítés segítségével nemcsak az adott vektorhoz legközelebb eső pont található meg, hanem az is, hogy a vetítés pontosan a szubtérben belsőleg legjobban illeszkedő vektort adja.

Példa: Tekintsük a háromdimenziós tér R3\mathbb{R}^3 síkját, amelyet két ortogonális vektor spanyol: v1=(1,−2,1)v_1 = (1, -2, 1) és v2=(1,1,1)v_2 = (1, 1, 1) alkot. Az ortogonális vetítés meghatározása során először az ortonormált bázis vektorait kell használni, és a megfelelő együtthatók kiszámításával az ortogonális vetítést kapjuk.

A távolságok és vetületek ilyen típusú alkalmazása kulcsfontosságú a lineáris algebrában, és lehetővé teszi a vektorok és altérre vetítéseik pontos geometriájának megértését.

Hogyan találhatunk információt a cégekről és a közösségi média profilok mögötti személyekről?
Miért nem működik a demokráciák finanszírozása a gazdagok előnyére?
Hogyan befolyásolták az etnikai és bevándorlási attitűdök az iowai szavazókat a 2016-os választásokon?
Hogyan alakult ki a „Battle of the Billionaires” és miért volt jelentős a WrestleMania XXIII eseményén?
A művészet varázslatos világa – Osztályfoglalkozás az örök értékekről
Ügyeleti óvodai csoportok megnyitásának szabályai a Bolseszosznovszkij járásban
Magyarázó jegyzet az általános iskola tantervéhez a Makaryev városi 2. számú középiskola számára a 2016-2017-es tanévre
Alapfokú oktatási program a szellemi fejlődésben lemaradó tanulók számára (7.1. verzió)
Uráliai kozák