Qu'est-ce qu'un produit scalaire, et comment la norme qui en découle structure-t-elle les espaces vectoriels ?

Cette construction naturelle généralise la notion de produit scalaire usuel en géométrie euclidienne. Par exemple, sur l’espace $\mathbb{K}^m$ (avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), la forme définie par $(x|y) = \sum_{j=1}^m x_j \overline{y_j}$ est le produit scalaire euclidien classique. Il établit une fondation pour mesurer les angles, les distances, et la projection de vecteurs dans cet espace.

Cette norme hérite naturellement de la positivité et de la séparation des points. Elle satisfait les axiomes fondamentaux d'une norme vectorielle : homogénéité absolue, positivité et inégalité triangulaire. Cette dernière découle directement de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et assure que l'espace vectoriel muni de cette norme est un espace normé.

On parle alors de norme induite par le produit scalaire, parfois appelée norme de Hilbert, car elle est la base des espaces de Hilbert, dont la structure géométrique est riche et bien comprise. Cette norme permet de reformuler l'inégalité de Cauchy-Schwarz en

Dans l’étude plus fine des normes sur $\mathbb{K}^m$, il est également utile de considérer d'autres normes, telles que la norme maximale $\|x\|_\infty = \max_{1 \leq j \leq m} |x_j|$ ou la norme 1, définie par $\|x\|_1 = \sum_{j=1}^m |x_j|$. Ces normes sont toutes équivalentes au sens où elles définissent la même topologie sur l’espace vectoriel : il existe des constantes $K \geq 1$ telles que

ce qui implique que les notions de convergence, continuité, et voisinage ne dépendent pas du choix précis de la norme parmi celles équivalentes. Cette équivalence des normes est fondamentale en analyse fonctionnelle car elle garantit que les propriétés topologiques d’un espace vectoriel normé sont stables sous changement de norme équivalente.

Il est crucial de saisir que la construction d’un produit scalaire et la norme qui en découle ne sont pas seulement des définitions abstraites mais encadrent la manière dont on comprend la géométrie de l’espace vectoriel, notamment les angles, distances, et orthogonalité. L’existence d’une norme induite par un produit scalaire permet aussi de définir des projections orthogonales et d’utiliser la richesse des outils géométriques et analytiques qu’offre la théorie des espaces de Hilbert.

Comment peut-on différencier des fonctions composées, inverses, et multiples fois dérivables ?

La différentiation, loin de se limiter à des fonctions élémentaires, se révèle une opération profondément structurée qui s’étend naturellement aux compositions, aux fonctions inverses, ainsi qu’aux dérivées successives. En premier lieu, la règle de la chaîne exprime la possibilité d’évaluer la dérivée d’une fonction composée $g \circ f$ en fonction des dérivées de ses constituants. Si $f : X \to K$ est différentiable en un point $a$ et $g : Y \to E$, avec $Y$ contenant $f(X)$, est différentiable en $f(a)$, alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et sa dérivée s’écrit $(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)$. Cette formule se justifie en analysant les développements locaux de $f$ et $g$ autour des points respectifs, où l’on fait intervenir des fonctions auxiliaires continues témoignant de la nature infinitésimale du reste des développements. La continuité de ces restes et leur annulation en $a$ garantissent la validité du calcul différentiel.

Au-delà de la différentiabilité ponctuelle, la notion de différentiabilité sur un ensemble parfait – c’est-à-dire un ensemble où chaque point est un point d’accumulation – permet de définir des fonctions différentiables partout sur leur domaine. Ainsi, une fonction $f : X \to E$ est dite différentiable sur $X$ si elle est différentiable en chaque point de $X$, et on appelle sa dérivée la fonction $f' : X \to E$ qui associe à chaque $x$ la dérivée en ce point.

Par ailleurs, la différentiation sur ces espaces fonctionne selon des règles classiques. La linéarité de l’opération assure que toute combinaison linéaire de fonctions différentiables l’est aussi, avec la dérivée qui se répartit selon les coefficients scalaires. La règle de Leibniz étend la différentiation au produit de fonctions, exprimant la dérivée d’ordre $k$ du produit en une somme combinatoire impliquant les dérivées de chaque facteur jusqu’à l’ordre $k$. Cette formule s’établit par récurrence et repose sur la différentiabilité de chacun des facteurs.

La maîtrise de ces résultats fondamentaux est essentielle non seulement pour le calcul différentiel classique, mais aussi pour l’analyse fonctionnelle avancée, où les espaces et les fonctions étudiés peuvent revêtir des structures plus générales, et où la différentiabilité s’étend bien au-delà des fonctions réelles à une variable. L’interprétation géométrique, les implications pour la théorie des équations différentielles, ou encore les applications en physique et en ingénierie, reposent toutes sur ces bases rigoureuses.

Il est crucial de comprendre que la différentiabilité n’est pas une propriété triviale, mais une condition qui impose une régularité fine de la fonction autour du point considéré. La continuité des dérivées successives, la non-annulation de la dérivée première pour l’inversibilité locale, et la précision dans le comportement infinitésimal des fonctions sont des éléments déterminants pour l’analyse. De plus, la différentiation multiple, bien que formellement itérative, nécessite une attention particulière quant aux domaines de définition et aux points d’accumulation pour assurer la validité de chaque étape.