UDC 539.4:624.07 CALCUL D’UNE POULIE CIRCULAIRE AVEC FIXATIONS RIGIDES AUX EXTRÉMITÉS K.F. Shagivaleev¹, D.A. Surnin¹ Université d’État Technique de Saratov nommée d’après Y.A. Gagarine, Russie, Saratov [email protected], [email protected]

CALCUL DU POULIE CIRCULAIRE AVEC FIXATIONS RIGIDES AUX EXTRÉMITÉS

Résumé. On considère une poutre de forme circulaire avec fixations rigides aux extrémités soumise à une charge perpendiculaire au plan de courbure. Des expressions analytiques sont obtenues pour déterminer les déplacements, l’angle de rotation, les efforts et le moment dans une poutre circulaire avec un angle central arbitraire.

Mots-clés : poutre, conditions aux limites, charge répartie, opérateur, image, déplacement, effort, moment.

Considérons la flexion d’une poutre circulaire ayant des fixations rigides à ses extrémités et soumise à une charge uniformément répartie perpendiculaire au plan de courbure sur une portion donnée

(1) (voir Fig. 1)

Figure 1. Schéma de calcul

Les conditions aux limites pour le mode de fixation considéré sont les suivantes : pour et :

(2)

Les désignations, les directions positives des déplacements, des efforts et des moments, ainsi que les hypothèses et les relations différentielles, sont adoptées conformément à l’ouvrage [1].
Le système de deux équations différentielles relatives aux deux fonctions principales et pour les barres circulaires est donné par [1] :

(3)

(4)

où s est le paramètre complexe, et − des constantes arbitraires.
L’image de la partie droite de l’équation (3) pour la charge considérée (1) est :

(5)

En passant des originaux aux images dans les équations (3) à l’aide de (4) et (5), on obtient un système d’équations opératorielles :

(6)

En résolvant ce système, nous trouvons :

(7)

En passant des images aux originaux dans les expressions (7) [2], nous obtenons les solutions recherchées :

(8)

Les constantes arbitraires et sont déterminées à partir des conditions aux limites en (2). En omettant les étapes intermédiaires, nous présentons les solutions sous leur forme finale :

(9)

où est la fonction unité, qui vaut 1 pour et 0 pour ;
est la fonction unité, qui vaut 1 pour et 0 pour .

Les expressions (9) sont obtenues sous une forme générale. Elles permettent de calculer une poutre circulaire pour toute position de la charge le long de la poutre et pour différentes longueurs de la zone chargée (voir Fig. 1).
Les résultats de ce travail peuvent être utilisés par les ingénieurs-concepteurs, les doctorants et les étudiants.

Bibliographie

1. Résistance, stabilité, vibrations : Manuel. T.1. Moscou : Machinostroenie, 1968. 831 p.

2. Aramanovich I.G., Lunts G.L., Elsgolts L.E. Fonctions d’une variable complexe. Calcul opérationnel. Théorie de la stabilité. Moscou : Nauka, 1968. 416 p.