L’Extension des Théorèmes de Stabilité des Systèmes Non-Linéaires : Une Exploration Approfondie

L’extension du Théorème 9.3.1 dans le sens indiqué par le Théorème 9.3.2 a été initialement comprise par Teel en 1992. Cependant, la loi de commande présentée ici repose sur une construction différente suggérée par Lin et Saberi en 1992. La preuve du Théorème 9.3.2 diffère quelque peu de celle initialement proposée dans la littérature. L’exemple contre-exemple relatif à la stabilisabilité semi-globale dans des cas plus généraux a été proposé par Sussmann en 1990. Des résultats supplémentaires et des considérations plus générales sur la réduction du domaine de stabilité asymptotique ont conduit à l’utilisation de la rétroaction à "fort gain", comme exploré par Sussmann et Kokotovic en 1991.

La Section 9.6 est entièrement consacrée à l’exposé d’un résultat remarquable des auteurs Teel-Praly en 1994. Dans cet article, les auteurs reconnaissent généreusement que leur construction utilise un résultat précédent de Gauthier et Bornhard en 1981, sur la caractérisation des systèmes dont l'état est déterminé de manière unique, en ligne, par les valeurs d’un nombre fini de dérivées de l’entrée et de la sortie. Ce travail fait écho à la suggestion de Tornambe en 1992, qui propose d’incorporer des intégrateurs dans une loi de rétroaction stabilisante afin de faciliter l’estimation de l’état, et à l’idée de Khalil et Esfandjari en 1992, qui prônent l’utilisation des saturations pour garantir la bornitude des trajectoires en présence d’observateurs à "fort gain". L’idée d'utiliser des gains d'injection de sortie élevés pour obtenir une estimation asymptotique de l'état précède la contribution plus récente et est due à Gauthier et al. en 1992.

Il est important de souligner que la robustesse de la stabilisation, la manière dont les systèmes peuvent être protégés contre des perturbations externes tout en maintenant des performances optimales, reste un sujet d’une grande pertinence dans l’ingénierie moderne des systèmes. Le concept de "fort gain" dans les rétroactions joue un rôle crucial dans la conception de systèmes capables de s’adapter à des perturbations, tout en garantissant une stabilité asynoptotique. Cependant, ces techniques doivent être manipulées avec soin car elles peuvent entraîner des effets indésirables, comme l’apparition de phénomènes de saturation ou des réponses non linéaires non désirées. La compréhension fine des dynamiques des systèmes non linéaires et la capacité à identifier les conditions sous lesquelles ces systèmes peuvent être stabilisés de manière globale ou semi-globale est indispensable pour la conception de contrôleurs robustes et adaptatifs dans des environnements perturbés.

Comment transformer un système non linéaire en un système linéaire et contrôlable à l'aide de retours d'état et de changements de coordonnées

Les équations (5.7) et (5.8) caractérisent la forme normale des équations décrivant, localement autour d'un point $x_0$, un système non linéaire avec $m$ entrées et $m$ sorties, ayant un degré relatif $\{r_1, \ldots, r_m\}$ au point $x_0$. Si $x_0$ est un point d'équilibre de la fonction $f(x)$, où $h_i(x_0) = 0$ pour tous les $i$, et si les coordonnées $0_{r+1}(x_0) = 0, \ldots, 0_n(x_0) = 0$, la forme normale obtenue est définie dans un voisinage du point $(\xi, \nu) = (0, 0)$.

Lorsqu'un système possède des équations qui ne sont pas involutives, il devient difficile de résoudre ces équations pour les coordonnées restantes $0_{r+1}, \ldots, 0_n$. C’est là que l’intuition derrière la transformation de coordonnées prend tout son sens. Si la distribution est involutive, il est possible de choisir un ensemble de coordonnées supplémentaires $0_{r+1}, \ldots, 0_n$ de manière à obtenir une équation de type $f_i = q(\xi, \nu)$, mais cela nécessite souvent de résoudre des équations différentielles partielles complexes.

La notion de zéro dynamique, qui découle directement de cette analyse, est cruciale. Elle désigne l’ensemble des dynamiques internes qui restent une fois que la sortie du système a été contraint à être nulle. Le système évolue alors sur un sous-ensemble $Z^* = \{x \in \mathbb{R}^n : L^k h_i(x) = 0, 0 < k < n - 1, 1 \leq i \leq m\}$, ce qui signifie que, sous l'effet d'un retour d'état spécifique, les trajectoires du système fermé restent confinées dans cet ensemble, définissant ainsi une dynamique interne cohérente avec la contrainte imposée.

Ce concept se prolonge naturellement dans l’étude de la linéarisation exacte par retour d'état, qui consiste à transformer un système non linéaire en un système linéaire contrôlable à l’aide de retours d’état et de transformations de coordonnées. Cela repose sur l’idée que les équations différentielles qui gouvernent le système peuvent être manipulées par des changements de coordonnées et des ajustements des entrées pour atteindre une forme linéaire. Cette approche étend aux systèmes multivariables les résultats précédemment obtenus pour les systèmes à entrée unique et sortie unique.

L’un des moyens les plus efficaces d’y parvenir consiste à définir un retour d'état où chaque entrée $u_i$ dépend à la fois de l’état $x$ du système et de nouveaux entrées de référence $v_1, \ldots, v_m$, avec des fonctions lisses $\alpha_i(x)$ et $\beta_{ij}(x)$ qui déterminent le retour d’état nécessaire pour garantir que le système puisse évoluer de manière linéaire. Ce retour d'état, défini dans l'équation (5.13), permet de transformer la dynamique non linéaire en une dynamique contrôlable et linéarisée.

L’approche que nous avons décrite permet de résoudre le problème de la linéarisation exacte d’un système multivarié en appliquant un retour d’état adapté, ce qui simplifie considérablement l’analyse et le contrôle de ces systèmes complexes.

Comment déterminer et exploiter les distributions localement invariantes contrôlées dans la théorie géométrique du retour d’état

Une distribution $\mathcal{A}$ est dite localement contrôlée invariante si, en chaque point $x$ d’un ouvert $U$, il existe un voisinage $U^\circ$ où $\mathcal{A}$ demeure invariante sous l’action d’une rétroaction d’état adéquate. Cela implique l’existence d’une paire de fonctions de rétroaction $(\alpha, \beta)$ satisfaisant des inclusions spécifiques sur les champs de vecteurs associés. La notion se traduit géométriquement par une condition sur l’invariance de la distribution $\mathcal{A}$ enrichie par la distribution engendrée par les champs d’entrée $\mathcal{G} = \mathrm{span}\{g_1, \ldots, g_m\}$.

L’analyse s’approfondit par la construction d’une distribution $\mathcal{K}$, définie localement comme l’image de la matrice identité de dimension $d$, permettant d’étudier la structure locale des distributions. Sous l’hypothèse que la somme $\mathcal{K} + \mathcal{G}$ ait une dimension constante, on démontre qu’il est possible de choisir des fonctions lisses et une base adaptée pour représenter les champs $f$ et $g_i$ de façon à annuler certaines composantes, ce qui simplifie la vérification des propriétés d’invariance.

La nature locale de ces propriétés souligne l’importance de considérer non seulement les objets globaux, mais aussi leurs comportements au voisinage des points d’intérêt. La différentiabilité des fonctions et la constance des dimensions des distributions permettent d’appliquer des arguments géométriques subtils, et d’aboutir à une compréhension fine de la dynamique interne du système sous rétroaction.

Enfin, ces notions trouvent des applications directes dans la conception de systèmes complexes où la commande doit s’adapter localement à la structure géométrique du modèle, rendant impérative une approche rigoureuse et méthodique fondée sur la théorie géométrique du contrôle non linéaire.

Quels objets géométriques restent invariants sous rétroaction statique non interactive ?

Considérons un système dynamique non linéaire de la forme

L’analyse détaillée démontre que cette invariance provient de la nature même de la non-interaction. En effet, une rétroaction $u = \alpha(x) + \beta(x)v$ qui transforme le système en une forme non interactive conserve cette propriété si et seulement si $\beta(x)$ est une matrice régulière dont les éléments satisfont certaines identités de commutation avec les champs $g_j$. Le Lemme 7.3.2 établit que les termes de couplage potentiels disparaissent tous lorsque les champs de vecteurs obéissent à ces contraintes. Par récurrence sur la profondeur des dérivées de Lie, on montre que toutes les dérivées croisées de type $L_{g_j} L_{T_r} \dots L_{T_1} h_i(x)$ s’annulent également, assurant la structure diagonale du système en boucle fermée.

Ce résultat a une portée considérable : il permet d’isoler les éléments structurels invariants d’un système commandé, servant de base pour la classification géométrique des systèmes non linéaires. Il montre également que la conception d’une rétroaction statique ne se fait pas dans le vide mais doit s’appuyer sur une compréhension fine des distributions invariantes associées à la non-interaction. Toute tentative de commande qui ignorerait ces structures risquerait d’introduire des couplages ou de détruire les propriétés différentielles nécessaires à la linéarisation par retour d’état.

Ce qu’il faut également comprendre, c’est que cette invariance des distributions s’applique uniquement à des rétroactions dites "régulières" : elles doivent être localement difféomorphes, et préserver les degrés relatifs. En présence de singularités, ou si la rétroaction est mal conditionnée (par exemple si $\beta(x)$ est singulière), ces propriétés peuvent s’effondrer. Il devient alors nécessaire de considérer des stratégies de commande plus élaborées, comme la rétroaction dynamique ou les transformations coordonnées globales, afin de préserver les objectifs de découplage.