Comment la mécanique quantique a changé notre compréhension des phénomènes atomiques et de l'observation scientifique

La mécanique quantique, tout comme la relativité, a bouleversé notre manière de comprendre l'univers. Contrairement à la physique classique, qui postule que les objets sont dotés de propriétés précises et observables, la mécanique quantique affirme que les objets quantiques, tels que les électrons, n'ont pas de caractéristiques définies en dehors de l'acte d'observation. Cette idée a été radicalement développée par Heisenberg, dont la renonciation à la représentation géométrique et continue des objets quantiques a ouvert la voie à l'un des changements les plus profonds de l'histoire de la physique.

Heisenberg a proposé que, contrairement aux objets classiques, les propriétés des objets quantiques ne sont pas observables par des instruments traditionnels. Au lieu de cela, ce sont les effets des interactions entre les objets quantiques et les instruments d'observation qui sont mesurés. Ces effets sont eux-mêmes définis par des probabilités de transition, qui ne sont pas liées à des trajectoires spécifiques ou à une représentation géométrique. En ce sens, la mécanique quantique se distingue fondamentalement de la physique classique, où chaque objet a des propriétés bien définies, indépendantes de l'observateur.

La théorie de Bohr, notamment sa conception du "saut quantique", avait déjà introduit une rupture avec la vision classique. Toutefois, cette rupture n'était pas aussi radicale que celle d'Heisenberg. Selon Bohr, les électrons dans un atome peuvent passer d'un état énergétique à un autre de manière discrète, mais il restait une certaine continuité dans la manière dont ces états étaient conceptualisés. Heisenberg, quant à lui, a abandonné la notion d'orbite électronique, préférant considérer ces transitions comme des "sauts quantiques", sans représentation géométrique ou physique des trajectoires des électrons.

Il est important de souligner que, bien que la mécanique quantique repose sur des principes probabilistes, cela ne signifie pas que l'univers quantique est régi par le hasard pur. Les probabilités quantiques sont des résultats mesurables, fondés sur les interactions des objets quantiques avec des instruments. Ces interactions sont décrites de manière précise par la théorie des probabilités, mais la question de savoir si elles révèlent une réalité objective sous-jacente reste une source de débat, en particulier avec des interprétations comme celle de Bohr et Heisenberg.

Les implications philosophiques de cette approche sont également considérables. Heisenberg, tout en rejetant une conception classique de la réalité physique, a exprimé une certaine tendance vers le platonisme. Cette vision, bien que subtile, suggère que la réalité ultime, en dehors de la mesure, pourrait être décrite par des objets mathématiques plutôt que par des entités physiques concrètes. Heisenberg lui-même, influencé par sa formation en classique, a été attiré par les idées de Platon, qui voyait dans les concepts mathématiques une forme de réalité pure, détachée des objets matériels.

Cependant, ce tournant quantique n'a pas été sans résistance. Einstein, par exemple, était farouchement opposé à la méthode de Heisenberg, qu'il considérait comme une forme de réduction du monde à une série de probabilités sans explication causale. Einstein défendait une vision réaliste et déterministe de l'univers, où les objets possédaient des propriétés indépendantes de l'observateur. Cette opposition entre les visions d'Einstein et de Heisenberg a été l'une des plus grandes batailles philosophiques du XXe siècle, un affrontement entre un réalisme déterministe et un réalisme probabiliste.

Ce débat, cependant, ne se limite pas à une simple question de philosophie. Il a des implications profondes sur la manière dont nous comprenons le monde. Les découvertes de la mécanique quantique ont non seulement redéfini la manière dont nous voyons l'atome, mais elles ont également montré que notre capacité à observer et à mesurer la réalité est conditionnée par des instruments qui, eux-mêmes, interagissent avec le phénomène observé. Cette interconnexion entre observation, mesure et phénomène quantique transforme le rôle de l'observateur, qui cesse d'être un simple spectateur pour devenir un acteur essentiel de la réalité qu'il explore.

Enfin, bien que la mécanique quantique offre un cadre extrêmement puissant pour prédire les résultats des expériences à l'échelle atomique, elle soulève également la question de l'accessibilité de la "réalité ultime". Peut-on, un jour, décrire le monde entre les événements quantiques par une représentation mathématique complète? Cette question reste ouverte, et il est probable que la réponse à cette interrogation pourrait un jour redéfinir notre compréhension de l'univers à un niveau fondamental.

Comment la théorie de Yang-Mills a façonné la topologie des variétés en quatre dimensions : Une étude sur l’interaction entre la physique et les mathématiques

La catégorie des mappings étales constitue un topos, un concept qui, pour le moment, représente la forme algébrique la plus abstraite de la spatialité en mathématiques. Ce concept a été perçu ainsi par Grothendieck lui-même, qui a comparé sa contribution à l'idée de l’espace en mathématiques à celle d’Einstein en relativité générale et à celle de Schrödinger en mécanique quantique (QM). Cette référence à Schrödinger n’est pas immédiatement évidente, mais elle peut être comprise comme faisant allusion au rôle des espaces de Hilbert dans QM, dans le cas de Schrödinger, des espaces de Hilbert infiniment dimensionnels, qui permettent de relier des événements dans l’espace physique réel représenté comme une variété tridimensionnelle. Ce parallèle souligne l’ambition de Grothendieck de transcender les conceptions traditionnelles de l’espace, créant ainsi une nouvelle forme de spatialité mathématique, plus flexible et plus générale.

Ce développement de la théorie des faisceaux étales et de la cohomologie a également motivé le concept de motif chez Grothendieck, bien que la théorie de Grothendieck-Teichmüller ait précédé les cohomologies étales. L’introduction de la notion de motif visait à regrouper différents objets géométriques sous un cadre plus abstrait, ce qui a permis d’étendre la théorie des variétés algébriques et de structurer les relations entre elles d’une manière plus sophistiquée et plus unifiée.

La théorie de Yang-Mills repose sur les symétries locales non abéliennes. Les concepts de symétries locales et spécifiquement de symétries de jauge ont joué un rôle central dans les théories des champs, tant classiques que quantiques, depuis l’électrodynamique de Maxwell, la première théorie connue fondée sur une symétrie de jauge. Un tournant majeur dans cette histoire au 20e siècle a été l’idée de Weyl, selon laquelle l'invariance sous le changement d'échelle ou de jauge pourrait constituer une symétrie locale de la relativité générale. Bien que la tentative de Weyl de fusionner la relativité générale et l’électromagnétisme ait échoué, cette idée a trouvé un nouveau souffle dans la mécanique quantique, avec des contributions de Pauli, Fock et d'autres.

La théorie de Yang-Mills, particulièrement dans les années 1970, après la renormalisation de la théorie électrofaible, a suscité un renouveau en mathématiques, comme ce fut le cas pour la théorie de la relativité générale ou de l’électrodynamique quantique au siècle précédent. Cela a donné naissance à de nouvelles recherches en géométrie différentielle, notamment dans le domaine de la topologie des variétés en quatre dimensions. Ce domaine a permis d’explorer des structures de variétés dotées de propriétés topologiques étonnantes, comme les structures lisses exotiques de $\mathbb{R}^4$.

Comment la topologie géométrique aide à comprendre les défauts des milieux ordonnés et la dynamique des défauts

Récemment, un projet ambitieux a vu le jour, fruit de la collaboration entre Louis Funar, Daniele Otera et moi-même, qui cherche à prouver que tous les groupes de présentation finie sont géométriquement simplement connexes (propriété bien plus forte que la QSF) et qu'ils peuvent éviter les phénomènes de "cauchemar" de Whitehead, ce qui les rend « simples » au sens mathématique. Cette avancée a été annoncée dans mon article On the Whitehead nightmare and some related topics, publié dans les EMS Surveys in Mathematical Sciences, un volume dédié au 80e anniversaire de Dennis Sullivan (2023). Ce projet, auquel je suis particulièrement optimiste, utilise la technologie de la TRILOGIE QSF, judicieusement modifiée.

En ce qui concerne les idées plus ésotériques qui portent sur une nouvelle catégorie beaucoup plus large englobant les groupes de présentation finie, évoquées dans ma lettre de 2016, il y a désormais un peu plus à dire. En particulier, j'ai découvert une connexion précise entre une certaine forme de violation de GSC et la géométrie non commutative, qui semble être pertinente pour le sujet. Pour cela, deux de mes articles sur ce sujet sont d'une grande utilité : On geometric group theory, publié dans Topology and Groups, Essays Dedicated to V. Turaev, ainsi que Classical differential topology and non-commutative geometry, dans Surveys in Geometry I (2022).

Quant aux boules de Schoenflies en dimension 4 (DIFF Schoenflies), j'ai publié un article démontrant que ces boules sont GSC, notamment dans mon travail All smooth four-dimensional Schoenflies balls are geometrically simply connected (arXiv: 1609.05094, 2016). Une version plus courte est disponible dans Surveys in Geometry I (2022). Je travaille actuellement avec Dave sur un projet majeur pour prouver que les boules de Schoenflies en dimension 4, qui sont GSC, sont également standard. Ainsi, les idées exprimées dans ma lettre de 2016 ne sont plus d'actualité dans ce contexte.

Quelques années plus tard, sous l’impulsion de physiciens comme Sasha Polyakov, nous avons étendu notre analyse à des dimensions supérieures et avons fait une découverte inattendue : l'ensemble des groupes d'homotopie, lorsqu'il est muni du produit de Whitehead, forme une algèbre supersymétrique. Cette observation a conduit à la conclusion que la non-commutativité du produit de Whitehead constitue un obstacle pour le croisement des défauts dans des dimensions supérieures.

L’implication de la supersymétrie dans ce contexte nous a étonnés, et ce fut un véritable plaisir pour Gérard de découvrir cette nouvelle facette de la topologie. D’ailleurs, Jean Dieudonné, dans une réédition de son ouvrage sur les mathématiques de Bourbaki, a reconnu l’importance de cette connexion entre la topologie et la physique, corrigeant ainsi ses précédentes affirmations selon lesquelles la topologie n’aurait aucune application en physique.

Ce parcours de recherche illustre la manière dont les concepts mathématiques, notamment ceux liés à la topologie géométrique, peuvent éclairer des phénomènes physiques profonds et complexes, comme la dynamique des défauts dans les milieux ordonnés.

En poursuivant cette exploration, il est important de noter que la connexion entre topologie et physique n'est pas un hasard. Elle découle du fait que les objets topologiques, en particulier les groupes d'homotopie et les espaces de configuration, sont naturellement présents dans les modèles qui décrivent des systèmes physiques complexes. La capacité de la topologie à décrire des propriétés invariantes de ces systèmes, indépendamment des détails géométriques spécifiques, en fait un outil précieux pour comprendre des phénomènes aussi variés que les défauts dans les matériaux ou les singularités dans les champs de Higgs.

Quelle est l'obstruction totale à la déstabilisation du cadrage oblique stable d'une immersion?

Le concept de cadrage oblique stable et d'immersion stable occupe une place centrale dans la théorie de l'homotopie stable. Ce cadre mathématique trouve son origine dans les travaux de P. M. Akhmetiev et de nombreux autres chercheurs qui ont exploré les immersions de variétés de codimension élevée et les groupes de cobordisme associés. Dans cette section, nous allons étudier l'obstruction totale à la déstabilisation d'un cadrage oblique stable et son lien avec les groupes de bordisme des immersions.

Commençons par examiner la situation d'un cadrage oblique stable $\{ \st_2, \theta_0 \}$, où les relations entre les vecteurs et les transformations invariantes sous l'involution $T_\mu$ sont cruciales. Le cadrage oblique stable $\{ \st_2, \theta_0 \}$ est lié à l'immersion $\phi_2$, une immersion dans un espace de dimension $2l+1 - 2$ et codimension $2l-1$, un domaine souvent étudié dans la théorie des immersions et des variétés à singularités modérées.

Pour démontrer que $o(\st_2, \theta_0) \equiv 0 \ (\text{mod}\ 4)$, il faut explorer les transformations isotopiques des cadres obliques. Prenons l'isotopie $F_t$, où $t \in [0, 1]$, qui commence par une déformation du cadrage $\theta_0$ à $t = 0$ et se termine par un cadrage sphérique à $t = 1$. La déformation de chaque vecteur de $\theta_0$ vers le cadrage stable $\st_2$ suit des transformations orthogonales, sauf pour le dernier vecteur de l'indice $i_{\text{last}} = C_n - 2l + 1 - 2$. Cette déformation s'avère essentielle pour analyser le comportement du cadre dans le contexte d'une immersion stable.

Le résultat de cette démonstration s'inscrit dans un contexte plus large, celui des immersions dans des espaces de dimension élevée, où les points d'auto-intersection jouent un rôle crucial. L'examen des points d'auto-intersection, en particulier dans le cas de l'immersion standard $f$, révèle que ces immersions peuvent être analysées à travers leurs cadres obliques stables et leur obstructions associées. Par exemple, dans le cas de l'immersion $f$, l'obstruction $o(\st)$ prend une valeur $\pm 2$, ce qui dépend du co-orientation de l'immersion standard.

Il est également important de souligner que cette analyse des immersions stables et des obstructions associées est étroitement liée aux théorèmes de suspension, qui établissent des relations fondamentales entre les immersions stables et non stables. Ces théorèmes, comme celui de la desuspension de Kervaire, permettent de relier les différentes catégories de variétés immersives à la structure topologique des groupes d'homotopie des sphères.

Enfin, la déstabilisation des cadres obliques et les obstructions associées fournissent un moyen puissant d'examiner la structure des immersions et de leur cobordisme. Cette approche permet de mieux comprendre les singularités des immersions et d'étudier les conditions sous lesquelles des immersions stables peuvent être réduites ou modifiées, ce qui est essentiel pour la résolution de certains problèmes ouverts en géométrie et en topologie des variétés.

Comment les cartes C0-stables peuvent-elles être triangulées et leur importance en géométrie différentielle ?

Les cartes lisses entre variétés jouent un rôle central en géométrie différentielle, notamment dans les théorèmes concernant leur stabilité et leur capacité à être triangulées. Un des résultats importants dans ce domaine est le théorème de triangulation, qui affirme qu'il existe un ensemble ouvert dense de cartes C0-stables entre deux variétés lisses, dont une partie est équivalente à une carte PL (piecewise linear) pour certaines triangulations lisses des variétés. En d'autres termes, il est possible de trouver des cartes qui, bien qu'étant lisses, se comportent de manière similaire à des cartes linéaires par morceaux après une transformation adéquate, ce qui permet de simplifier leur étude tout en préservant les propriétés topologiques essentielles.

L'approche de Thom et Mather montre que l'ensemble des cartes C0-stables lisses entre deux variétés M et N, avec N étant compacte, contient un sous-ensemble ouvert dense de C∞(N, M). Plus précisément, une carte lisse f : N → M sera C0-stable et équivalente à une carte PL si elle est stratifiée de Thom, une propriété qui implique que la carte est bien définie dans un espace de jets stratifié. En d'autres termes, la stabilité C0 de la carte implique qu’elle possède des singularités bien contrôlées, ce qui rend possible une analyse précise et robuste de la carte dans des contextes géométriques et topologiques.

Une autre dimension de l’étude des cartes lisses est leur capacité à être rendues transverses à des complexes simpliciaux. Lorsqu’une carte PL est transversale à une triangulation, elle conserve des propriétés structurelles intéressantes, notamment la possibilité de subdiviser les complexes de manière à ce que la carte devienne « simpliciale », facilitant ainsi son analyse dans un cadre topologique combinatoire. Ce résultat se généralise à des cartes semi-linéaires entre complexes simpliciaux, où la transversalité à une triangulation assure que les préimages des simples sont collées de manière cohérente avec la structure de la triangulation.

En somme, la stabilité des cartes C0 et leur capacité à être triangulées sont des outils puissants pour l’analyse des variétés lisses. Elles permettent non seulement de simplifier les calculs et les démonstrations, mais aussi de mieux comprendre les structures géométriques sous-jacentes aux variétés et aux morphismes entre elles. Ces propriétés sont particulièrement utiles pour traiter des situations géométriques complexes, où l’on doit travailler avec des cartes lisses tout en garantissant leur stabilité et leur structure combinatoire.