La réalité, le déterminisme et la mécanique quantique : Quelles implications pour notre compréhension du monde ?

La mécanique classique, avec ses lois déterministes, offre une vision du monde où chaque événement et état du système peuvent être prédits à partir des conditions initiales, selon des lois causales strictes. Cette idée repose sur la possibilité de prédictions exactes, comme l’illustre la loi de gravitation de Newton, où chaque état futur peut être déterminé à partir du présent. Toutefois, cette vision du déterminisme est mise à l’épreuve dès que l’on entre dans le domaine de la physique quantique.

L’introduction de la relativité a, en quelque sorte, ouvert la voie à une reconsidération du rôle de la mesure en physique. En relativité, l’espace et le temps ne sont plus des entités absolues et indépendantes, mais sont définis par les instruments de mesure eux-mêmes. Ces instruments – des horloges et des règles – déterminent les valeurs des grandeurs mesurées, un principe qui faisait partie de la conception classique du monde. Néanmoins, même en relativité, la possibilité de mesurer les phénomènes sans perturber le système restait essentielle pour faire des prédictions précises. À l'échelle quantique, ce n'est plus le cas. L'interférence des instruments de mesure avec le système observé devient une contrainte fondamentale, et ce principe d’observation non perturbatrice, qui était central en mécanique classique, n’est plus valide dans le contexte quantique.

Un autre aspect fondamental qui change dans le cadre quantique est l’impossibilité de décrire ce qui se passe entre deux mesures. La demande de "décrire ce qui se passe" entre deux observations devient une contradiction, car les concepts classiques – tels que "l'objet" ou "l'événement" – ne peuvent pas être appliqués à la réalité quantique en dehors des moments de mesure. En effet, comme le souligne Heisenberg, il n'existe aucune description valable de ce qui arrive au système entre deux observations successives. Cette absence de description de l’évolution du système entre deux mesures constitue l’un des éléments les plus perturbants pour l’intuition humaine, qui a naturellement besoin d'une continuité d'événements pour donner sens à la temporalité.

Une autre idée importante à considérer est que la transition de la mécanique classique à la mécanique quantique implique non seulement un changement de perspective sur les lois naturelles, mais aussi sur la manière dont nous comprenons la causalité elle-même. En mécanique classique, chaque état du système est une cause directe de l'état suivant, dans une chaîne de causes et d'effets. Cependant, en mécanique quantique, le rôle de la causalité se transforme. Dans certains cas, des phénomènes quantiques peuvent se produire sans relation causale évidente entre les événements. Les expériences EPR (Einstein-Podolsky-Rosen), par exemple, suggèrent qu'il est possible de prédire certains résultats avec une probabilité de un, mais sans faire d’hypothèse causale, ce qui défie l'idée de causalité stricte en physique quantique.

Enfin, il est essentiel de comprendre que la mécanique quantique et la physique classique ne sont pas contradictoires, mais complémentaires. La physique classique reste indispensable pour décrire les phénomènes que nous observons à l'échelle macroscopique, tandis que la mécanique quantique est nécessaire pour prédire le comportement des systèmes à l'échelle microscopique. Cependant, il est impossible de les unifier dans un cadre théorique unique, et chacune de ces théories présente ses propres limites et validités.

La physique quantique et la nature de la réalité : un lien mathématique abstrait

Dans la physique classique et la relativité, il est souvent possible de se contenter d’observer les phénomènes sans qu’une intervention technologique significative soit nécessaire, à l'exception de celle que nous effectuons à travers notre propre présence. Ce qui permet de prédire de manière déterministe et avec une grande précision les événements, comme dans le cas du mouvement des planètes dans le système solaire. En revanche, la physique quantique change la donne. Chaque observation, dans le cadre de cette théorie, est, en principe, toujours influencée par l'intervention humaine, qui modifie le cours des événements en raison des technologies expérimentales utilisées. Dans ce contexte, notre observation devient non seulement un acte passif mais un créateur de la réalité elle-même, chaque mesure produisant une nouvelle réalité unique.

Dans le cadre de la mécanique quantique (QM) et de la théorie quantique des champs (QFT), les prédictions probabilistes ne sont pas inhérentes à la structure formelle de la théorie, mais sont introduites par des règles ad hoc, telles que la règle de Born. Cette règle relie les amplitudes complexes, qui sont une partie du formalisme quantique, à des nombres réels qui correspondent aux probabilités des événements quantiques. La règle de Born, utilisée de manière universelle, permet de transformer les quantités complexes associées aux variables quantiques, telles que la position ou l'énergie, en densités de probabilité réelles, ce qui rend les résultats observables. Par exemple, dans le cas d’une particule ponctuelle en espace de position, la densité de probabilité de la position de cette particule à un moment donné est donnée par le carré du module de la fonction d'onde. C’est par cette transformation mathématique que l'on peut prédire, avec une grande précision, où la particule pourrait se trouver à un instant donné.

Bien que la règle de Born et des règles similaires soient des ajouts au formalisme de la mécanique quantique, elles sont essentielles pour relier les éléments abstraits de la théorie aux événements mesurables et observables. Mais leur inclusion dans le formalisme ne nous permet toujours pas de comprendre pourquoi ces règles fonctionnent. Elles sont des outils pratiques pour obtenir des résultats expérimentaux, mais leur fondement dans la réalité physique reste un mystère. Cela reflète un écart entre le formalisme mathématique de la physique quantique et la représentation des phénomènes physiques réels.

La mécanique quantique occupe ainsi une place singulière dans l’histoire de la physique moderne. D’une part, elle se distingue des théories classiques par l’emploi d’une abstraction mathématique, libérée de toute représentation physique directe, et, d’autre part, elle maintient un divorce radical entre la structure mathématique de la théorie et la représentation physique de la réalité ultime des phénomènes quantiques. En cela, la mécanique quantique ne cherche pas à décrire la réalité elle-même, mais à prédire des événements observables, sur la base de probabilités. C’est cette approche radicalement probabiliste qui fait de la mécanique quantique une science particulièrement étrange et contre-intuitive, mais néanmoins profondément précise dans ses prédictions.

En dépit de ces mystères, la mécanique quantique reste la théorie la plus précise pour prédire les phénomènes observés dans les systèmes quantiques. Ce qui est intéressant dans cette approche, c’est que même dans les régimes de haute énergie ou dans les théories de champs quantiques, les caractéristiques fondamentales de la mécanique quantique demeurent inchangées. Ce sont les règles de Born et autres formalismes qui assurent que les résultats observés dans des expériences quantiques sont cohérents avec les prévisions de la théorie.

La mécanique quantique est ainsi une transformation radicale de la physique théorique, un pont entre la mathématique pure et la réalité expérimentale, redéfinissant la relation entre la physique et les mathématiques, et, par extension, la nature même de la réalité physique. Elle a mis au jour un domaine de recherche où la distinction entre l’abstraction mathématique et la réalité physique devient de plus en plus floue, nous poussant à réévaluer non seulement notre compréhension de l’univers mais aussi la manière dont nous concevons la science elle-même.

Quelle est la présentation finie du groupe de classes d'homotopie du spin universel P(SL(2,Z)) ?

Le théorème principal stipule que le groupe $P(SL(2,Z))$, généré par $\alpha$, $\beta$, et $t$, admet une présentation finie, avec les relations suivantes :

• Lois de puissance : $t^2$, $\beta^3$, $\alpha^4$, $(t\beta)^3$, $(t\alpha)^4$, $[t, \alpha^2]$, et $[t, \alpha t \alpha]$ ;

• Pentagon : $(\beta \alpha)^5$ et $(\beta t \alpha t)^5$ ;

• Dégénérescence : $t = [\alpha, \beta t \beta^2] = [\alpha t, \beta t \beta^2] = [\alpha, t \beta^2 t \beta] = [\alpha t, t \beta^2 t \beta]$ ;

• Insertion : $[t, \hat{w}]$ pour tout mot $\hat{w}$ formé d’insertion $t$, avec $w$ dans l’ensemble des mots de la forme $\beta \alpha \beta$, $\beta^2 \mu \alpha^2 \beta \alpha \beta \alpha^2 \beta \mu$, et d'autres ;

• Premier commutateur : toute combinaison de mots du type $t r_0 \beta \alpha \beta \alpha t r_4 \alpha \beta \alpha \dots$, avec des relations sur les exposants ;

• Deuxième commutateur : toute combinaison de mots similaire au premier commutateur, avec des conditions sur les exposants.

Les relations de commutateurs résultent des insertions $t$-insertions dans les relations de premier et second commutateur. Il existe des redondances parmi les relations de commutateurs dans ce théorème principal.

De plus, on observe que les générateurs $\beta$ et $t$ génèrent un sous-groupe diédral $D_6$, et que $\beta$ et $\alpha^2$ génèrent un sous-groupe $PSL(2,Z)$ de $P(SL(2,Z))$. En conséquence, $t$ appartient au premier sous-groupe dérivé, ce qui signifie que $P(SL(2,Z))$ est parfait.

Une attention particulière est portée aux relations géométriques, en particulier celles qui concernent la commutativité et les relations pentagonales, qui correspondent respectivement aux cellules de codimension-2 dans la décomposition cellulaire idéale. Ces relations sont cruciales pour établir une présentation finie du groupe, d'autant plus que chaque mouvement combinatoire dans la décomposition cellulaire conduit à des relations de commutateurs, de type commutativité et pentagon.

Dans cette présentation, les relations de puissance $\alpha^4 = 1$ et $\beta^3 = 1$ jouent un rôle fondamental, permettant de réduire les mots et relations à une forme plus simple. Les relations d’insertion, qui sont découvertes au cas par cas, sont également essentielles pour comprendre la structure du groupe et les effets des mots générateurs dans l’action sur les marquages.