Le problème inverse d'optimisation linéaire en nombres entiers (IMILP) consiste à reconstruire une fonction objectif à partir d’une solution cible donnée, en s’assurant que cette solution soit optimale pour une instance modifiée du problème original. Ce processus inverse, bien que conceptuellement naturel, implique une reformulation profonde du problème d’origine. L’élément central de cette reformulation réside dans le fait que l’objectif n’est plus d’optimiser une fonction prédéfinie, mais de retrouver une fonction dont l’optimisation reproduit un comportement prescrit.

Une première approche directe définit la fonction inverse comme l’ensemble des vecteurs objectifs pour lesquels une solution donnée maximise l’objectif sur l’ensemble admissible SS. Cette approche, à travers la fonction φ(d)=arg⁡max⁡x∈Sd⊤x\varphi(d) = \arg\max_{x \in S} d^\top x, cherche à minimiser la distance entre un vecteur objectif cc et un vecteur dd appartenant à φ−1(x0)\varphi^{ -1}(x_0), pour une solution cible x0x_0. Toutefois, cette formulation n'établit pas de lien exploitable avec les méthodologies existantes de résolution.

Bulut et Ralphs reformulent alors le problème en tant qu’optimisation semi-infinie. Ils posent que le vecteur dd doit vérifier l’inégalité d⊤x≤d⊤x0d^\top x \leq d^\top x_0 pour tout x∈Sx \in S, ce qui traduit la condition d’optimalité de x0x_0 par rapport à dd. Cela permet une interprétation géométrique en termes de cônes : la région admissible de l’IMILP est le cône normal polaire C∘(x0)C^\circ(x_0) associé à SS, tandis que l’objectif est projeté dans un cône norme KK autour du point cc. Le problème devient alors une minimisation sur l’intersection de ces deux structures convexes.

Cette approche géométrique révèle des connexions fondamentales entre l’IMILP et le problème de séparation pour l’enveloppe convexe de SS, notée conv(S)\text{conv}(S). En effet, déterminer si x0∈conv(S)x_0 \in \text{conv}(S) et, sinon, trouver une inégalité qui le sépare de conv(S)\text{conv}(S), revient à construire une fonction objectif dd qui discrimine x0x_0 par rapport aux autres éléments de SS. L’équivalence conceptuelle entre séparation et inversion positionne l’IMILP comme un problème dual du problème classique.

Les structures duales et polaires, telles que le cône radial Cx0C_{x_0} et son polaire C∘(x0)C^\circ(x_0), servent de cadre théorique à une reformulation du problème en optimisation conique. Cette reformulation autorise une interprétation précise de la région de faisabilité et éclaire les caractéristiques du problème inverse en lien avec la géométrie convexe sous-jacente.

Une autre formulation, dite 1-polaire, repose sur la construction de l’ensemble P1={d∈Rn∣d⊤x≤1,∀x∈conv(S)}P_1 = \{ d \in \mathbb{R}^n \mid d^\top x \leq 1, \forall x \in \text{conv}(S) \}, qui fournit une enveloppe uniforme pour toutes les directions objectives. En autorisant une variable d’échelle ρ\rho, on peut alors minimiser ∥c−ρd∥\|c - \rho d\| sous les contraintes d⊤x0≥1d^\top x_0 \geq 1 et d∈P1d \in P_1, créant une relaxation utile pour les applications pratiques.

Le traitement algorithmique du problème inverse repose en grande partie sur les algorithmes à plans coupants. Dans le cas des normes ℓ1\ell_1 et ℓ∞\ell_\infty, les auteurs introduisent une linéarisation du problème en reformulant explicitement les normes à l’aide de variables auxiliaires. En remplaçant les contraintes infinies sur SS par des contraintes sur les points extrêmes EE et les rayons extrêmes RR de conv(S)\text{conv}(S), on obtient des formulations (IMILP1) et (IMILP∞) traitables via une approche itérative.

Le cœur de cette méthode repose sur une boucle de génération dynamique des contraintes de séparation. À chaque itération, un sous-problème de séparation est résolu pour tester si une direction candidate dd satisfait les contraintes du cône normal. En cas de violation, un nouveau point extrême est ajouté au modèle principal. Ce mécanisme évite l’énumération explicite des contraintes, souvent exponentielle, tout en garantissant une progression vers la solution optimale.

Sur le plan de la complexité, les auteurs démontrent que les variantes de décision de l’IMILP possèdent des classifications complexes : coNP-complet pour la vérification des bornes primales, NP-complet pour les bornes duales, et DP-complet pour la vérification de la valeur optimale. Ces résultats sont obtenus par une série de réductions polynomiales à partir des versions directes du problème MILP. En particulier, les certificats courts requis pour appartenir à NP ou coNP sont construits avec soin, révélant la subtilité structurelle du problème inverse.

Il est essentiel de noter que la résolution effective de l’IMILP ne se réduit pas à une simple inversion arithmétique de la fonction d’optimisation. Elle mobilise une panoplie d’outils issus de la géométrie convexe, de la théorie des dualités, et de l’algorithmique combinatoire. Le rôle de la convexité, notamment à travers les polaires, les cônes radiaux et les enveloppes convexes, est central non seulement dans la formulation mais aussi dans l’implémentation algorithmique.

Enfin, au-delà des considérations théoriques, le lien profond entre l’IMILP et les problèmes de séparation offre une perspective unificatrice : comprendre l’optimisation inverse, c’est en réalité comprendre comment se comportent les frontières des ensembles faisables sous la pression d’une fonction objectif – et comment ces frontières peuvent être manipulées pour inclure une solution désirée.

Quelle est la valeur optimale dans les problèmes inverses de chemin de capacité maximale sous norme pondérée l₁ ?

Considérons un réseau dirigé G=(V,E,ρ,s,t)G = (V, E, \rho, s, t), muni d’une source ss et d’un puits tt, ainsi qu’un vecteur de coûts ρ\rho dépendant de trois paramètres : les bornes inférieures ll, les bornes supérieures ww, et un niveau de capacité cible zz. La valeur du coût minimum d'une coupe dans ce réseau, notée ff, joue un rôle crucial dans l'évaluation de la valeur optimale z∗z^* dans le problème inverse de chemin de capacité maximale sous norme l1l_1 pondérée.

Lorsque le budget BB satisfait B≥fB \geq f, alors la valeur optimale est simplement z∗=Lmax⁡z^* = L_{\max}, où Lmax⁡L_{\max} est la borne inférieure maximale parmi tous les chemins. Cette situation correspond à un cas où la contrainte budgétaire n’est pas limitante, et la solution optimale est atteinte sans nécessité de compromis.

Dans les cas où B<fB < f, la solution optimale devient une fonction décroissante par morceaux, convexe, en fonction de BB. Dans ce cadre, il devient nécessaire d'introduire deux réseaux auxiliaires, GbG_b et Gb−G_b^{ - }, définis respectivement à partir des vecteurs de coûts ρb\rho_b et ρb−\rho_b^{ - }, obtenus en ajustant les capacités autour de deux valeurs de seuil zbz_b et zaz_a, correspondant aux ordonnées de points de rupture adjacents sur la courbe objectif.

La stratégie consiste à identifier, dans ces réseaux auxiliaires, les coupes minimales kbk_b et kb−k_b^{ - }, et de comparer leurs coûts respectifs fbf_b et fb−f_b^{ - }. Si ces deux coûts coïncident, la valeur optimale z∗z^* peut être calculée par interpolation linéaire entre les deux points définis sur la courbe Υ(B)\Upsilon(B), utilisant une équation dérivée de la différence pondérée entre les deux configurations. En revanche, si fb≠fb−f_b \neq f_b^{ - }, alors la valeur optimale s’effondre brutalement à z∗=zbz^* = z_b, indiquant un saut discret dans la structure de coupe optimale.

La validité de cette démarche est renforcée par la démonstration que les coupes minimales associées à zaz_a et zbz_b partagent les mêmes arcs critiques — ceux dont les capacités deviennent saturées exactement à zbz_b. En exploitant cette propriété, on peut dériver une expression explicite du coût total BB en fonction des contributions pondérées c(e)w(e)c(e)w(e) des arcs dans la coupe critique, et retrouver que le vecteur x∗x^*, défini comme x∗(e)=w(e)−z∗x^*(e) = w(e) - z^* pour les arcs critiques, satisfait exactement la contrainte budgétaire.

L'algorithme proposé, de complexité O(m2log⁡m)O(m^2 \log m), repose sur une recherche dichotomique dans l’ensemble des valeurs seuils z−z^{ - }, suivi d’une analyse comparative des coûts des coupes minimales dans les réseaux modifiés. Le résultat final garantit une solution optimale (x∗,y∗)(x^*, y^*), où le vecteur x∗x^* représente les ajustements de capacité minimaux, et y∗y^* encode un chemin réalisant cette capacité maximale z∗z^*.

Ce que le lecteur doit également comprendre, c’est que l’ensemble des coupes minimales joue un rôle structurel déterminant dans le comportement de la fonction objectif. La transition entre deux seuils adjacents de capacité correspond à un changement discret dans l’architecture des coupes critiques du réseau. La structure de convexité par morceaux de la fonction z∗(B)z^*(B) est intimement liée à la stabilité de ces coupes minimales. En d'autres termes, chaque segment linéaire de la fonction correspond à un intervalle de budget pour lequel la topologie de la coupe critique reste inchangée, et seule la capacité zz ajustée varie. Ce phénomène souligne une connexion profonde entre géométrie discrète des réseaux de flot et optimisation continue sous contrainte budgétaire.

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