La Condition de Lax et les Solutions Entropiques: Analyse des Discontinuités et des Ondes de Choc

L'une des propriétés fondamentales des solutions faibles aux équations hyperboliques non linéaires est la question de la dissipation de l'entropie, en particulier dans les contextes où des discontinuités apparaissent, comme les ondes de choc. L'analyse de ces solutions implique l'utilisation de conditions spécifiques qui garantissent la stabilité et la consistance des solutions dans le cadre des modèles physiques et mathématiques. La condition de Lax est l'une des principales conditions permettant de déterminer si une discontinuité représente une onde de choc, et non une solution mathématiquement incorrecte.

La condition de Lax stipule que, pour une solution faible $u$ à une équation de conservation, si la vitesse de propagation de la discontinuité $\sigma$ se trouve entre les valeurs $f'(u_g)$ et $f'(u_d)$, alors cette discontinuité peut être considérée comme une onde de choc, ou une discontinuité entropique. En d’autres termes, si la condition suivante est satisfaite :

alors la solution est une solution faible entropique. La vérification de cette condition est cruciale dans la théorie des solutions faibles, car elle assure que la solution respecte les lois de la thermodynamique, comme la dissipation de l'entropie, et ne produit pas de paradoxes physiques comme des violations de la deuxième loi de la thermodynamique.

Une des extensions de cette analyse est la condition d’Oleinik, qui offre un cadre alternatif pour la détermination de la nature entropique de la solution sans nécessiter la concavité stricte de la fonction $f$. Cette condition, formulée par Olga Oleinik, est souvent utilisée dans les cas où la fonction $f$ n'est pas strictement convexe ou concave, mais reste suffisante pour garantir l’entropie de la solution.

Selon le théorème 5.21, une solution $u$ est une solution faible entropique à l'équation de conservation si elle satisfait la condition d'Oleinik, qui repose sur la comparaison de $f(u)$ pour des valeurs intermédiaires entre $u_g$ et $u_d$. Cette condition est formulée comme suit :

où $I(u_g, u_d)$ est l'intervalle des valeurs possibles entre $u_g$ et $u_d$. Cette formulation permet de garantir la stabilité de la solution dans des contextes où la stricte concavité de $f$ ne peut être supposée, ce qui élargit le champ d'application des résultats précédents.

Dans le cas des équations hyperboliques scalaires, l'analyse des discontinuités révèle la présence de plusieurs types de solutions possibles. Lorsqu'une discontinuité ne génère pas une onde de choc mais simplement un changement abrupt dans les caractéristiques du flux, on parle alors de "discontinuité de contact". Si la fonction $f$ est strictement convexe ou concave, une discontinuité peut évoluer en une onde de choc, qui est une discontinuité propagée sous forme d'une onde. Cela se manifeste par des inégalités strictes de l’entropie, où des conditions plus sévères sur les fonctions test sont nécessaires.

Les solutions aux équations hyperboliques peuvent aussi comporter des ondes de rarefaction. Celles-ci sont des solutions où la discontinuité ne se propage pas sous forme de choc, mais plutôt comme une diffusion progressive, ce qui correspond à un changement continu dans les caractéristiques du flux, sans violer les principes d'entropie. Cela arrive, par exemple, lorsqu'une discontinuité initiale dans la solution se dissipe lentement sans créer de forte onde de choc.

Le principe du maximum est une autre propriété clé des solutions faibles entropiques. Ce principe stipule que, sous certaines hypothèses de conditions initiales et de fonction $f$, les solutions faibles entropiques respectent les bornes des conditions initiales. Ainsi, si la solution initiale $u_0$ est bornée par des valeurs $A$ et $B$, la solution $u(x,t)$ restera également bornée entre ces mêmes valeurs pour tous $x$ et $t$. Ce comportement est crucial, car il garantit que les solutions physiques ne peuvent pas dépasser certaines limites, comme cela peut être observé dans les modèles de flux de matière ou d'énergie.

Enfin, lorsque les conditions aux frontières sont introduites dans un problème de type hyperbolique, comme dans l’équation :

les solutions faibles entropiques avec conditions aux frontières peuvent être formulées à l’aide de la méthode d’Otto. Cette méthode permet de traiter les conditions aux frontières de manière plus souple, en assurant que la solution conserve ses propriétés entropiques tout en respectant les contraintes imposées par les conditions aux frontières.

Ainsi, l'étude des solutions faibles aux équations de conservation non linéaires, en particulier dans le cadre des discontinuités, des ondes de choc et des solutions entropiques, demeure un sujet central dans la théorie des équations aux dérivées partielles et dans l'analyse des phénomènes physiques complexes. La compréhension des conditions de Lax et d’Oleinik, du principe du maximum, ainsi que des différentes formes d'ondes de choc et de rarefaction, est essentielle pour résoudre de nombreux problèmes pratiques en physique et en ingénierie, notamment dans les domaines des fluides, de la mécanique des gaz et des matériaux.

Comment établir l'existence et l'unicité des solutions faibles dans les problèmes elliptiques linéaires ?

Le problème étudié repose sur la recherche d'une solution faible $(u, p)$ associée à un système elliptique linéaire dans un domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, où $u = (u_1, \ldots, u_N)^t$ appartient à un espace fonctionnel $V$ défini comme le sous-espace fermé de $H$ formé des fonctions de divergence nulle presque partout. Cette contrainte, exprimée par $\operatorname{div} u = 0$, impose une structure particulière qui conditionne fortement l'analyse fonctionnelle du problème.

Une solution classique au système elliptique correspond naturellement à une solution faible satisfaisant une formulation intégrale, où l'on teste l'équation contre des fonctions $v \in V$. L'existence et l'unicité de la solution $u$ dans $V$ reposent alors sur des théorèmes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle, notamment le théorème de Lax–Milgram, qui garantit, sous conditions de coercivité et de continuité, l'existence d'un unique élément $u \in V$ vérifiant la formulation faible correspondante.

La clé réside dans la compréhension que l'espace $V$ est un sous-espace fermé de l'espace de Sobolev vectoriel $H$, ce qui confère la compacité nécessaire à l'application des outils classiques. La pression $p$, quant à elle, intervient comme une variable auxiliaire, à déterminer après la résolution pour $u$. Pour assurer son existence, on s'appuie sur la théorie des opérateurs linéaires adjoints entre espaces de Hilbert, et notamment sur le lemme attribué à J. Nečas. Ce lemme fournit une condition constructive permettant d'exprimer une fonction à divergence prescrite via un champ de vecteurs approprié, garantissant ainsi que l'image de l'opérateur adjoint $A^\star$ correspond à l'orthogonal du noyau de l'opérateur $A$.

La caractérisation du noyau et de l'image des opérateurs $A$ et $A^\star$ s'impose comme un élément fondamental dans l'établissement du couplage entre $u$ et $p$. Cette relation structurelle permet de déduire l'existence d'un $p$ associé à une solution $u$ donnée, et d'établir l'unicité de cette pression modulo une constante additive, reflet de la non-contrainte sur la moyenne de $p$.

Une autre approche, dite de pénalisation, vise à approcher la solution du problème contraint en résolvant une famille de problèmes non contraints où la divergence est pénalisée par un terme proportionnel à un paramètre $n$ tendant vers l'infini. L'analyse de cette méthode montre que la suite des solutions pénalisées est bornée dans l'espace de Sobolev $H_0^1(\Omega)^N$, que les divergences associées sont contrôlées en $L^2(\Omega)$, et que la convergence faible de ces solutions vers la solution $u$ du problème initial est assurée. Ce procédé offre non seulement une preuve constructive d'existence, mais ouvre aussi la voie à des méthodes numériques robustes.

Enfin, l'étude de problèmes elliptiques plus généraux fait intervenir des matrices coefficients $A(x)$, qui doivent satisfaire une condition uniforme de coercivité, assurant que la forme bilinéaire associée est coercive et donc que la solution est bien définie. La régularité des solutions, leur convergence sous des suites faiblement convergentes de termes sources, ainsi que des propriétés de continuité forte dans $H_0^1(\Omega)$ sont analysées en profondeur.

La complexité des outils utilisés – opérateurs adjoints, théorème de Riesz, espaces de Hilbert vectoriels, techniques de pénalisation – souligne l’importance de maîtriser l’analyse fonctionnelle avancée et les propriétés structurelles des espaces fonctionnels dans l’étude des problèmes elliptiques.

Il est essentiel que le lecteur comprenne que l’existence et l’unicité ne sont pas des résultats triviaux découlant simplement d’une équation différentielle classique, mais qu’ils nécessitent une compréhension subtile de la géométrie des espaces fonctionnels, de la dualité opérateur-espace, et des techniques variées permettant de traiter les contraintes intégrées comme la divergence nulle. Par ailleurs, la non-unicité de la pression modulo une constante illustre la nature intrinsèque de certains champs scalaires dans la formulation des problèmes de mécanique des fluides et autres applications physiques.

Cette analyse fournit ainsi une base solide non seulement pour la résolution théorique des équations de type Stokes, mais aussi pour leur approximation numérique et leur généralisation à des cadres plus complexes, où la régularité et la stabilité des solutions doivent être garanties pour assurer la validité physique et mathématique des modèles.

Propriétés des fonctions harmoniques et théorème de Liouville généralisé

Soit $d \geq 1$ et $u \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d)$ une fonction harmonique, c'est-à-dire une fonction telle que $\Delta u = 0$ dans $D^\star(\mathbb{R}^d)$, et qui est bornée par en dessous, c'est-à-dire qu'il existe un $c \in \mathbb{R}$ tel que $u \geq c$ presque partout. Alors, le théorème de Liouville généralisé nous assure que $u$ est constante, c'est-à-dire qu'il existe une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que $u = C$ presque partout.

Démarche de la démonstration

Il est suffisant de prouver ce théorème dans le cas où $u \geq 0$. En effet, on peut toujours réduire le problème à ce cas en travaillant avec une fonction $u' = u - c$, où $c$ est une constante, ce qui garantit que $u' \geq 0$.

Supposons maintenant que $u \in C^\infty(\mathbb{R}^d)$ et $u \geq 0$. Pour tout $r > 0$, considérons le ballon $B_r = \{ x \in \mathbb{R}^d ; |x| < r \}$ et la sphère $C_r = \{ x \in \mathbb{R}^d ; |x| = r \}$. Soit également $B_{a,r} = \{ x \in \mathbb{R}^d ; |x - a| < r \}$ pour tout $a \in \mathbb{R}^d$.

Relation avec les dérivées et l'intégrale de $\Delta u$

Prenons $r > 0$ et montrons que l'intégration de $\Delta u$ sur $B_r$ donne que $\int_{C_r} \nabla u(x) \cdot n(x) \, d\gamma(x) = 0$, où $n(x)$ est le vecteur unitaire normal extérieur à $B_r$ et $\gamma$ désigne la mesure de Lebesgue $(d-1)$-dimensionnelle sur $C_r$. Cette propriété est essentielle pour comprendre que la quantité $\int_{C_r} u(x) \, d\gamma(x)$ est indépendante de $r$. Par dérivation sous le signe d'intégration, on déduit que la quantité $\int_{B_r} u(x) \, dx$ est également indépendante de $r$.

Indépendance de $u(x)$ par rapport à $r$

En utilisant un changement de variables, où $x \mapsto (r, y)$ avec $r = |x|$ et $y \in C^1$, on démontre que l'intégrale $\int_{B_r} u(x) \, dx$ est indépendante de $r$. Il en découle que, pour tous $r > 0$, on a $\frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} u(x) \, dx = u(0)$. De plus, pour tout $a \in \mathbb{R}^d$ et tout $r > 0$, on montre que $\frac{1}{|B_{a,r}|} \int_{B_{a,r}} u(x) \, dx = u(a)$.

Conclusion sur la constance de $u$

En considérant l'inégalité $u(x) \leq u(x) \leq u(x)$ pour tout $r > \alpha = |a|$, il s'ensuit que $u(a) = u(0)$, ce qui prouve que $u$ est une fonction constante.

Ce qu'il est important de comprendre

Il est fondamental de bien saisir que ce théorème repose sur la régularité de la fonction harmonique $u$, en particulier sur son comportement à l'infini et sur l'indépendance de certaines quantités intégrales de la taille du domaine sur lequel elles sont calculées. Le fait que la fonction soit bornée par en dessous permet de garantir sa constance. En outre, l'utilisation de la mesure de Lebesgue et de certaines techniques de calcul différentiel et d'intégration joue un rôle crucial dans la démonstration de ce résultat.