Comment le corps des nombres complexes est-il construit et quelles sont ses propriétés fondamentales ?

Le corps des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$ , est une extension du corps des nombres réels $\mathbb{R}$ dans lequel l’équation $z^2 = -1$ admet une solution. Cette extension est minimale au sens où aucun sous-corps propre de $\mathbb{C}$ contenant $\mathbb{R}$ ne permet de résoudre cette équation. La construction de $\mathbb{C}$ repose sur la définition d’opérations algébriques sur le produit cartésien $\mathbb{R}^2$ . En effet, on considère les éléments de $\mathbb{C}$ comme des couples $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ , auxquels on associe une addition définie par $(x,y)+(a,b) = (x+a, y+b)$ et une multiplication donnée par $(x,y)(a,b) = (xa - yb, xb + ya)$ . Ce choix d’opérations permet de vérifier que $\mathbb{C}$ forme un corps avec l’élément neutre additif $(0,0)$ , l’élément neutre multiplicatif $(1,0)$ , et la possibilité de définir des inverses pour tout élément non nul.

On identifie naturellement le corps des réels $\mathbb{R}$ à un sous-corps de $\mathbb{C}$ par l’application $x \mapsto (x,0)$ , qui est un homomorphisme injectif. La solution de l’équation $z^2 = -1$ dans $\mathbb{C}$ est précisément l’élément $(0,1)$ , que l’on note usuellement $i$ , tel que $i^2 = -1$ . Dès lors, chaque nombre complexe peut être représenté sous la forme $z = x + iy$ , où $x$ et $y$ sont des réels, appelés respectivement la partie réelle $\operatorname{Re}(z)$ et la partie imaginaire $\operatorname{Im}(z)$ de $z$ .

Le conjugué complexe de $z = x + iy$ est défini par $\overline{z} = x - iy$ , et cette opération joue un rôle fondamental dans la théorie. Par exemple, le produit $z \overline{z} = x^2 + y^2$ est toujours un réel positif ou nul, ce qui permet de définir la norme ou valeur absolue d’un nombre complexe comme $|z| = \sqrt{z \overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Cette norme se traduit géométriquement par la longueur du vecteur $(x,y)$ dans le plan, d’où une interprétation naturelle des nombres complexes comme des vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ . L’addition des nombres complexes correspond alors à l’addition vectorielle classique, tandis que la multiplication, bien que plus complexe, conserve une structure cohérente qui sera ultérieurement interprétée géométriquement.

La valeur absolue satisfait des propriétés essentielles : elle est multiplicative ( $|zw| = |z||w|$ ), respecte l’inégalité triangulaire ( $|z+w| \leq |z| + |w|$ ) et n’annule que le zéro. L’inverse multiplicatif d’un nombre complexe non nul $z$ s’exprime grâce à la conjugaison : $z^{ -1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ . Ces propriétés confèrent à $\mathbb{C}$ une structure algébrique et métrique riche, essentielle dans de nombreuses branches des mathématiques et de la physique.

Il est important de noter que, contrairement à $\mathbb{R}$ , le corps $\mathbb{C}$ ne peut être ordonné de manière compatible avec ses opérations algébriques, car l’existence d’un élément $i$ tel que $i^2 = -1 < 0$ contredit toute tentative d’ordre total respectant la multiplication. Cela distingue profondément $\mathbb{C}$ des corps ordonnés tels que $\mathbb{R}$ .

Au-delà de la structure algébrique, $\mathbb{C}$ permet une résolution complète des équations polynomiales du second degré à coefficients réels. En effet, toute équation quadratique $a z^2 + b z + c = 0$ (avec $a \neq 0$ ) admet dans $\mathbb{C}$ deux solutions, réelles ou complexes conjuguées, en fonction du signe du discriminant $D = b^2 - 4ac$ . Ce résultat illustre l’importance fondamentale de $\mathbb{C}$ comme corps algébriquement clos, au moins pour les polynômes de degré 2, ce qui est un point d’ancrage vers la théorie plus générale des corps algébriquement clos.

L’introduction des notions de boule ouverte et fermée dans $\mathbb{C}$ , définies respectivement par $D(a,r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - a| < r\}$ et $\overline{D}(a,r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - a| \leq r\}$ , établit le cadre pour l’analyse complexe. Ces ensembles, correspondant respectivement à des disques ouverts et fermés dans le plan, sont fondamentaux pour étudier la topologie et la continuité des fonctions complexes, préparant ainsi le terrain pour le développement de l’analyse complexe.

Enfin, il convient de souligner que les fonctions à valeurs complexes peuvent être décomposées en leurs parties réelles et imaginaires, qui sont des fonctions à valeurs réelles. Cette décomposition est non seulement naturelle, mais elle permet aussi d’appliquer les outils de l’analyse réelle à des problèmes complexes, en traitant séparément les composantes. La nature vectorielle des nombres complexes favorise ainsi une approche géométrique et analytique unifiée.

La compréhension profonde du corps $\mathbb{C}$ exige également la maîtrise de ses propriétés algébriques, topologiques et analytiques, ainsi que de ses relations avec $\mathbb{R}$ . La complexité des nombres complexes ne réside pas seulement dans leur définition mais dans leur capacité à unifier diverses branches mathématiques, notamment l’algèbre, la géométrie et l’analyse. Cette unification constitue la base de nombreuses théories avancées, telles que l’analyse complexe, la théorie de Galois, et la physique mathématique.

Quand et pourquoi le système linéaire défini par une matrice de Vandermonde est-il résoluble ?

Le problème d'existence et d'unicité d'un polynôme interpolateur repose sur la résolution d'un système linéaire dont la matrice des coefficients est une matrice de Vandermonde. Ce système linéaire, constitué de $m + 1$ équations en $m + 1$ inconnues, correspond aux coefficients du polynôme cherché, notés $p_0, p_1, \ldots, p_m$ . La condition essentielle pour garantir que ce système est résoluble pour toute donnée du second membre est que le déterminant de cette matrice soit non nul.

La matrice de Vandermonde est construite à partir des points d'interpolation $x_0, x_1, \ldots, x_m$ et présente la forme suivante :

\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^m \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_m & x_m^2 & \cdots & x_m^m