Dans le cadre de la gestion des risques financiers, un problème clé consiste à déterminer une stratégie de couverture qui minimise le risque de déficit, défini comme la perte d'une position par rapport à une valeur cible. Ce problème peut être formulé dans un contexte de marchés financiers où les instruments financiers sont pris en compte sous forme de tests aléatoires et de stratégies d'investissement admissibles.

Une approche classique dans ce domaine consiste à rechercher un test aléatoire ψ* ∈ R qui minimise le risque de déficit, en utilisant la fonction de perte ℓ(H(1 − ψ)) sous certaines contraintes. Plus précisément, on doit résoudre le problème suivant : trouver un test aléatoire ψ* qui minimise l'espérance de la perte, notée E[ ℓ(H(1 − ψ))], sous la contrainte que la valeur attendue de l'actif H ajustée par ψ ne dépasse pas une valeur spécifique υ pour tous les états de probabilité P* ∈ P. Ce cadre général permet d'aborder le problème de manière rigoureuse en utilisant la théorie des martingales et des processus stochastiques.

Une fois le test aléatoire ψ* optimisé, l'étape suivante consiste à ajuster la valeur terminale VT d'une stratégie admissible pour qu'elle corresponde à un profil optimal H ψ*. Ce processus est essentiel, car il garantit que la stratégie de couverture répond à la fois aux exigences de minimisation du risque de déficit et à la contrainte de capital. Le théorème 8.10 montre que, dans ce cadre, une stratégie de couverture super-hégergée ξ* pour la demande modifiée H* := H ψ* avec un investissement initial πsup(H*) est la stratégie optimale minimisant le risque de déficit parmi toutes les stratégies admissibles ξ qui satisfont la contrainte de capital ξ1 ⋅ X0 ≤ υ.

Le raisonnement derrière cette optimisation repose sur l'extension d'arguments similaires à ceux de la preuve du théorème 8.7. En effet, la recherche de ψ* parmi les tests aléatoires R0 peut se faire en utilisant des combinaisons convexes de tests ψn qui convergent, en application du lemme de Fatou, vers une solution optimale ψ̃. Ce processus de convergence est crucial, car il montre que, sous les conditions appropriées, une solution optimale unique existe et peut être identifiée.

Le résultat de l'existence et de l'unicité d'une stratégie optimale sous risque d'aversion dans un modèle de marché sans arbitrage est renforcé par le corollaire 8.13, qui indique que si la fonction de perte ℓ est strictement convexe, une stratégie admissible existe qui minimise le risque de déficit tout en satisfaisant les contraintes de capital. Dans ce cas, la stratégie optimale nécessite un investissement initial exact de υ, et son taux de réussite est égal à ψ* ⋅ 1{H > 0} + 1{H = 0}, ce qui permet de garantir que la couverture est optimale et que les risques sont minimisés.

Une attention particulière doit être portée sur la convexité stricte de la fonction de perte ℓ. Cette hypothèse joue un rôle essentiel dans la détermination de la stratégie optimale. Elle garantit que le test aléatoire ψ* est unique lorsque H > 0, et que, lorsque H = 0, la couverture est parfaite avec une probabilité de succès égale à 1. Ainsi, une bonne compréhension des propriétés de la fonction ℓ, de sa convexité et de ses dérivées est indispensable pour maîtriser la méthodologie utilisée dans l'optimisation du risque de déficit.

Dans un marché complet, où le modèle de martingale équivalente P∗ est unique, il est possible d'obtenir une formule explicite pour la solution optimale au problème statique. Lorsque la fonction de perte ℓ est strictement convexe et dérivable, la solution à l'optimisation est donnée par ψ* = J+(c φ∗), où J+ est la fonction inverse de la dérivée de ℓ. Cette relation permet d'ajuster la stratégie optimale en fonction des paramètres du marché et des préférences de l'investisseur.

Il est crucial de noter que l'existence d'une stratégie optimale, bien que théoriquement garantie dans un cadre de marché complet, peut nécessiter des ajustements en fonction des conditions spécifiques du marché et de la fonction de perte choisie. Par exemple, dans le cas d'une option européenne avec une fonction de perte exponentielle ℓ(x) = (eαx − 1)+, la stratégie optimale sera ajustée en fonction des paramètres α et du prix d'exercice K de l'option. Cela souligne l'importance d'adapter la stratégie aux conditions spécifiques du marché et aux caractéristiques de l'instrument financier sous-jacent.

Enfin, il est essentiel de souligner que la gestion du risque de déficit ne se limite pas à la recherche d'une stratégie optimale, mais implique également une évaluation continue des conditions de marché et des ajustements en temps réel. En effet, même après l'optimisation initiale, des changements dans les paramètres du marché ou dans la structure de la fonction de perte peuvent nécessiter des ajustements pour maintenir la couverture optimale et minimiser le risque de déficit de manière efficace.

Comment déterminer le prix sans arbitrage d’une option américaine actualisée ?

Considérons une option américaine actualisée HH proposée à l’instant initial t=0t = 0 pour un prix π≥0\pi \geq 0. Du point de vue de l’acheteur, il doit exister au moins une stratégie d’exercice, représentée par un temps d’arrêt τ\tau, telle que le prix proposé π\pi ne soit pas excessif, c’est-à-dire qu’il existe un prix admissible π′∈Π(Hτ)\pi' \in \Pi(H_\tau) vérifiant π≤π′\pi \leq \pi'. À l’inverse, le vendeur exige qu’il n’existe aucune stratégie d’exercice τ′\tau' telle que le prix soit trop bas, autrement dit, il ne doit pas exister τ′\tau' tel que pour tout π′∈Π(Hτ′)\pi' \in \Pi(H_{\tau'}), π<π′\pi < \pi'.

En introduisant la contrainte que l’acheteur ne peut exercer qu’à des temps d’arrêt, on définit formellement un prix sans arbitrage par deux conditions : d’une part, l’existence d’un temps d’arrêt τ\tau et d’un prix admissible π′∈Π(Hτ)\pi' \in \Pi(H_\tau) tels que π≤π′\pi \leq \pi', et d’autre part, l’impossibilité d’un temps d’arrêt τ′\tau' pour lequel π<π′\pi < \pi' quel que soit π′∈Π(Hτ′)\pi' \in \Pi(H_{\tau'}). L’ensemble Π(H)\Pi(H) des prix sans arbitrage est ainsi un intervalle réel avec bornes inférieure et supérieure respectivement notées πinf⁡(H)\pi_{\inf}(H) et πsup⁡(H)\pi_{\sup}(H).

Toute option européenne actualisée peut être vue comme un cas particulier d’option américaine dont la valeur s’annule en cas d’exercice anticipé, ce qui assure la cohérence entre les définitions des prix sans arbitrage pour ces deux catégories de produits.

La caractérisation de ces prix repose sur la théorie des mesures équivalentes martingales P∗∈PP^* \in \mathcal{P} et l’utilisation des enveloppes de Snell UP∗U^{P^*} associées à chaque mesure. Ces enveloppes définissent la valeur maximale espérée conditionnelle de l’option pour tout temps d’arrêt futur, ce qui permet de formaliser les bornes des prix sans arbitrage par :

πinf⁡(H)=sup⁡τ∈Tinf⁡P∗∈PEP∗[Hτ],πsup⁡(H)=sup⁡τ∈Tsup⁡P∗∈PEP∗[Hτ].\pi_{\inf}(H) = \sup_{\tau \in \mathcal{T}} \inf_{P^* \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^{P^*}[H_\tau], \quad
\pi_{\sup}(H) = \sup_{\tau \in \mathcal{T}} \sup_{P^* \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^{P^*}[H_\tau].

Le théorème central affirme que, sous l’hypothèse d’intégrabilité des gains HtH_t pour toutes les mesures P∗P^*, l’ensemble Π(H)\Pi(H) des prix sans arbitrage est un intervalle réel dont les extrémités sont précisément ces bornes. Par ailleurs, ce dernier peut être réduit à un point unique en cas de marché complet avec une mesure martingale équivalente unique.

La convexité de l’ensemble des mesures P\mathcal{P} assure que les prix possibles forment un intervalle convexe, continu et fermé à gauche, mais il est démontré que la borne supérieure πsup⁡(H)\pi_{\sup}(H) n’appartient pas forcément à Π(H)\Pi(H). Cela illustre la subtilité des prix américains, où il peut exister un « gap » au bord supérieur.

Des exemples illustratifs soulignent que la borne inférieure πinf⁡(H)\pi_{\inf}(H) peut ou non appartenir à l’ensemble des prix sans arbitrage, selon la structure du modèle de marché. L’introduction d’états supplémentaires dans un modèle initialement complet peut transformer un prix sans arbitrage en un intervalle ouvert ou fermé, mettant en lumière l’importance de la structure informationnelle sur l’évaluation des options.

Une notion clé pour la compréhension du prix des options américaines est celle d’« atteignabilité ». Une option est dite atteignable si l’on peut construire une stratégie de trading auto-financée et un temps d’arrêt τ\tau tels que la valeur du portefeuille domine le gain à chaque instant et coïncide avec celui de l’option au temps τ\tau. Cette stratégie, appelée stratégie de couverture, garantit la protection du vendeur contre tous les exercices possibles, même ceux anticipés avec connaissance parfaite du futur.

Le cadre décrit souligne l’interaction complexe entre la stratégie d’exercice, les mesures martingales équivalentes, et la structure du marché, qui ensemble déterminent l’évaluation rigoureuse des options américaines. L’absence d’arbitrage impose des contraintes fortes sur les prix, mais la diversité des stratégies d’exercice et l’incomplétude potentielle du marché introduisent un éventail de valeurs possibles.

Au-delà de cette formalisation mathématique, il est essentiel de comprendre que la modélisation des options américaines ne se limite pas à un simple calcul d’espérance. La nature adaptative de l’exercice, la dépendance à l’information progressive, et l’incertitude sur la dynamique des prix imposent une réflexion profonde sur la construction des modèles probabilistes et leur cohérence économique. L’évaluation des options américaines incarne ainsi un équilibre subtil entre théorie probabiliste avancée, arbitrage, et optimisation stratégique.

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