Comment évaluer les champs de vecteurs et les formes différentielles sous transformation ?

La compréhension de la manière dont les formes différentielles et les champs de vecteurs se transforment sous le changement de coordonnées est essentielle pour saisir la géométrie différentielle dans son essence. L’opération de pullback (ou "retrait") permet d’exprimer une forme différentielle définie sur un espace-cible en fonction des coordonnées de l’espace-source, via une application différentiable. Cette opération préserve la structure différentielle tout en l’adaptant à la nouvelle carte.

Un autre exemple plus élaboré est fourni par la transformation sphérique $\psi(\varphi, \theta) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$, mappant $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$. Soit $\omega = z\,dx$, une 1-forme définie sur $\mathbb{R}^3$. En calculant $\psi^*(\omega)$, on dérive les composantes selon $\varphi$ et $\theta$, menant à une nouvelle expression de $\omega$ sur $\mathbb{R}^2$, à savoir $\psi^*(\omega) = \cos^2\varphi\cos\theta\,d\varphi - \sin\varphi\cos\varphi\cos\theta\,d\theta$. Ce calcul démontre la subtilité des interactions entre les coordonnées et les champs.

Les propriétés algébriques de ces opérateurs différentiels sont cruciales. Par exemple, si $X$ et $Y$ sont des champs de vecteurs, alors leur crochet de Lie $[X,Y]$ est défini comme le champ associé à l'opérateur différentiel $L(f) = X(Yf) - Y(Xf)$. Ce crochet vérifie la bilinéarité, l’antisymétrie, ainsi que l’identité de Jacobi :

Ces propriétés font du module des champs de vecteurs une algèbre de Lie, avec des implications profondes pour la dynamique des systèmes.

Lorsqu'on évalue le crochet de Lie de deux champs, tel que dans l’exemple $A = (x^2 + y)\partial_x + (y^2 + 1)\partial_y$, $B = (y - 1)\partial_x$, on trouve un nouveau champ en calculant les dérivées croisées, obtenant ici :

À l’origine, ce champ s’annule, indiquant une commutation locale entre $A$ et $B$.

L’un des résultats remarquables est que toute forme bilinéaire obtenue par l’évaluation de deux champs $X,Y$ sur une 1-forme $\mu$, soit $\mu(X,Y) = X(\mu(Y)) - Y(\mu(X)) - \mu([X,Y])$, permet de mesurer une non-commutativité ou une courbure locale.

1. $v \wedge v = 0$,

2. $v \wedge w = -w \wedge v$,

3. $(av_1 + bv_2) \wedge w = a(v_1 \wedge w) + b(v_2 \wedge w)$.
   Ces règles définissent l’algèbre extérieure, où les formes différentielles s’organisent selon leur degré, et où les opérations algébriques capturent la structure antisymétrique naturelle des orientations dans l’espace.

La compréhension des formes extérieures est essentielle, notamment dans les théorèmes fondamentaux comme celui de Stokes, qui repose sur la structure antisymétrique du produit extérieur et du différentiel extérieur.

Pour que l’ensemble soit cohérent et exploitable, il faut impérativement comprendre que :

• Le pullback est un outil fondamental de changement de variables, et s’applique à toute forme différentielle, pas seulement aux 1-formes.

• Les champs de vecteurs ne sont pas de simples objets algébriques : ils modélisent des directions de déplacement et agissent comme des opérateurs différentiels.

• Le crochet de Lie mesure la non-commutativité des champs, ce qui est intimement lié à la géométrie intrinsèque de la variété.

• L’interaction entre les formes différentielles et les champs (via l’évaluation ou la contraction) est à la base du calcul tensoriel.

• Le produit extérieur est le socle de la construction des formes différentielles de degré supérieur, essentielles pour la géométrie intégrale.

Quelle est la structure géométrique des formes différentielles sur les variétés en dimension trois ?

Le théorème 8.3 formalise deux identités fondamentales : premièrement, que l’application de $*$ deux fois sur une $p$-forme $\omega$ donne $*(*\omega) = (-1)^{p(n-p) + (n - s)/2}\omega$, où $s$ désigne la signature de la métrique ; deuxièmement, que pour deux $p$-formes $\omega$ et $\mu$, leur produit extérieur avec leurs images par $*$ satisfait $\omega \wedge *\mu = (*\mu) \wedge \omega = (-1)^{(n - s)/2} (\omega, \mu) \sigma$, ce qui souligne le rôle central de l’opérateur de Hodge dans la formulation de produits scalaires généralisés.

Le lemme de Poincaré inversé affirme que si une $p$-forme fermée $\omega$ (c’est-à-dire telle que $\mathrm{d}\omega = 0$) est donnée, alors il existe localement une $(p-1)$-forme $\mu$ telle que $\mathrm{d}\mu = \omega$. Cette existence n’est pas unique ; deux primitives diffèrent par une forme exacte. Ce résultat est essentiel pour généraliser des propriétés bien connues du calcul vectoriel : un champ de vecteurs sans rotation admet un potentiel scalaire, un champ de vecteurs sans divergence admet un potentiel vectoriel. Le langage des formes différentielles offre une unification élégante de ces faits.

Dans une autre direction, en considérant des variétés lisses plongées dans $\mathbb{R}^3$, la structure des formes différentielles permet de formaliser l’étude de la géométrie des surfaces. On introduit alors des repères mobiles $(e_1, e_2, e_3)$, où $e_1$ et $e_2$ sont tangents à la surface et $e_3$ est normal. L’évolution de ces vecteurs est décrite par les équations structurelles de Cartan : $\mathrm{d}x = \mu_i e_i$, $\mathrm{d}e_i = \gamma_{ij} e_j$, avec $\mu_i$, $\gamma_{ij}$ des 1-formes.