Quelles sont les propriétés fondamentales des solutions faibles dans les problèmes elliptiques linéaires ?

Nous considérons la séquence de restrictions à Ω+ de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Nous pouvons supposer, si nécessaire, en extrayant une sous-suite, que $u_n \to u$ faiblement dans $H^1(\Omega+)$ lorsque $n \to +\infty$, et le théorème 1.37 nous donne $u_n \to u$ dans $L^2(\Omega+)$, ce qui implique que $\|u\|_{L^2(\Omega+)} = 1$. Puisque $\nabla u_n \to 0$ dans $L^2(\Omega+)^N$, cela signifie que $\nabla u = 0$ presque partout, et donc $u$ est une fonction constante (Problème 1.4). Cependant, la trace de $u_n$ sur le bord de $\Omega+$ est nulle (car $u \in H$); l'opérateur trace étant continu de $H^1(\Omega+)$ vers $L^2(\partial \Omega+)$, on en déduit que la trace de $u$ sur le bord de $\Omega+$ est nulle. Cela conduit à une contradiction, car $u = 0$ presque partout, ce qui est en désaccord avec $\|u\|_{L^2(\Omega+)} = 1$. Bien entendu, un raisonnement similaire peut être effectué pour $\Omega-$.

L'espace $H$ est un espace de Hilbert (avec le produit scalaire de $H^1(\Omega)$). On définit $a$ de $H \times H$ vers $\mathbb{R}$ par :

La forme $a$ est une forme bilinéaire symétrique continue (grâce à la continuité des opérateurs $\gamma^+$ et $\gamma^-$ de $H$ vers $L^2(I)$). La question 3 montre qu'elle définit un produit scalaire sur $H$ équivalent au produit scalaire de $H^1(\Omega)$, car $a(u, u) \geq \int_{\Omega} |\nabla u(x)|^2 \, dx$. D'autre part, l'application $v \mapsto \int_{\Omega} f(x) v(x) \, dx$ appartient à $H'$ (car $f \in L^2(\Omega)$). Le théorème de représentation de Riesz dans un espace de Hilbert (voir par exemple [26], théorème 6.56) donne alors l'existence et l'unicité de la solution faible $u$ au problème (2.33).

En prenant $v = u_n$ dans (2.33), et en notant que $\int_{\Omega} f(x) u_n(x) \, dx \leq \|f\|_{L^2(\Omega)} \|u\|_{L^2(\Omega)}$, nous montrons que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $H^1(\Omega)$, et qu'il existe une constante $C \in \mathbb{R}^+$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

Nous pouvons donc supposer qu'une sous-suite de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge faiblement dans $H^1(\Omega)$, et donc faiblement dans $H^1(\Omega+)$ et $H^1(\Omega-)$. Plus précisément, il s'agit de la convergence des restrictions de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à $\Omega+$ et $\Omega-$. Les opérateurs $\gamma^\pm$ étant continus de $H^1(\Omega^\pm)$ vers $L^2(I)$, nous avons également $\gamma^\pm u_n \to \gamma^\pm u$ faiblement dans $L^2(I)$, car un opérateur continu entre deux espaces de Banach transforme une suite convergente faiblement en une suite convergente faiblement (voir à ce sujet le Problème 1.22). En fait, ici, nous pourrions même montrer la convergence de la suite $(\gamma^\pm u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $L^2(I)$. L'inégalité (2.73) montre que $\gamma^+ u_n(x) - \gamma^- u_n(x) \to 0$ dans $L^2(I)$, et donc $\gamma^+ u = \gamma^- u$ presque partout sur $I$.

En prenant $\varphi \in D(\Omega)$, une intégration par parties (Théorème 1.33) sur $\Omega+$ et $\Omega-$ donne $u \in H^1(B)$ et $D_i u = D_i u$ presque partout sur $\Omega^\pm$. Puisque $\gamma_0 u = 0$ presque partout sur $\partial B$, on en déduit $u \in H^1_0(B)$. En prenant ensuite $v \in H^1_0(B)$ dans (2.33), nous obtenons que $u$ est la solution du problème :

Grâce au théorème (2.6), la solution de ce problème est unique, et une preuve classique par l'absurde montre que l'ensemble complet $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $u$ faiblement dans $H^1(\Omega)$. En résumé, une fois que la convergence faible dans $H^1(\Omega)$ est établie, nous pouvons conclure que la solution $u$ existe et est unique, et que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge faiblement vers $u$ dans $H^1(\Omega)$.

Comment prouver l'existence de solutions aux problèmes elliptiques quasi-linéaires à l'aide du théorème de Schauder ?

Soit $x \in E$, $\| x \| \leq R$ et $f$ une application compacte de $B_R$ dans $B_R$ (c'est-à-dire que $f$ est continue et $\{ f(x), x \in B_R \}$ est relativement compacte dans $E$). On affirme que $f$ admet un point fixe, ce qui signifie qu'il existe un $x \in B_R$ tel que $f(x) = x$. La démonstration est très proche de celle du Théorème 3.5. Si un $x \in \partial B_R$ existe tel que $f(x) = x$, il n'y a rien d'autre à prouver. En supposant que $f(x) \neq x$ pour tous les $x \in \partial B_R$, posons $\Omega = \{ x \in E, \| x \| < R \}$ (ce qui donne $B_R = \overline{\Omega}$) et, pour $t \in [0, 1]$ et $x \in B_R$, définissons $h(t, x) = t f(x)$. Il est à noter que $x - h(t, x) \neq 0$ pour tous les $x \in \partial \Omega = \{ x \in E, \| x \| = R \}$. La compacité de $h$ découle de celle de $f$. Ainsi, $d(Id - h(1, \cdot), \Omega, 0) = d(Id - h(0, \cdot), \Omega, 0) = d(Id, \Omega, 0) = 1$, et donc il existe un $x \in \Omega$ tel que $f(x) = x$.

Le théorème de Schauder (Théorème 3.11) devient faux si l'on remplace l'hypothèse de compacité de $f$ par une simple hypothèse de continuité. Toutefois, la difficulté principale lorsqu'on utilise ce théorème (ou, plus généralement, en utilisant le degré topologique) réside souvent dans la démonstration de la continuité de $f$ (ou, dans le cas du degré topologique, de la continuité de l'application $h$ du Théorème 3.8).

L’objectif est maintenant d’utiliser le théorème de point fixe de Schauder pour prouver l’existence d’une solution à un problème elliptique quasi-linéaire. Examinons d’abord les hypothèses, et commençons par définir une fonction de Carathéodory.

Définition d'une fonction de Carathéodory : Soient $N, p, q \in \mathbb{N}$ et $\Omega$ un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^N$. Soit $a$ une fonction de $\Omega \times \mathbb{R}^p$ vers $\mathbb{R}^q$. On dit que $a$ est une fonction de Carathéodory si $a(\cdot, s)$ est borélienne pour tout $s \in \mathbb{R}^p$ et $a(x, \cdot)$ est continue presque partout en $x \in \Omega$.

En supposant les conditions suivantes :

• $\Omega$ est un sous-ensemble ouvert et borné de $\mathbb{R}^N$,

• $a : \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction de Carathéodory,

• il existe $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ tels que $\alpha \leq a(\cdot, s) \leq \beta$ presque partout et pour tous $s \in \mathbb{R}$,

• $f : \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction de Carathéodory et $f \in L^\infty(\Omega \times \mathbb{R})$,

on cherche à prouver l'existence d'une solution $u$ au problème suivant :

Le théorème 3.14 (Existence, terme de droite borné) garantit qu'il existe une solution $u$ sous ces hypothèses.

La démonstration repose sur l'existence et l'unicité de la solution à un problème linéaire elliptique, que l'on peut obtenir en appliquant le Théorème 2.6. On réécrit le problème sous la forme $a_i, j = 0$ si $i \neq j$, $a_i, i = a(\cdot, \bar{u})$ et $f = f(\cdot, \bar{u})$, ce qui nous permet d'utiliser le théorème pour garantir l'existence et l'unicité de la solution $u$ à ce problème linéaire. Un point fixe de l'application $T$ est alors une solution au problème original.

En utilisant le théorème de Schauder, on peut également prouver l’existence d’un point fixe pour l’application $T$, ce qui implique l’existence d’une solution à notre problème quasi-linéaire elliptique. La difficulté réside dans la démonstration de la continuité de $T$. Une fois que cela est montré, la compacité et les propriétés de continuité permettent de conclure à l’existence de solutions via les théorèmes classiques de point fixe.

Ainsi, bien que le théorème de Schauder repose sur des hypothèses de compacité de l'application, l’utilisation de méthodes comme la régularité des solutions et la compacité permet de lever les difficultés techniques associées. Pour un lecteur, il est important de bien comprendre le rôle de la continuité et de la compacité dans ces démonstrations, ainsi que la nécessité de travailler avec des espaces fonctionnels adaptés, comme $L^2(\Omega)$ et $H_0^1(\Omega)$, qui sont des cadres naturels pour traiter de tels problèmes.

Comment résoudre les problèmes elliptiques quasi-linéaires avec croissance et coercivité

Les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires elliptiques, dans des espaces fonctionnels appropriés, posent des défis importants dans la recherche de solutions efficaces. Parmi les outils utilisés pour traiter ces problèmes, les méthodes de faible convergence et les théorèmes de coercivité jouent un rôle clé dans la détermination de solutions fortes. En particulier, lorsque les fonctions impliquées sont mesurables et satisfont certaines hypothèses de croissance et de coercivité, il est possible d'établir l'existence et l'unicité des solutions en s'appuyant sur une approche variée.

Prenons, par exemple, une équation du type $\int_{\Omega} a(x, u(x), \nabla u(x)) \cdot \nabla v(x) \, dx = \langle f, v \rangle$, où $a(x, u(x), \nabla u(x))$ est une fonction mesurable. Cette équation est bien posée lorsque la fonction $a$ satisfait certaines hypothèses de croissance, assurant ainsi que la fonction $a(\cdot, u, \nabla u)$ appartient à l'espace $L^{p'}(\Omega)$ pour tout $u \in W^{1,p}(\Omega)$. Ces conditions permettent de garantir que le produit de $a(x, u(x), \nabla u(x))$ avec un test fonctionnel $v$, tiré de l'espace $W^{1,p}(\Omega)$, reste intégrable.

L’approche la plus courante pour résoudre ces équations consiste à utiliser des familles de fonctions de base, telles que les $f_n$, denses dans $W_0^{1,p}(\Omega)$, pour approximations successives. À chaque étape, on résout des problèmes dans des sous-espaces finis $E_n$, en utilisant la continuité et la coercivité de l’opérateur $T_n(u)$ qui associe à chaque fonction test $v$ une valeur de l’intégrale de $a(x, u(x), \nabla u(x)) \cdot \nabla v(x)$.

Ce processus consiste à rechercher des solutions approchées $u_n \in E_n$ pour des systèmes de dimension finie. L’existence de solutions approchées découle directement du Lemma 3.29, qui garantit la continuité et la coercivité de $T_n$. L'étape suivante est de prendre la limite lorsque $n \to +\infty$, ce qui permet de récupérer une solution du problème d’origine. La convergence faible de $u_n$ dans $W_0^{1,p}(\Omega)$ et l’application du théorème de convergence dominée permettent de prouver que la solution limite $u$ satisfait l’équation elliptique quasi-linéaire.

Lorsqu’il existe une solution approximée $u_n$, il est essentiel de vérifier que la convergence de $u_n$ vers $u$ est suffisamment régulière pour que les termes impliqués dans la formulation du problème soient également convergents. Une fois cela prouvé, l’unicité de la solution peut être garantie, comme le montre la stricte monotonicité de la fonction $a$ et l’analyse des termes de la limite.

Il est également important de noter que l’approche ne repose pas uniquement sur la convergence des suites $u_n$, mais sur un contrôle strict des fonctions impliquées dans le processus de convergence. En particulier, la coercivité et la croissance contrôlée des termes dans l’opérateur $a$ assurent que les suites $\nabla u_n$ sont uniformément bornées, évitant ainsi des divergences ou des comportements indéfinis.

Enfin, il est crucial de comprendre que la stratégie présentée repose sur des propriétés spécifiques de l’espace fonctionnel $W_0^{1,p}(\Omega)$, sur la régularité des fonctions $a(x, u, \nabla u)$, et sur l’utilisation rigoureuse de théorèmes de convergence dans des espaces de Sobolev. La réussite de cette méthode repose sur l’hypothèse que les fonctions $u_n$ et $v_n$ convergent convenablement dans les espaces $W_0^{1,p}(\Omega)$ et que la convergence des termes intégrés est suffisamment rapide pour garantir la validité de la solution dans l’espace $L^{p'}(\Omega)$.

Le lecteur devrait bien comprendre qu’au-delà des simples solutions approchées, l'approche implicite dans cette démonstration exige de maîtriser les concepts de convergence faible et forte dans des espaces fonctionnels, de croissance des termes non linéaires et de la coercivité des opérateurs. Cela permet non seulement de trouver des solutions pratiques aux équations différentielles, mais aussi de s’assurer que ces solutions sont uniques et bien comportées dans un cadre rigoureux de calculs fonctionnels.