Qu'est-ce que les géodésiques et la différentiation covariante sur les variétés riemanniennes ?

Les vecteurs tangents à une surface paramétrée jouent un rôle fondamental dans la définition de la métrique intrinsèque de la variété. Par exemple, sur la sphère de rayon $r$ , les vecteurs tangents s'expriment par $x_\theta = (-r \sin \varphi \sin \theta, r \sin \varphi \cos \theta, 0)$ et $x_\varphi = (r \cos \varphi \cos \theta, r \cos \varphi \sin \theta, -r \sin \varphi)$ . Le produit scalaire de ces

Comment définir et comprendre la métrique riemannienne sur une surface ?

Le point de départ est la représentation locale d'une surface $S \subset \mathbb{R}^3$ par une application paramétrique $x(u,v)$ , où $(u,v)$ varient dans un domaine $U \subset \mathbb{R}^2$ . La condition essentielle que la matrice jacobienne $\frac{\partial x}{\partial (u,v)}$ ait rang 2 garantit que les vecteurs tangents $x_u$ et $x_v$ en un point $p = x(a,b)$ sont linéairement indépendants. Ainsi, le plan tangent en $p$ est engendré par ces deux vecteurs et tout vecteur tangent à une courbe passant par $p$ s'écrit comme une combinaison linéaire de $x_u(p)$ et $x_v(p)$ .

L'étude géométrique de la surface s'appuie alors sur la première forme fondamentale, qui exprime la métrique intrinsèque de la surface. La longueur infinitésimale $ds$ d'une courbe $\gamma(t) = x(u(t), v(t))$ est donnée par

ds^2 = \left\| \frac{dx}{dt} \right\|^2 dt^2 = (x_u \dot{u} + x_v \dot{v}) \cdot (x_u \dot{u} + x_v \dot{v}) dt^2,

ce qui s'explicite en une forme quadratique sur les différentielles $du, dv$ :

ds^2 = g_{11} du^2 + 2 g_{12} du dv + g_{22} dv^2,

où

g_{11} = x_u \cdot x_u, \quad g_{12} = g_{21} = x_u \cdot x_v, \quad g_{22} = x_v \cdot x_v.

Cette forme quadratique, appelée première forme fondamentale, induit une métrique riemannienne sur la surface. Les coefficients $g_{ij}$ forment la matrice du tenseur métrique qui dépend du choix de la paramétrisation, mais caractérise intrinsèquement la géométrie locale.

Par exemple, pour la sphère de rayon $R$ paramétrée en coordonnées sphériques, on obtient une métrique diagonale où les coefficients reflètent la symétrie sphérique. Pour un tore, la métrique est également calculable explicitement, montrant la dépendance géométrique aux paramètres $\theta, \varphi$ .

La métrique riemannienne est définie par la positivité définie de cette forme quadratique, ce qui assure une mesure cohérente des longueurs et angles. Ce cadre se généralise aux variétés $n$ -dimensionnelles dans $\mathbb{R}^m$ , avec $n \leq m$ , où la matrice jacobienne de la paramétrisation doit avoir rang maximal $n$ . La notion d'arc infinitésimal reste alors un outil fondamental pour étudier la géométrie intrinsèque des variétés.

La définition de formes fondamentales supplémentaires — deuxième et troisième — introduit la notion de courbure, reliant la géométrie intrinsèque à la courbure extrinsèque. La deuxième forme fondamentale associe la dérivée de la normale au plan tangent, quantifiant la manière dont la surface se courbe dans l’espace ambiant. La courbure gaussienne, produit des courbures principales, se révèle être un invariant intrinsèque, accessible uniquement via la métrique, indépendamment de l'immersion dans $\mathbb{R}^3$ , selon le célèbre théorème égrégium de Gauss. Cette propriété souligne que toute la géométrie locale d’une surface est encapsulée dans sa métrique, soulignant l’importance primordiale de la première forme fondamentale.

Le cadre présenté s’étend aux métriques pseudo-riemanniennes, où la forme quadratique n’est plus définie positive, ce qui permet de décrire la géométrie de l’espace-temps en relativité, avec des signatures métriques mixtes. Ainsi, la compréhension des métriques riemanniennes ouvre la voie à l’analyse géométrique dans divers contextes, de la géométrie pure aux applications physiques.

Il est essentiel de saisir que la métrique ne dépend pas uniquement de la paramétrisation choisie mais exprime une propriété intrinsèque du manifold. Les transformations de coordonnées régulières préservent la forme quadratique via une transformation tensorielle des coefficients métriques, assurant la cohérence des mesures géométriques malgré le changement de variables. Cette invariance tensorielle est le fondement des notions modernes en géométrie différentielle.

Enfin, bien que les formes fondamentales secondaires soient utiles pour illustrer la courbure et certaines propriétés extrinsèques, la géométrie intrinsèque repose essentiellement sur la première forme fondamentale et ses dérivées. La capacité à exprimer la courbure gaussienne uniquement via la métrique confirme cette priorité.

Comprendre cette construction est fondamental pour l’étude avancée des surfaces et des variétés, tant dans la géométrie pure que dans ses applications aux sciences physiques, notamment en relativité générale où la notion de métrique pseudo-riemannienne joue un rôle central.

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