Comment prouver le théorème de Nullstellensatz de Hilbert

Le théorème de Nullstellensatz est l'un des résultats centraux de la géométrie algébrique. Il établit une correspondance profonde entre les idéaux dans un anneau de polynômes et les ensembles algébriques. Nous démontrerons ici une version fondamentale de ce théorème en suivant une approche inductive, en nous appuyant sur des propriétés géométriques des idéaux dans $k[x_1, \dots, x_n]$, où $k$ est un corps algébriquement clos.

1. Cas où $I = (0)$ : Si l’idéal est nul, alors $V(I)$ correspond à l’ensemble $\mathbb{A}^n_k$, qui est toujours non vide. Ce cas est trivial.

2. Cas général où $I \neq (0)$ : Si $I$ est un idéal propre, il existe un polynôme non constant $f \in I$. Par le lemme de changement de coordonnées, nous pouvons supposer, sans perte de généralité, que ce polynôme est monique en $x_1$. À ce stade, la projection de $V(I)$ sur $V(I_1)$, où $I_1$ est l'idéal engendré par $f$, est surjective. Si $I_1$ est propre, alors, par hypothèse d'induction, $V(I_1)$ est non vide. Cela montre que $V(I)$ est également non vide.

Ainsi, en utilisant un raisonnement inductif et en modifiant les coordonnées, nous prouvons que $V(I) \neq \emptyset$ pour tout idéal propre $I$.

L'énoncé du théorème de la tour de projections

Le théorème de la tour de projections (ou théorème de projection) est une extension du Nullstellensatz, qui s'applique à des idéaux plus complexes et décrit comment les projections sur les sous-espaces peuvent être surjectives tout en gardant des fibres finies. Soit $I \subset k[x_1, \dots, x_n]$ un idéal propre et $I_j$ les idéaux d’élimination définis par $I_j = I \cap k[x_{j+1}, \dots, x_n]$, où $j$ est un indice variant de $0$ à $c$. Le théorème stipule que si, pour chaque $j$, l'idéal $I_j$ contient un polynôme monique en $x_{j+1}$ de degré $d_j$, alors la projection de $V(I)$ sur les $n - c$ derniers composants est surjective, et chaque fibre de cette projection contient au plus $\prod_{j=0}^{c-1} d_j$ points.

Ce théorème présente une manière d'analyser la structure géométrique des ensembles algébriques en étudiant leurs projections sur des sous-espaces, un outil essentiel dans l’étude des variétés algébriques complexes.

Le Nullstellensatz fort de Hilbert

Lien entre idéaux et ensembles algébriques

Les correspondances entre idéaux et ensembles algébriques sont au cœur de la géométrie algébrique. L’idéalisme de cette approche permet de lier des objets géométriques tels que les variétés algébriques aux structures algébriques des anneaux de polynômes. Par exemple, pour un sous-ensemble algébrique $A \subset \mathbb{A}^n$, l’idéal de vanishing $I(A)$ est l’idéal des polynômes qui s’annulent sur $A$, et réciproquement, l’ensemble des zéros d’un idéal $I$ correspond à l’ensemble $V(I)$.

Interprétation géométrique des propriétés des idéaux

Il est crucial de comprendre que les propriétés des idéaux, comme leur radicalité ou leur localisation, ont des implications géométriques profondes. Par exemple, un idéal radical caractérise une variété géométrique dans le sens où il encode non seulement les points de la variété mais aussi sa structure locale. De plus, les opérations sur les idéaux, comme l’intersection, la somme et la multiplication, se reflètent dans les propriétés géométriques des variétés correspondantes.

Quelle est la relation entre les idéaux radicaux et les ensembles algébriques irréductibles ?

Soit $J = ( f_1, \dots, f_r )$ un idéal dans un anneau $K[x_1, \dots, x_n]$, et supposons que $f \in I(V(J))$. Nous devons démontrer que $f^m \in ( f_1, \dots, f_r )$ pour un certain $m \in \mathbb{N}$. Pour ce faire, utilisons un procédé ingénieux de Rabinowitch : considérons une variable supplémentaire $y$ et l’idéal $( f_1, \dots, f_r, y f - 1 ) \subset K[x_1, \dots, x_n, y]$. Si $(a, b) \in A^n \times A^1$ appartient à $V( f_1, \dots, f_r, y f - 1)$, alors $f_1(a) = 0, \dots, f_r(a) = 0$. Ainsi, $a \in V(J)$. Cela implique que $f(a) = 0$, et que le dernier polynôme ne s’annule pas, car $( f y - 1)(a, b) = f(a)b - 1 = -1, 0$. Par conséquent, $V( f_1, \dots, f_r, y f - 1) = \emptyset$, et la version faible du Nullstellensatz, Théorème 1.1.11, implique que $1 = g_1 f_1 + \dots + g_r f_r + g_{r+1}(y f - 1)$ pour des polynômes $g_1, \dots, g_{r+1} \in K[x_1, \dots, x_n, y]$. Soit $m$ la puissance maximale dans laquelle $y$ apparaît dans $g_1, \dots, g_r$. Alors $f^m \equiv \tilde{g}_1 f_1 + \dots + \tilde{g}_r f_r \mod ( y f - 1 )$ pour des polynômes $\tilde{g}_1, \dots, \tilde{g}_r \in K[x_1, \dots, x_n]$, car on peut éliminer l’apparition de $y$ dans $f^m g_i$ en utilisant $f y \equiv 1 \mod ( y f - 1 )$. Puisque $K[x_1, \dots, x_n]$ est un sous-anneau de $K[x_1, \dots, x_n, y] / ( y f - 1 )$, on obtient $f^m = \tilde{g}_1 f_1 + \dots + \tilde{g}_r f_r \in K[x_1, \dots, x_n]$. Ainsi, $f \in \text{rad}(J)$.

L'application de ce principe aux idéaux premiers et maximaux nous mène à des correspondances géométriques importantes. Par exemple, un idéal premier dans un anneau de polynômes $K[x_1, \dots, x_n]$ correspond à un ensemble algébrique irréductible, et un idéal maximal correspond à un point de $A^n$. Ces identifications permettent de mieux comprendre la structure géométrique des variétés algébriques.

Un autre point crucial dans cette discussion est la définition des ensembles algébriques irréductibles. Si un ensemble algébrique $A$ est irréductible, cela signifie que $A$ ne peut pas être exprimé comme l’union de deux sous-ensembles algébriques propres. Cette notion est fondamentale dans la classification des variétés et est directement liée à la structure de l’idéal associé à cet ensemble.

En poursuivant, il est important de noter que les variétés algébriques peuvent être caractérisées par leurs idéaux radicaux, et que ces idéaux radicaux peuvent être décomposés en idéaux premiers ou maximaux. Cette décomposition est comparable à la décomposition d’un ensemble algébrique en ses composants irréductibles. La compréhension de ces structures est essentielle pour progresser dans l’étude des variétés algébriques et pour manipuler les idéaux associés à ces ensembles.

Quelle est la semi-continuité de la dimension des fibres dans les morphismes projectifs?

Dans le cadre des variétés algébriques projectives, la notion de morphisme entre variétés, et plus spécifiquement la dimension des fibres, constitue un aspect fondamental de l’étude géométrique. Un résultat clé de la géométrie algébrique est la semi-continuité de la dimension des fibres, qui fournit une information essentielle sur le comportement de la dimension des fibres d’un morphisme projectif.

Prenons un exemple pour mieux illustrer ce concept. Considérons la surface $X = V(y^2z - x^2(t^2z - x)) \subset P^2 \times A^1$ et son projection $\varphi : X \rightarrow A^1$, où $A^1$ est une variété affine. On peut observer que les fibres de cette projection peuvent avoir des dimensions différentes selon les points $q \in A^1$. La semi-continuité permet de garantir que la variation de la dimension des fibres se fait de manière régulière, sans sauts brusques. Ce résultat repose sur l'idée que les fibres de dimension supérieure à un certain $r$ se rencontrent de manière structurée dans l’espace de base.

Un autre résultat important dans ce contexte est celui relatif à la dimension des fibres générales dans le cadre des morphismes projectifs surjectifs. Pour un morphisme projectif surjectif $\varphi : X \rightarrow Y$, il existe une relation entre la dimension de la fibre $X_q$ et les dimensions des variétés $X$ et $Y$ telles que $\dim X_q \geq \dim X - \dim Y$, avec égalité obtenue sur un sous-ensemble dense de $Y$. Ce résultat montre que la dimension des fibres n'est pas arbitrairement grande, mais reste contrôlée par les dimensions des variétés de départ et d’arrivée.

De plus, en considérant le cas de variétés affines, on peut appliquer ces principes pour mieux comprendre la relation entre les idéaux associés aux variétés et leurs images sous projection. Par exemple, dans le cas des variétés définies par des idéaux homogènes, on peut démontrer qu’il existe un sous-ensemble ouvert $U \subset Y$ où la fonction Hilbert des idéaux associés à chaque fibre reste constante.

Un autre aspect que l’on ne doit pas négliger est l'utilisation de ces résultats dans la résolution de singularités. Par exemple, les blow-ups, une opération géométrique fondamentale, sont utilisés pour éliminer les singularités dans les variétés algébriques. Cela montre qu’une compréhension approfondie de la dimension des fibres dans les morphismes projectifs est cruciale pour la résolution de singularités, un sujet essentiel en géométrie algébrique.

En conclusion, bien que la semi-continuité de la dimension des fibres apporte un cadre rigoureux à l’étude des morphismes projectifs, il est crucial de comprendre que ce concept a des implications bien au-delà de la simple variation de dimension des fibres. Il interagit étroitement avec des outils géométriques plus larges, comme les bases de Gröbner, la résolution de singularités, et les propriétés topologiques des variétés algébriques, créant ainsi un réseau complexe de résultats interdépendants qui forment la base de nombreuses recherches en géométrie algébrique moderne.

Quelles sont les propriétés géométriques et algébriques des courbes canoniques en lien avec les tables de Betti et les syzygies ?

Soit $C$ une courbe lisse et projective de genre $g$ intégralement plongée dans $\mathbb{P}^{g-1}$, son espace projectif. La courbe $C$ est dite canonique, ce qui implique qu'elle possède une série linéaire spéciale, notamment une série de diviseurs $K_C$ qui engendre une condition de dégénérescence pour la géométrie de la courbe dans son espace ambiant. Une des questions clés dans l’étude des courbes canoniques réside dans la manière dont leur géométrie affecte leurs syzygies et leur résolution libre minimale.

Les tables de Betti des courbes canoniques dépendent fortement du genre $g$ de la courbe. Par exemple, pour une courbe canonique de genre $g = 5, 6$, ou 7, les Betti tables révèlent des symétries spécifiques, et certaines configurations se produisent en fonction de l’existence de séries linéaires spéciales sur la courbe, comme les séries $g_1^4$ ou $g_2^5$. Ces séries linéaires jouent un rôle crucial dans la détermination de la structure de la résolution libre.

L’index de Clifford joue également un rôle central dans la compréhension de ces propriétés. Ce nombre, qui mesure la "complexité" de la courbe, détermine en partie les propriétés des syzygies et la structure des matrices de Betti. Par exemple, la conjecture de Green et Lazarsfeld relie l'index de Clifford à l’annulation des nombres de Betti dans certaines positions spécifiques.

La résolution minimale d’une courbe canonique implique une étude détaillée de la matrice de syzygies, où les mineurs 2x2 des matrices de formes linéaires peuvent se vanter de disparaitre ou de se simplifier sous certaines conditions géométriques. Ce phénomène montre que les relations géométriques simples, comme les projections de coniques ou les intersections de surfaces, ont une incidence directe sur la résolution algébrique de la courbe.

Les courbes de genre faible, par exemple, celles de genre 5 ou 6, présentent des structures algébriques plus simples, et leur étude fournit un aperçu utile pour comprendre des résolutions plus complexes de genres plus élevés. Ainsi, l'analyse des tables de Betti, associée à l’étude des syzygies et de l’index de Clifford, permet de mieux comprendre les propriétés géométriques et algébriques des courbes canoniques et de leur résolution.