Est-ce que f+gf + gf+g appartient à Lp(X,v,E)L^p(X, v, E)Lp(X,v,E) ?

Nous commencerons par démontrer que $f + g$ appartient à $L^p(X, v, E)$. En notant l’inégalité $|a + b|_p \leq 2^{p-1} (|a|_p + |b|_p)$ pour $a, b \in E$, nous obtenons l’inégalité suivante :

Cela prouve que $\|f + g\|_p \leq 2 \left( \|f\|_p + \|g\|_p \right)$, ce qui implique que $f + g \in L^p(X, v, E)$ dès lors que $f, g \in L^p(X, v, E)$. Cette propriété est fondamentale car elle garantit que l’addition de deux fonctions appartenant à $L^p$ reste dans $L^p$, ce qui est une des caractéristiques clés des espaces $L^p$.

Ce résultat peut également être étendu à l’étude des sous-espaces vectoriels de $L^p$. En effet, la somme $f + g$ appartient à $L^p(X, v, E)$ montre que l'ensemble des fonctions dans $L^p(X, v, E)$ forme un espace vectoriel, ce qui permet de construire des sous-espaces et d’étudier leurs propriétés de convergence. La structure d’espace vectoriel de $L^p$ est importante dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris l’analyse fonctionnelle et la théorie de l’intégration.

Enfin, la question de la convergence dans $L^p$ est intimement liée à celle des séries infinies. Si une suite de fonctions $(f_j)$ dans $L^p(X, v, E)$ est une suite de Cauchy, alors il existe une fonction $f \in L^p(X, v, E)$ telle que la suite $f_j$ converge vers $f$ presque partout (c'est-à-dire presque pour tous les points de $X$). Ce processus de convergence dans $L^p$ est important pour la compréhension des séries infinies de fonctions, où les termes de la série sont des éléments d'un espace $L^p$.

Un autre aspect à considérer est que les espaces $L^p(X, v, E)$ sont souvent inclus dans des espaces $L^q(X, v, E)$ pour $p < q$, ce qui crée des relations intéressantes entre les différentes classes d'intégrabilité. En conséquence, on peut utiliser ces inclusions pour analyser des propriétés de régularité et de convergence pour des fonctions appartenant à ces espaces.

Comment comprendre la théorie locale des formes différentielles sur une variété ?

La notation $Q^r(X)$ désigne l'ensemble des formes différentielles de degré $r$ sur la variété $X$. Par convention, l'ensemble des champs de vecteurs lisses sur $X$ est noté $V(X)$, et les fonctions lisses sur $X$ par $E(X)$. Les formes différentielles $a$ de degré $r$ sont souvent considérées comme des éléments de $Q^r(X)$, et on peut associer à chaque forme $a$ un vecteur partiel $a$ et un champ de vecteurs $v$, en utilisant la relation $a(v_1, ..., v_r)(x) = a(x)(v_1(x), ..., v_r(x))$, ce qui permet d'établir une identification entre une forme $r$-différentielle et ses parties covecteurs et vecteurs. Cette identification évite toute ambiguïté dans les notations, simplifiant ainsi les calculs et les démonstrations.

Les notions de régularité et de classe $C^k$ jouent également un rôle fondamental. Une forme différentielle $a$ appartient à la classe $C^k(X)$ si et seulement si ses coefficients dans une base canonique sont de classe $C^k$, ce qui garantit la continuité et la différentiabilité des formes différentielles locales. Cette régularité permet de mieux comprendre la structure des variétés différentiables et les comportements locaux des objets géométriques associés.

Un exemple classique de calcul avec des formes différentielles est celui des formes de Pfaff, qui sont des formes 1-différentielles particulières. En utilisant une base canonique de $\mathbb{R}^m$, une forme de Pfaff $a \in Q^1(X)$ s'exprime sous la forme $a = a_j dx_j$, où $dx_j$ représente les différentielles des coordonnées locales. Plus généralement, une forme de degré $m-1$ s'écrit comme une combinaison de produits extérieurs de différentielles, et ce type d'expressions permet de représenter des géométries complexes sur $X$.

Enfin, le comportement des formes différentielles sous des transformations de coordonnées est un aspect essentiel de cette théorie. Par exemple, dans le cas de coordonnées polaires sur $\mathbb{R}^2$, le pull-back de la forme $dx \wedge dy$ par la carte polaire $(r, \theta) \to (x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ donne la forme $r dr \wedge d\theta$, illustrant la façon dont les formes différentielles peuvent changer sous des transformations non linéaires.

Comment un modèle de Hm peut-il être représenté par Rm avec des coordonnées polaires ?

Nous pouvons représenter l'espace hyperbolique $H^m$ comme un modèle géométrique en utilisant des coordonnées polaires dans un espace euclidien. Si l'on fournit à l'espace $R^m$ la métrique $(dr)^2 + r^2 \, g_{S^{m-1}}$, où $r \in \mathbb{R}^+$ et $a \in S^{m-1}$, alors cet espace $R^m$ devient un modèle de l'espace hyperbolique $H^m$. Cette construction est basée sur la projection de la géométrie de l'espace hyperbolique sur un sous-espace euclidien de dimension $m$, en utilisant des coordonnées polaires adaptées.

L'une des principales propriétés que l'on cherche à vérifier pour que ce modèle soit valide, c'est la positivité définie de la forme bilinéaire induite sur la surface $M^m$, qui est une sous-variété de $R^{m+1}$. Pour cela, on utilise un difféomorphisme entre $M^m$ et $R^m$, qui est donné par la projection sur la première composante de la fonction $u : R^m \to R^{m+1}$, où l'on a $u(x) = \left( \frac{1}{1 + |x|^2}, x \right)$. Ce difféomorphisme garantit que la structure géométrique de l'espace hyperbolique peut être répliquée dans un espace euclidien à l'aide de cette projection.

En parallèle, l'indépendance de la base angulaire $S^{m-1}$, qui représente les coordonnées sphériques sur le "cercle" de dimension $m-1$, est une autre caractéristique notable de cette approche. Le fait que la métrique de $S^{m-1}$ soit indépendante de la variable radiale $r$ reflète l'invariance de la géométrie hyperbolique sous transformations de l'espace de coordonnées, une propriété fondamentale de l'espace hyperbolique.

Les conséquences de cette représentation sont nombreuses, notamment pour les études de la géométrie des variétés hyperboliques, ainsi que pour la modélisation de phénomènes physiques et mathématiques dans des espaces courbes. L'espace $R^m$, sous cette forme, permet une interprétation géométrique simplifiée tout en conservant les propriétés essentielles de l'espace hyperbolique. Cela en fait un outil puissant pour explorer les bases des modèles en géométrie différentielle et en théorie des variétés.