Mikä on Shell Crossing ja sen rooli Lemaître–Tolman -geometriassa?

Lemaître–Tolman -mallissa massatiheys kasvaa äärettömäksi, kun R,r = 0, mutta M,r ≠ 0. Tätä singulariteettia kutsutaan shell crossingiksi (SC). Shell crossing ilmenee paikoissa, joissa kahden vierekkäisen kerroksen välinen radiaalinen etäisyys menee nollaksi, vaikka niillä on eri arvot r. Jos R,r muuttuu merkittävästi tässä kohdassa, massatiheys voi kääntyä negatiiviseksi. SC:ssä Riemann-tensorin tetraset vastaavat metristä (18.16) ja (18.14) kuvaavat erikoistilanteita, joissa massatiheys voi saavuttaa äärettömän arvon ja luoda kaarevuuden singulariteetteja.

Shell crossing voi kuitenkin aiheuttaa haasteita tietyissä matemaattisissa malleissa, sillä massatiheys voi kasvaa äärettömäksi, mikä tarkoittaa, että monimutkaisempia tilanteita, kuten rajoitettua massatiheyttä, voidaan yrittää välttää huolellisesti valituilla funktioilla. Lemaître–Tolman -mallissa SC voidaan välttää valitsemalla sellaiset funktiot, että R,r ≠ 0 koko mallissa tai valitsemalla ne niin, että R,r = 0 vain tietyissä paikoissa, joissa M,r = 0, jolloin massatiheyden äärettömyys voidaan poistaa.

Tässä mielessä SC:n käsitteleminen tarkoittaa paitsi matemaattisten funktioiden oikeanlaista valintaa myös fysikaalisten olosuhteiden huomioimista. Jos SC-tilanteet havaitaan, se voi viitata siihen, että jossain on jotain epätavallista fysiikassa, joka tarvitsee lisäselvityksiä, kuten paineen gradientin tai ei-vakuumialueen roolin. Vaikka SC ei ole yhtä "vaarallinen" kuin Big Bang, sen poikkeavuudet voivat olla merkittäviä tietyissä skenaarioissa, joissa tarkastellaan massan ja geometrian käyttäytymistä äärettömän suurilla tiheyksillä.

Jos tarkastellaan tilanteita, joissa R,r = 0 ja M,r ≠ 0, on tärkeää ymmärtää, että tällaiset olosuhteet voivat olla seurausta yksinkertaistetuista malleista, joissa tietyt fysikaaliset tekijät on jätetty huomiotta. Kuitenkin, jos R,r = 0 vain tietyissä r-pisteissä, se voi johtaa hyvin erikoisiin geometrian ja aikamatkailun ilmiöihin, kuten nk. kaulapisteisiin (necks) tai matkamatoihin (wormholes). Tällaisissa tapauksissa, joissa eri aikarajat ja geodesiat risteävät, voi syntyä tilanne, jossa tulevaisuuden ja menneisyyden horisontit koskettavat toisiaan, mikä voi avata mahdollisuuksia tutkimuksiin, joissa tarkastellaan mustan aukon ja aikamatkailun yhteyksiä.

Kaulapisteet ja matkamadot tarjoavat mielenkiintoisia mahdollisuuksia, joissa avaruus-aika voi käyttäytyä hyvin erikoisesti. Ne eivät ole vain matematiikkaa, vaan myös fysiikkaa, joka saattaa mahdollistaa tiloja, joissa esimerkiksi aikarajat voivat liikkua ja geometrian mittaaminen ei ole suoraan linjassa yksinkertaisten koordinaattien kanssa. Tässä on pohdittava myös, miten nämä teoreettiset käsitteet voivat liittyä mahdollisiin havaintoihin avaruudessa.

Kuinka estää kuoriin osuminen ja määrittää punasiirtymää radiaalilla geodeesilla

Kohdassa, jossa M,r ≠ 0, edellytetään, että R,r ≠ 0, jotta vältetään kuoriin osuminen. Tätä ehdollisuutta on tarkasteltava tarkasti, sillä tämä tarkoittaa, että funktioiden M(r), E(r) ja tB(r) ominaisuudet voivat vaikuttaa merkittävästi siihen, ilmeneekö kuoriin osumisia vai ei. Tässä käsitellään tilannetta, jossa R,r > 0, ja seuraavassa tarkastellaan, kuinka tämä voidaan kääntää M(r):n, E(r):n ja tB(r):n ominaisuuksien määrityksiin.

Ensinnäkin on huomattava, että mallin funktiot, kuten M(r), E(r) ja tB(r), voivat kuvailla monimutkaisia kaarevia rakenteita, kuten nekin, jotka ilmenevät numerisista malleista, joissa on ei-nollia painegradientteja (Suto et al. 1984). Näiden funktioiden symmetria, erityisesti niiden suhteet kaulan ympärille, on olennaista ymmärtää, sillä kuoriin osumisen estäminen riippuu siitä, kuinka nämä funktiot käyttäytyvät radiaalissa. Tämä liittyy myös siihen, kuinka ajan ja säteen suhteet muuttuvat kaulan ja muiden geometristen kohteiden ympärillä.

Seuraavaksi, tarkasteltaessa tilannetta, jossa R,r < 0, joudutaan kääntämään kaavat (18.105), (18.109), (18.110), (18.116) ja (18.117) siten, että niiden suunta muuttuu. Tämä on välttämätöntä, koska kuoriin osumisen estäminen ei ole vain kaavoista riippuvaista, vaan myös niiden integroimisesta toisiin geometrisiin malleihin. Näin ollen vain tietyt kaavat, kuten (18.105) ja (18.110), takaavat kuoriin osumisen estämisen.

Erityisesti malli, jossa E < 0, tuo esiin tämän ilmiön tarkemmin, sillä se voi johtaa siihen, että ajan funktio, joka kuvastaa tiivistymisen aikaa, on kasvava funktio säteen suhteen. Tämä on tärkeää ymmärtää, sillä jos tietyt rajat ylitetään, kuten tB,r < 0, niin tämä estää kuoriin osumisen. Tämä tilanne konkretisoituu kuvassa 18.3, jossa voidaan nähdä kuinka nämä geometrian tasot muuttuvat kuoriin osumisen rajapintojen myötä.

Tässä kohtaa on myös tärkeää huomata, että malli, jossa E = 0, on myös merkittävä. Tämä tilanne johtaa siihen, että tarvitaan tarkka tarkastelu paineen ja massan suhteen. Tässä suhteessa tB,r < 0 on välttämätöntä, ja tämä tulos saavutetaan myös (18.112) avulla.

Kun tarkastellaan mallia, jossa E > 0, saamme uudenlaisen kaavan (18.113), joka sisältää funktioita kuten Φ3(η) ja Φ4(η), jotka kuvaavat kaulan ja muiden geometristen muutosten vaikutuksia. Näiden funktioiden käyttäytyminen, erityisesti niiden raja-arvot, vaikuttaa siihen, kuinka nämä kaavat voivat ohjata kuoriin osumisen estämistä.

Tässä yhteydessä on tärkeää huomata, että punasiirtymän laskeminen radiaalisilla geodeeseilla on myös olennainen osa kosmologisten mallien soveltamista. Punasiirtymä saadaan laskettua kaavalla (16.20), mutta radiaalisten geodeesien tangenttivektorikenttä on parametrisoitava affiinisti. Tämä ei ole aina helppoa, joten numeerisissa laskelmissa käytetään muita menetelmiä. Esimerkiksi Bondin (1947) menetelmällä voidaan laskea punasiirtymä käyttäen suhteellisia etäisyyksiä ja aikaintervallien muutoksia.

Kun tarkastellaan lähdealueita ja niiden etäisyyksiä, saamme lisää tarkkuutta punasiirtymän laskemiseen ja sen vaikutukseen eri ajanhetkillä. Tämä on tärkeää, sillä se mahdollistaa tarkemman mallinnuksen kosmologisista ilmiöistä, kuten galaksien liikkeistä ja taustasäteilyn muutoksista.

Metrin tunnus, degeneraattiset metrit ja niiden merkitys Riemannin geometriassa

Riemannin avaruuden metritensorin, $g_{\alpha \beta}$, signaattori määrittelee sen geometriset ominaisuudet ja vaikutukset. Signaattori on tietyllä tavalla avaruuden "sormenjälki", joka ei muutu koordinaatimuutoksista huolimatta. Se voidaan esittää merkintänä $(n_1, n_2, n_3)$, jossa $n_1$ on positiivisten alkioiden määrä, $n_2$ negatiivisten ja $n_3$ nollien määrä. Tämän symbolin avulla voidaan tutkia, onko metriikka degeneraattinen vai ei. Jos $n_3 > 0$, metriikka on degeneraattinen, eli sen determinantti on nolla ja käänteismatriisi ei ole olemassa. Tällöin ei ole mahdollista määrittää vektorin käänteismuotoa, sillä projektiot vain alidimensioon tekevät käänteisoperaation mahdottomaksi.

Relaatioteoriassa, jossa käytetään nelidimensionaalisia Riemannin avaruuksia, metriikka voi olla muotoa $(+, -, -, -)$, $(- , + , + , +)$ tai $(+, + , + , -)$, riippuen käytetystä konventiosta. Tässä yhteydessä metriikka ei ole positiivisesti määritelty, mikä tarkoittaa, että suhteellisuusteorian Riemannin avaruudet eivät ole metritiloja perinteisessä mielessä. Jos etäisyys $d(x, y)$ määritellään tietyn käyrän (esimerkiksi geodeesin) kautta, niin $d(x, y) = 0$ ei välttämättä tarkoita sitä, että $x = y$, sillä etäisyyden integraali voi nollautua myös silloin, kun pisteet eivät ole identtisiä.

Koordinaatimuutokset säilyttävät metritensorin signatuurin yksittäisissä pisteissä, mutta ei voida taata, että signaattori olisi sama kaikissa kohdissa. Jos signaattori muuttuisi epäfysikaaliseksi, se johtaisi siihen, että kyseinen alue on jollain tavalla epämieluisa fysiikassa. Esimerkiksi mustan aukon horisontissa voi tapahtua koordinaattimuutoksia, joissa kaksi koordinaattia vaihtavat roolejaan ja saavat uuden erityisaseman, mutta tällaiset muutokset ovat enimmäkseen alueiden "reunoilla", eikä niitä voida pitää normaalina ilmiönä.

Riemannin avaruuden geometrian syvällinen ymmärtäminen on välttämätöntä, jotta voidaan ymmärtää sen vaikutukset moniin fysiikan teorioihin, kuten yleiseen suhteellisuusteoriaan. Mikäli avaruus ei ole positiivisesti määritelty tai degeneraattinen, siitä tulee vaikeasti hallittava ja mahdollisesti fysiikassa ei-määriteltävä.

Tämä selitys metrin signatuurista ja sen merkityksestä ei ainoastaan avaudu matemaattisesti, vaan myös käsitteellisesti: matematiikka ei ole vain laskentaa, vaan se tarjoaa työkaluja fyysisen maailmankuvan muodostamiseen.

Miten symmetriset avaruusaikojen metrit vaikuttavat kosmologiaan?

Kosmologian tutkimuksessa keskeinen rooli on avaruusaikojen symmetrioilla ja niiden matemaattisella käsittelyllä. Tämä lähestymistapa vie meidät syvälle aikojen ja avaruuden geometrian ymmärtämiseen, jossa symmetriat eivät ainoastaan määrittele avaruuden rakennetta vaan myös kosmisen kehityksen kulkua. Avaruusaikojen symmetriat voidaan kuvata matemaattisesti metritenoreilla, jotka määrittävät etäisyyksien ja aikavälimatkojen suhteet tietyssä avaruudessa ja ajassa. Erityisesti Robertsin–Walkerin metrin tarkastelu avaa näkymiä kosmologian peruskysymyksiin, kuten maailmankaikkeuden laajenemiseen ja sen rakenteellisiin ominaisuuksiin.

Robertsin–Walkerin metrin, joka voidaan johtaa käyttäen yksinkertaisia oletuksia ja symmetrioita, voidaan kirjoittaa muodossa:

Tässä $R(t)$ on ajasta riippuva funktio, joka kuvaa laajenevan maailmankaikkeuden kehitystä, ja $k$ on vakio, joka määrittää maailmankaikkeuden kaarevuuden. Voimme huomata, että tämä kaava sisältää kolme avainta: aikaparametrin $t$, avaruuskoordinaattien $r$, $\theta$, ja $\phi$, sekä avaruusajan kaarevuusparametrin $k$, joka voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla.

Metrin kaarevuus $k$ määrittää maailmankaikkeuden geometrian luonteen. Jos $k > 0$, avaruus on positiivisesti kaareutunut, ja maailmankaikkeus on sulkeutunut. Jos $k < 0$, avaruus on negatiivisesti kaareutunut ja avoin, ja jos $k = 0$, metrin geometrian on litteä, eli maailmankaikkeus laajenee tasaisesti.

Lisäksi symmetriat, jotka määrittävät metrin rakenteen, liittyvät syvällisesti avaruusaikojen geometrian ja dynamiikan peruslakeihin. O(3)-symmetria, joka on tuttu avaruusajan spinormetodeista, ilmenee tässä metrin kaavassa ja antaa meille käsityksen siitä, kuinka maailmankaikkeuden symmetriset ominaisuudet liittyvät sen laajenemiseen ja rakenteen muodostumiseen.

On tärkeää huomata, että metrin kaavat eivät ole pelkästään matemaattisia konstruktioita, vaan ne heijastavat maailmankaikkeuden todellisia rakenteita. Symmetrioiden ja metrin ominaisuuksien tuntemus auttaa paitsi ymmärtämään nykyisen maailmankaikkeuden tilaa myös ennustamaan sen mahdollisia tulevaisuuden kehityskulkuja.

Miten Auringon gravitaatiokenttä kaareuttaa valonsäteet?

Eddingtonin vuonna 1919 suorittama aurinkoobservaatio (Dyson, Eddington ja Davidson, 1920) oli merkittävä askel yleisen suhteellisuusteorian testaamisessa. Tässä kokeessa hyödynnettiin optisia havaintoja, erityisesti valonsäteiden kaareutumista Auringon gravitaatiokentässä. Tämän ilmiön havaitseminen oli mahdollista vain täydellisen auringonpimennyksen aikana. Tavoitteena oli seuraavaa: ensin etsitään kaksi tähteä, jotka ovat näkyvissä Auringon reunan läheisyydessä, mielellään vastakkaisilla puolilla Aurinkoa. Tämän jälkeen otetaan valokuva näistä tähdistä pimennyksen aikana ja toistetaan tämä useita kuukausia myöhemmin, jolloin Aurinko on maan toisella puolella. Näiden valokuvien välillä mitataan tähtien sijaintien ero, mikä mahdollistaa kaareutumiskulman laskemisen.

Tämä teki Eddingtonin tutkimusmatkasta haasteellisen, mutta tutkimuksen myönteinen tulos nosti yleisen suhteellisuusteorian ja Einsteininkin maailmanlaajuiseen tunnettuuteen. Kuitenkin tämä valonsäteiden kaareutumisen ilmiö oli ennustettu jo aiemmin, mutta se oli jäänyt unholaan Cavendishin ja Soldnerin laskelmien jälkeen.

Tämä tekniikka on erityisen arvokas, koska sen avulla voidaan tarkastella myös avaruuden kaukaisia galakseja ja kohteita, joissa valonsäteet kaareutuvat massiivisten tähtien tai galaksien kautta. Tällöin saavutetaan tarkempia tuloksia, mutta massojen ja säteiden mittaaminen näistä objekteista ei ole vielä riittävän tarkkaa, jotta voitaisiin tehdä kvantitatiivisia testejä suhteellisuusteorialle.

Gravitaatioobjektien, kuten galaksien ja mustien aukkojen, aiheuttama valonsäteiden kaareutuminen on huomattavasti monimutkaisempaa. Nämä ilmiöt tunnetaan nimellä gravitaatiojouset. Ne syntyvät, kun valonsäde kulkee massiivisen kappaleen, kuten galaksin, ohitse ja sen valonsäteet taipuvat niin, että ne näkyvät maanpinnalla kaareutuneina tai jopa useina kuvikuvina samasta kohteesta. Tämä ilmiö on saanut paljon huomiota astrofysiikassa, ja se tarjoaa tavan tutkia etäisiä galakseja ja mustia aukkoja.

Kaareutuvan valon tutkimus ei rajoitu vain Auringon ympärille, vaan se ulottuu galaksien ja muiden massiivisten taivaankappaleiden aiheuttamiin vaikutuksiin. Tämä laajempi kenttä tarjoaa jatkuvasti uusia mahdollisuuksia astrofysiikan ja kosmologian alalla.