¿Cómo se correlacionan los datos y qué nos enseña la regresión lineal simple?

El concepto de correlación es fundamental cuando se analiza la relación entre dos variables. Este concepto implica una relación estadística entre dos elementos, que puede ir desde una dependencia negativa hasta una positiva, pasando por la posibilidad de no existir relación alguna. El valor de la correlación se cuantifica mediante el coeficiente de correlación, que puede tomar valores entre -1 y 1. Un coeficiente cercano a 1 o -1 indica una correlación fuerte, ya sea positiva o negativa, mientras que un valor cercano a 0 refleja que no hay correlación significativa entre las variables.

Por otro lado, la regresión lineal simple es una herramienta estadística que nos permite modelar la relación entre dos variables cuantitativas, de forma tal que podamos predecir el valor de una de ellas (la variable dependiente) en función de la otra (la variable independiente). El modelo de regresión lineal busca la ecuación de una recta que mejor se ajuste a los datos, minimizando la suma de los errores cuadráticos entre las predicciones y los valores observados.

La regresión lineal simple tiene una estructura matemática sencilla, que se expresa de la siguiente forma:

Donde:

• $Y$ es la variable dependiente.

• $X$ es la variable independiente.

• $\beta_0$ es el intercepto (el valor de $Y$ cuando $X = 0$).

• $\beta_1$ es la pendiente de la recta, que representa el cambio en $Y$ por cada unidad que cambie $X$.

• $\epsilon$ es el error aleatorio, que refleja las variaciones no explicadas por el modelo.

En la práctica, el coeficiente de correlación de Pearson juega un papel crucial en la regresión lineal. Un valor de $r$ cercano a 1 implica que el modelo de regresión lineal probablemente será muy preciso al predecir los valores de $Y$, mientras que un valor de $r$ cercano a 0 sugiere que la relación lineal es débil, y el modelo tendrá menos capacidad predictiva.

Además, al realizar regresión lineal, uno debe prestar atención a los supuestos que el modelo implica. Entre estos se incluyen la linealidad (la relación entre las variables debe ser lineal), la homocedasticidad (la varianza del error debe ser constante a lo largo de las observaciones), y la independencia de los errores. Violaciones a estos supuestos pueden llevar a resultados incorrectos o engañosos.

Es igualmente crucial interpretar el $R^2$, o coeficiente de determinación, que nos indica qué porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente puede ser explicado por el modelo. Un valor alto de $R^2$ sugiere que el modelo ajusta bien los datos, mientras que un valor bajo implica que el modelo no explica bien las variaciones en los datos.

Los análisis de correlación y regresión son herramientas poderosas, pero también están sujetos a limitaciones que deben ser entendidas por el lector. No todo patrón correlacional necesariamente refleja una relación real y, en muchas ocasiones, variables omitidas o confusoras pueden distorsionar los resultados. Por esta razón, es crucial realizar un análisis exhaustivo que considere no solo la matemática, sino también el contexto teórico y los posibles factores externos que puedan influir en las variables en estudio.

¿Cómo se construyen y se interpretan los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis para la diferencia media en datos pareados?

Los datos provenientes de medidas repetidas, como en el caso de pacientes con enfermedad pulmonar obstructiva crónica sometidos a pruebas de caminata de 6 minutos (6MWT) en distintos recorridos, permiten estudiar la diferencia media entre dos condiciones: por ejemplo, una pista de 20 metros frente a una de 30 metros. Cada muestra de 50 sujetos es distinta y produce distancias variables en ambos recorridos. Por ende, la diferencia media observada también varía entre muestras y tiene su propia distribución muestral, conocida como la distribución muestral de la diferencia media.

Esta distribución, bajo ciertas condiciones, se aproxima a una normal, centrada en el verdadero valor poblacional de la diferencia media (µd). Su desviación estándar, llamada error estándar de la diferencia, se calcula como la raíz cuadrada del cociente entre la varianza de las diferencias individuales y el tamaño de la muestra (n). En el ejemplo citado, el error estándar resulta en 3.117 metros para 50 sujetos.

El intervalo de confianza (IC) del 95% para µd se formula como la diferencia media muestral ± un multiplicador por el error estándar. El multiplicador suele aproximarse a 2, según la regla empírica 68–95–99.7, que es válida para distribuciones normales aproximadas. Así, para la diferencia media observada de 22.03 metros, el intervalo queda entre 15.80 y 28.26 metros, lo que indica con un 95% de confianza que la verdadera diferencia poblacional se encuentra dentro de este rango, favoreciendo claramente la pista más larga.

En cuanto a las pruebas de hipótesis, el planteamiento comienza con una hipótesis nula (H0) que asume ausencia de diferencia media (µd = 0), frente a una hipótesis alternativa (H1) unilateral que propone un aumento en la distancia con la pista de 30 metros (µd > 0). La estadística t se calcula con la fórmula: t = (d̄ − µd) / error estándar. En este caso, un t de 7.07 es excepcionalmente alto, indicando que la diferencia observada es poco probable bajo la hipótesis nula.

El valor p asociado a esta t es menor que 0.00005 para la prueba unilateral, lo que proporciona evidencia estadística muy fuerte para rechazar H0 y aceptar que la distancia media recorrida es mayor con la pista más larga. La conclusión debe especificar no solo la existencia de diferencia, sino también su dirección y magnitud, para otorgar significado clínico o práctico a los resultados.

Es importante considerar que la interpretación de intervalos y pruebas en datos pareados implica entender que cada diferencia proviene del mismo sujeto bajo dos condiciones, lo que reduce la variabilidad no explicada y permite estimaciones más precisas. Asimismo, la práctica clínica debe ponderar si las diferencias encontradas, aunque estadísticamente significativas, son relevantes en términos de impacto funcional o calidad de vida.

Finalmente, los análisis estadísticos deben acompañarse de una comprensión clara de los supuestos subyacentes y la cuidadosa definición de las hipótesis y diferencias, para evitar interpretaciones erróneas y favorecer decisiones informadas basadas en evidencia. La comunicación precisa de los resultados es esencial para que los lectores comprendan la importancia y las limitaciones del estudio, así como la aplicabilidad práctica de sus conclusiones.