¿Cómo se demuestra la continuidad débil y la semicontinuidad inferior de las funciones en espacios de Banach?

El conjunto $D$ es evidentemente convexo y cerrado en $L^1$. Por lo tanto, $D$ también es cerrado débilmente en $L^1$ según el Teorema H.7. A continuación, demostraremos que $F$ es débilmente semicontinua inferior en $D$. Para ello, notemos primero que, dado que $Z \in L^\infty$, el mapa $L^1 \ni X \mapsto E[ZX]$ es un funcional lineal (débilmente) continuo en $L^1$ según el Teorema H.5. Además, el Teorema C.5 establece que para $\varphi \in D$, la función $F(\varphi) = E[\varphi \log \varphi] = \sup_{Z \in L^\infty} (E[Z \varphi] - \log E[e^Z])$. Por lo tanto, $F$ es débilmente semicontinua inferior, ya que es el supremo de funcionales débiles continuos.

En el caso de utilidad exponencial y entropía relativa, por ejemplo, se requiere una técnica similar para demostrar teoremas de optimización. Considerando el Teorema 3.24, es importante recordar que, según la Observación 3.23, la afirmación es válida para todo $m \in \text{ri} \Gamma(\mu)$, donde $\mu = P \circ Y^{ -1}$. En vista de las ecuaciones (3.13) y (3.12), queda demostrar que:

Esto es, la derecha de esta ecuación es simplemente la transformada de Fenchel-Legendre de la función convexa $\log Z$ evaluada en $m$, la cual denotamos como $(\log Z)^*(m)$.

Este proceso resulta ser un caso particular de la optimización de las expectativas de utilidad exponencial en un espacio de probabilidades, y muestra cómo el teorema de la entropía relativa se puede aplicar a la maximización de la utilidad en contextos de teoría de la decisión y control estocástico. Es importante destacar que este tipo de pruebas se basa en la comprensión de las propiedades topológicas y funcionales de los espacios de Banach, en particular de los espacios $L^1$ y $L^\infty$, y cómo se comportan bajo operaciones como la convergencia débil.

¿Cómo se relacionan las medidas de riesgo coherentes con los modelos de mercado financiero bajo restricciones de portafolio?

La integral de Choquet, caracterizada por su homogeneidad positiva y subaditividad, es fundamental en la construcción de medidas de riesgo coherentes. Esta integral se basa en una capacidad submodular, lo que garantiza que para variables aleatorias con valores ordenados, la expectativa respectiva no disminuye. Así, se establece una relación intrínseca entre la integral de Choquet y las expectativas respecto a medidas de probabilidad dominadas por dicha capacidad.

En el contexto de los mercados financieros, consideramos un modelo simple de un solo periodo con d + 1 activos, cuyas cotizaciones en el tiempo t = 1 son variables aleatorias no negativas definidas sobre un espacio de probabilidad. La existencia de una tasa libre de riesgo r > 0 y precios iniciales dados permite definir estrategias de negociación cuyo beneficio descontado se representa como un producto escalar entre un vector de posiciones y el vector de rendimientos descontados.

Una posición financiera se considera libre de riesgo si puede ser cubierta por una estrategia que no requiera inversión inicial neta, es decir, si existe un portafolio que compense cualquier posible pérdida casi seguramente. El conjunto de estas posiciones aceptables es un cono convexo, y a partir de él se define la medida de riesgo coherente como la menor cantidad de capital que, sumada a una posición X, garantiza que esta se vuelva aceptable.

La sensibilidad de esta medida está vinculada con la ausencia de arbitrajes en el modelo de mercado; si existiera un arbitraje, la medida dejaría de ser sensible, generando contradicciones en la valoración del riesgo. La representación dual de esta medida en términos de expectativas bajo medidas de probabilidad equivalentes y libres de arbitraje (medidas riesgo neutrales) evidencia la conexión directa entre las propiedades matemáticas de la medida y la estructura económica del mercado.

Sin embargo, las restricciones en las estrategias de inversión son una realidad inevitable: limitaciones de capital, prohibiciones en ventas en corto, y problemas de liquidez configuran un subconjunto cerrado y convexo S de las estrategias posibles. Bajo estas condiciones, se redefine el conjunto de posiciones aceptables y la correspondiente medida de riesgo se convierte en una medida convexa, cuyo comportamiento y propiedades dependen críticamente del conjunto S.

La existencia y continuidad desde arriba de estas medidas de riesgo, así como su representación dual, requieren que el conjunto S no permita oportunidades de arbitraje, extendiendo así los fundamentos clásicos a escenarios con restricciones. La penalización mínima asociada a cada medida de probabilidad en esta representación se determina por la supremacía de las expectativas del rendimiento descontado de las estrategias admisibles, reflejando el costo del riesgo inherente a las limitaciones del mercado.

Este enfoque proporciona un marco riguroso para incorporar restricciones reales del mercado en la evaluación del riesgo, permitiendo así un análisis coherente y matemáticamente sólido de la gestión del riesgo financiero bajo condiciones prácticas. La estructura de la medida de riesgo, su sensibilidad, y la dualidad con medidas equivalentes, no solo dependen de la teoría abstracta de integrales no lineales, sino que encuentran una aplicación directa en la modelización económica y financiera con restricciones de portafolio.

Es importante considerar que la implementación práctica de estas medidas requiere una comprensión profunda de las condiciones del mercado, la naturaleza de las restricciones, y la modelización adecuada de las probabilidades equivalentes. La sensibilidad de la medida al modelo y las restricciones, así como la interpretación económica de la penalización mínima, son aspectos que deben ser cuidadosamente analizados para una correcta aplicación en la gestión del riesgo.