¿Cómo se aborda la estabilidad y el control en sistemas de salto Markovianos con ataques y restricciones en tiempo finito?

En la actualidad, el estudio del control y la estabilidad de sistemas dinámicos que experimentan cambios abruptos en su comportamiento, como los sistemas de salto Markovianos, se ha convertido en un área fundamental dada su amplia aplicación en redes eléctricas, sistemas ciber-físicos y control industrial. Estos sistemas se caracterizan por la conmutación aleatoria entre diferentes modos de operación, lo que añade un nivel de complejidad considerable a su análisis y diseño de control. Además, la presencia de saturaciones en los actuadores, retardos temporales variables y ataques maliciosos, como denegación de servicio (DoS) o ataques de engaño, plantean desafíos críticos para garantizar un desempeño estable y seguro.

El concepto de estabilidad en tiempo finito se vuelve crucial cuando se requiere que el sistema alcance un estado deseado o se mantenga estable dentro de un intervalo temporal predeterminado, algo especialmente relevante en aplicaciones críticas donde los tiempos de respuesta son limitados. Se han desarrollado condiciones necesarias y suficientes para esta estabilidad, empleando herramientas como desigualdades matriciales lineales (LMI), que facilitan el diseño de controladores robustos y resilientes frente a perturbaciones, incertidumbres paramétricas y ataques adversarios. La estabilidad en tiempo finito también considera la posibilidad de interrupciones o ataques periódicos o aperiódicos, por lo que la adaptación y sincronización adaptativa basada en eventos surge como una estrategia prometedora para la mitigación de estas amenazas.

Es importante comprender que la complejidad del entorno, marcada por las transiciones estocásticas, las restricciones físicas y las amenazas externas, requiere un enfoque integrado que combine teoría avanzada de control, técnicas de análisis estocástico y metodologías de ciberseguridad. La adaptabilidad y la capacidad de respuesta rápida dentro de intervalos temporales finitos son fundamentales para asegurar la operación segura y eficiente de estos sistemas. La interacción entre las propiedades de estabilidad en tiempo finito y la detección activa de ataques garantiza no solo la continuidad operativa sino también la integridad de la información y el control.

El lector debe tener en cuenta que más allá de las fórmulas y condiciones técnicas, la implementación práctica de estos métodos demanda un conocimiento profundo de las características específicas del sistema a controlar, la naturaleza y frecuencia de los ataques posibles, así como las limitaciones físicas de los actuadores y sensores. El desarrollo de algoritmos computacionalmente eficientes y de fácil implementación es un reto continuo, así como la validación experimental en escenarios reales o simulados que reflejen la complejidad del entorno operativo.

¿Cómo asegurar el comportamiento estable de un sistema de modos deslizantes con no linealidades de actuador y transiciones de modo inciertas?

En el contexto de los sistemas de saltos Markovianos (MJS, por sus siglas en inglés) con incertidumbres en las probabilidades de transición (TR) y no linealidades en los actuadores, el desafío principal radica en garantizar que el sistema mantenga un control adecuado y que las trayectorias de estado alcancen y se mantengan en una superficie deslizante específica dentro de un tiempo finito. La dinámica de estos sistemas se ve complicada no solo por las incertidumbres en las probabilidades de transición, sino también por las no linealidades inherentes a los actuadores, que incluyen tanto zonas muertas como no linealidades sectoriales.

Además de las incertidumbres en las transiciones, los sistemas de control en cuestión están sujetos a no linealidades del actuador. Estas no linealidades se modelan mediante funciones de control no lineales que se describen mediante funciones sectoriales y zonas muertas. La función de control $\varphi(u(t))$ en cada componente del actuador satisface restricciones específicas, como que para valores de $u(t)$ fuera de los límites especificados $\pm u_l$, la función presenta un comportamiento no lineal con una pendiente determinada por constantes positivas $k_l^+$ y $k_l^-$. Cuando el control se encuentra dentro de los límites de la zona muerta, la respuesta del actuador es nula, lo que agrega una complejidad adicional al diseño del controlador.

El diseño del controlador implica la construcción de funciones deslizantes dependientes del modo, que están asociadas a cada uno de los modos del sistema. Estas funciones deslizantes dependen de matrices $X_i$ que se diseñan para asegurar que el sistema alcance la superficie deslizante en el tiempo correcto. La interacción entre los modos y las funciones deslizantes se refleja en el conjunto de matrices $X_i$, las cuales están determinadas por las transiciones de los modos y las incertidumbres en las probabilidades de transición. De esta forma, se garantiza que las funciones deslizantes no sean independientes, sino que estén conectadas de acuerdo con las transiciones del proceso de Markov.

El diseño del controlador de modo deslizante basado en componentes, a pesar de las incertidumbres en las transiciones y las no linealidades de los actuadores, asegura que el sistema pueda alcanzar la estabilidad dentro del tiempo finito especificado. El controlador propuesto utiliza un enfoque basado en la dinámica del modo, que toma en cuenta las relaciones entre las funciones deslizantes y los parámetros de transición de los modos, para garantizar que las trayectorias del sistema sigan el comportamiento deseado.

La implementación práctica de este enfoque debe considerar la posibilidad de que las transiciones entre modos no sean completamente predecibles, lo que implica que el controlador debe ser robusto frente a posibles cambios en las probabilidades de transición. Además, el manejo de las no linealidades en los actuadores, en particular las zonas muertas, debe ser tratado de forma adecuada para evitar comportamientos no deseados en el sistema, como oscilaciones o inestabilidad.

¿Cómo se asegura la estabilidad y robustez en el control por modo deslizante componente a componente mediante condiciones matriciales?

El control por modo deslizante (SMC, por sus siglas en inglés) se fundamenta en la capacidad de mantener la estabilidad y robustez del sistema a pesar de incertidumbres y perturbaciones. Para ello, la estabilidad de sistemas con conmutación de modos se analiza a través de condiciones matriciales que garantizan la estabilidad exponencial en media cuadrática, conocida como SFTB (Stochastic Finite-Time Boundedness).

El análisis sigue con la demostración de que la función de Lyapunov elegida, en este caso un funcional cuadrático positivo definido por matrices Xi, satisface una desigualdad diferencial con términos dependientes de la perturbación y la conmutación entre modos. Multiplicando esta desigualdad por un factor exponencial decreciente y realizando la integración temporal, se obtiene una cota para el valor esperado del funcional de Lyapunov, que garantiza que el sistema permanece acotado durante el intervalo de tiempo considerado.

En la fase de movimiento deslizante, donde el estado se mantiene sobre la superficie deslizante, el controlador equivalente toma una forma específica que cancela las dinámicas inciertas y las perturbaciones, lo que resulta en un sistema reducido cuyo comportamiento se puede analizar igualmente mediante condiciones matriciales. La existencia de matrices positivas definitas Xi y constantes que satisfacen las desigualdades matriciales propuestas asegura la estabilidad SFTB del sistema durante este movimiento.

Además, se introducen términos relacionados con matrices auxiliares y multiplicadores ζi que refuerzan la robustez frente a perturbaciones y modelado impreciso. La utilización del lema de Schur y desigualdades matriciales permite transformar las condiciones de estabilidad en LMIs (Linear Matrix Inequalities) que pueden ser verificadas computacionalmente, facilitando así el diseño y la validación del controlador.

El rigor matemático que subyace en este análisis es fundamental para entender cómo el control por modo deslizante puede ser aplicado a sistemas complejos con múltiples modos de operación, especialmente cuando existe incertidumbre en los parámetros del sistema y presencia de perturbaciones estocásticas. El cumplimiento de las condiciones propuestas no solo asegura la estabilidad sino también una respuesta acotada y robusta frente a dichas incertidumbres.

Es importante comprender que la estabilidad SFTB implica que, en promedio, el sistema permanecerá dentro de un conjunto acotado durante un intervalo finito, lo que es esencial para aplicaciones prácticas donde la garantía de comportamiento dentro de límites es crítica. Además, la elección adecuada de las matrices de Lyapunov y los parámetros involucrados es una tarea no trivial que requiere un balance entre robustez y rendimiento.