¿Cómo se comporta el modelo de fluidos de segundo grado en el límite inviscido?

Las ecuaciones de fluidos de segundo grado representan una generalización natural de las ecuaciones de Navier-Stokes, diseñadas para capturar efectos de elasticidad en medios viscoelásticos mediante dos parámetros clave: α > 0 para la respuesta elástica y ν > 0 para la viscosidad. Bajo la hipótesis de densidad constante, el tensor de esfuerzos se construye incluyendo términos adicionales derivados de deformaciones del segundo orden, lo que permite describir fenómenos que las ecuaciones clásicas no alcanzan, especialmente cuando se introduce ruido estocástico en el sistema.

Este tipo de formulación resulta particularmente útil para estudiar el comportamiento de sistemas en condiciones límite, como el caso del llamado "límite inviscido", es decir, el comportamiento de la solución de Navier-Stokes cuando la viscosidad ν tiende a cero, y su convergencia hacia la solución correspondiente de las ecuaciones de Euler. La dificultad esencial de este problema radica en las condiciones de contorno impuestas y en la presencia de capas límite, donde la solución puede volverse altamente inestable.

En dominios sin frontera, o bajo condiciones de contorno tipo Navier, la convergencia puede ser demostrada bajo hipótesis razonables sobre la regularidad de los datos iniciales. Sin embargo, en el caso de condiciones de no deslizamiento (no-slip), el problema se vuelve sensiblemente más complejo. A medida que ν → 0, la condición uν|∂D = 0 genera fuertes tensiones cercanas a la frontera, particularmente cuando el campo de velocidad es grande en esas regiones. Esta situación conduce al surgimiento de capas límite turbulentas, donde la generación de vorticidad y el comportamiento errático del fluido se vuelven difíciles de controlar tanto analítica como numéricamente.

El análisis del límite inviscido en presencia de estas condiciones de contorno ha sido objeto de múltiples estudios, destacando el trabajo seminal de Kato, quien estableció criterios precisos sobre la estructura de la solución en la capa límite para asegurar la convergencia hacia la solución de Euler. Algunos avances se han hecho también en contextos estocásticos, como en el caso de perturbaciones aditivas, pero el problema general sigue abierto.

Es precisamente en este contexto donde las ecuaciones de

¿Cómo se puede modelar la turbulencia en fluidos utilizando ruido blanco y el enfoque estocástico?

En el estudio de la turbulencia en fluidos, uno de los enfoques más importantes es cómo describir y modelar las fluctuaciones de los campos de velocidad en escalas pequeñas. A través de herramientas estocásticas y el uso de ruido blanco, podemos aproximar la dinámica de estas fluctuaciones y lograr una comprensión más profunda de fenómenos complejos como las geometrías irregulares y la heterogeneidad espacial de la turbulencia.

El modelo presentado para la resolución de este problema implica considerar la ecuación para un campo de vorticidad $\omega_L$, que, en presencia de turbulencia pequeña, se ve influenciado por un proceso estocástico representado por ruido blanco, de forma similar a como se hace con los movimientos brownianos. En este contexto, el operador $Q_S(t, \tau, x)$, relacionado con las fluctuaciones en las escalas pequeñas, muestra una limitación cuando $\tau \to 0$, independientemente del tiempo $t$, pero posiblemente reteniendo la dependencia espacial. Este comportamiento es clave para trabajar con geometrías complejas donde la turbulencia no es homogénea.

De forma intuitiva, al tomar el límite de $\tau \to 0$, se integra el campo $Q_S(t, \tau, x)$ en el tiempo, lo que permite aproximarse a una función de variación limitada, similar al caso de la covariación cuadrática en el movimiento browniano y en la formulación de Itô. A lo largo de este proceso, también se observa que el término $M$, que es una integral en el tiempo de $Q_S(t, \tau, x)$, converge a una integral de Lebesgue-Stieltjes. Estos desarrollos van en paralelo a los argumentos que conducen a la integral de Itô para el proceso estocástico.

El modelo basado en ruido blanco, que involucra una suma de movimientos brownianos $W_k(t + \tau) - W_k(t)$ con campos $\sigma_k(x)$ suaves y libres de divergencia, permite obtener un límite en el cual $Q_S(t, \tau, x)$ converge a $\sigma_k(x) \otimes \sigma_k(x)$ a medida que $\tau$ tiende a cero. Este resultado puede interpretarse como una aproximación de la turbulencia en escalas pequeñas mediante ruido blanco, un enfoque que se utiliza comúnmente en la mecánica de fluidos estocásticos.

Por otro lado, es importante destacar que, aunque el modelo de ruido blanco permite realizar aproximaciones simplificadas, existe una distorsión conceptual inherente en este enfoque. El modelo parece emerger cuando $\tau \to 0$, pero para una descripción precisa, es necesario también tomar en cuenta el límite espacial simultáneo. Este tipo de limitación espacial y temporal conjunta puede ser difícil de implementar, pero al tomar los límites de manera secuencial, se espera que se alcance el resultado deseado. Primero, se toma el límite temporal $\tau \to 0$, y luego se aborda el límite espacial, lo que finalmente proporciona una visión más coherente de la turbulencia.

A través de este modelo, también se pueden obtener resultados relevantes en el contexto de la teoría de la mecánica de fluidos estocásticos, donde las fluctuaciones desaparecen en el límite, y el sistema se comporta como un campo medio. Es así como los modelos de Grandes Escalas (LES, por sus siglas en inglés) surgen, proporcionando un marco para cerrar las ecuaciones de las grandes escalas. En particular, en el caso bidimensional, esta formulación genera interesantes vínculos con las cantidades clave del problema, como la energía cinética turbulenta, que está relacionada con el operador diferencial $D$.

Además, la evolución de la turbulencia en estos modelos puede entenderse como una aproximación a la desaparición de las fluctuaciones en el límite, lo que permite simplificar el análisis de fenómenos complejos en fluidos turbulentos. Sin embargo, este proceso aún presenta varios retos y preguntas abiertas, como la necesidad de establecer rigurosamente la persistencia de las estructuras de escalas pequeñas y grandes, y la comprensión completa de la naturaleza del "cascade inverso" que puede afectar la estructura del modelo en ciertos casos.

En este contexto, es relevante reconocer que el enfoque estocástico, aunque poderoso, no resuelve todos los problemas inherentes a la dinámica de los fluidos turbulentos. El problema de modelar la turbulencia a partir de ruido blanco y el ruido estocástico en general sigue siendo una cuestión compleja, que requiere de pruebas rigurosas y de experimentos numéricos para validar las suposiciones y aproximaciones realizadas.

¿Cómo se derivan las ecuaciones primitivas con ruido de transporte estocástico?

Las ecuaciones primitivas son un conjunto de ecuaciones fundamentales en la dinámica de fluidos, utilizadas para describir el comportamiento de los océanos, la atmósfera y otros sistemas geofísicos. En este contexto, la no linealidad toma la forma de la expresión $\text{div} \left( (v, w(v)) \otimes v \right)$, donde $w(v)$ contiene derivadas de $v$. A pesar de su complejidad, se pueden obtener estimaciones no lineales en espacios débiles anisotrópicos, como el espacio $H^{ -1,p}_p L_{xy}$, lo que permite la existencia de soluciones fuertes únicas en este marco. Este enfoque no debe confundirse con las soluciones débiles o las llamadas soluciones $z$-débiles de las ecuaciones primitivas, como se expone en [107].

El desafío en el estudio de las ecuaciones primitivas radica en el manejo de términos no lineales y su interacción con la irregularidad espacial. Para obtener una solución global a partir de soluciones locales, es necesario imponer ciertas cotas a priori. En el marco determinista, estas cotas a priori son conocidas gracias al resultado clásico de CAO y TITI [41], pero en el caso de las ecuaciones que tratamos, las cotas a priori en espacios $H^{ -1,p}_p L_{xy}$-son aún un desafío y no están completamente desarrolladas. Sin embargo, recientemente ha habido avances significativos por parte de AGRESTI [1], lo que ofrece esperanzas de que incluso en el marco débil tratado aquí, sea posible encontrar una solución global.

Para entender mejor el comportamiento de las ecuaciones primitivas en contextos no deterministas, es esencial introducir el concepto de ruido estocástico en la dinámica de estos sistemas. De esta manera, en la siguiente sección se derivan de forma heurística las ecuaciones primitivas con presión turbulenta no isotérmica, siguiendo el esquema tradicional de la aproximación de Boussinesq y la aproximación hidrostática, pero en versiones estocásticas que permiten describir fluctuaciones en las variables dinámicas.

Aproximación de Boussinesq Estocástica

La aproximación de Boussinesq es comúnmente utilizada en la dinámica de fluidos para estudiar flujos impulsados por la flotabilidad. Su premisa básica es que, en un régimen de convección natural, el papel de la compresibilidad es despreciable en los términos de inercia y convección, pero no en el término de gravedad. Siguiendo esta idea, proponemos una extensión de la aproximación de Boussinesq para ecuaciones estocásticas de Navier-Stokes anisotrópicas compresibles.

Considerando el dominio $O_{\epsilon} = 2 T \times (-\epsilon, 0)$, donde $\epsilon$ es un pequeño parámetro que mide la dirección vertical, las ecuaciones de la dinámica del fluido y la densidad $\rho$ son las siguientes:

En esta formulación, el campo de velocidad $u$ y la densidad $\rho$ están definidos en el dominio $O_{\epsilon}$. A continuación, la aproximación estocástica se aplica a las ecuaciones, lo que introduce ruido en los términos no lineales relacionados con $\rho$, pero mantiene intacto el término de flotabilidad $g\rho$. De esta manera, se modela la interacción no lineal de las variables no resueltas como ruido, en una estrategia similar a la utilizada en modelos estocásticos del clima [20, 127].

Esto da lugar a una versión estocástica de las ecuaciones de Navier-Stokes:

En este contexto, el ruido modela las interacciones entre las variables no resueltas y es crucial para capturar las fluctuaciones en los flujos turbulentos. Esta aproximación tiene la ventaja de mantener una complejidad matemática y computacional razonable, lo que facilita su análisis y simulación.

Aproximación Hidrostática Estocástica

La aproximación hidrostática es otro enfoque importante en la dinámica de fluidos, especialmente cuando se trata de la componente vertical del campo de velocidad. Básicamente, se despreciarán varios términos en las ecuaciones que afectan a la dirección vertical. Matemáticamente, se toma el límite cuando $\epsilon \to 0$, lo que implica rescalar la variable vertical para obtener un problema en un dominio fijo.

En este caso, se descompone el campo de velocidad $u$ en sus componentes horizontales $v$ y verticales $w$. La aproximación hidrostática estocástica lleva a la siguiente formulación de las ecuaciones:

donde $\theta$ representa la temperatura, $\kappa_H$ es la conductividad anisotrópica y $u$ es el campo de velocidad.

Aspectos clave a considerar

Es fundamental entender que, aunque la aproximación estocástica de Boussinesq y la aproximación hidrostática proporcionan modelos útiles y matemáticamente tractables, la inclusión del ruido estocástico no es meramente un detalle técnico, sino que tiene profundas implicaciones para la predicción y la simulación de fenómenos naturales. El ruido modela la incertidumbre y las fluctuaciones en el comportamiento del sistema, lo que permite representar de manera más realista las dinámicas del clima, los océanos y otros sistemas geofísicos.

Además, si bien los modelos estocásticos añaden una capa de complejidad, también abren la puerta a una mejor comprensión de la evolución a largo plazo de estos sistemas, particularmente en contextos donde las interacciones a gran escala son dominadas por pequeños escalos de turbulencia o fluctuaciones.

¿Cómo se obtienen las ecuaciones primitivas estocásticas mediante la aproximación hidrostática y de Boussinesq?

Consideremos una reformulación de las ecuaciones de Navier–Stokes para flujos geofísicos bajo

¿Cómo se extienden los operadores en espacios de valorado en H y cuáles son sus propiedades esenciales?

Los operadores que surgen en el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas y problemas en espacios funcionales se pueden extender de forma natural de espacios escalares a espacios de valorado en H, un espacio de Hilbert. Esta extensión se fundamenta en las propiedades de los operadores limitados en espacios como $L^r \sigma (O)$, que admiten una extensión a $L^r \sigma (O;H)$ sin alterar su norma. Un concepto importante en esta extensión es la simetría entre los operadores $\nabla_z$, $\nabla_H$, y sus versiones extendidas en el contexto de operadores compatibles con restricciones y extensiones. Estos operadores se comportan de manera análoga a sus contrapartes en los espacios periódicos, lo que permite reducir el análisis a este contexto y aplicar métodos como las series de Fourier.

Específicamente, el operador de Stokes hidrostático, $\mathbf{z}v = \partial^2_z v$ y $\mathbf{H} v = (\partial^2_x + \partial^2_y) v$, son ejemplos claros de cómo los operadores pueden extenderse a espacios más complejos como $H^N(-h, 0; H^{m,p}(T;H))$, donde $N \in \mathbb{N}$ y $s + 2$. De este modo, los resultados de las ecuaciones de Stokes se comprueban en términos de símbolos de Fourier, lo que establece la conexión entre la teoría de los operadores de Fourier y el tratamiento de ecuaciones de Stokes en espacios más generales.

Cuando se examinan las propiedades de estos operadores extendidos, es crucial notar que la proyección de Helmholtz y los operadores $\nabla_z, \nabla_H$ son resolventes conmutativos. Esto se debe a la estructura matemática que permite reducir estos problemas a espacios periódicos, lo cual facilita la aplicación de teoremas fundamentales como el teorema de Kalton-Weis para la suma de operadores conmutativos. Este tipo de análisis es vital para garantizar la cerradura de los operadores y la conservación de las propiedades funcionales en la extensión de estos espacios.

La regularidad máxima $q L^t$-regularidad y los espacios de interpolación también juegan un papel importante en la formulación de problemas en ecuaciones diferenciales. Considerando el problema de Cauchy $(\partial_t + A)v = f$, las funciones en estos espacios de regularidad temporal están asociadas a funciones de valor vectorial en los espacios de Sobolev. Los espacios $L^q_\mu(0, T; X)$ y $H^{1,q}_\mu(0, T; X)$ definen la regularidad máxima de las soluciones en función del parámetro $\mu$, que está relacionado con el peso temporal. Este tipo de enfoque es particularmente útil en el estudio de problemas de Stokes y otros sistemas dinámicos estocásticos.

En la práctica, se observa que los operadores $(s,m) A_{p,H}$ presentan un cálculo $H^\infty$-calculus acotado para cualquier $\nu > 0$, lo que implica que las soluciones de las ecuaciones diferenciales se comportan de manera bien definida y robusta en intervalos de tiempo finitos. La continuidad de los operadores de Neumann también se puede abordar en este marco, permitiendo una comprensión más precisa de las soluciones estacionarias en el contexto de ecuaciones de Stokes y su relación con los operadores de Neumann.

En este sentido, es fundamental comprender cómo los espacios funcionales de Sobolev y los operadores en espacios de valorado en H se interrelacionan. La solución de la ecuación estacionaria de Stokes con condiciones de frontera tipo Neumann puede ser formulada en términos de espacios de Sobolev-Slobodeckij, $W^{s,r}_{\text{per}}(\Gamma_u; H)$, que representan las condiciones de frontera y la regularidad de las funciones involucradas. Esto es clave para resolver problemas estocásticos en dominios con geometrías complejas, como es el caso de los problemas hidrostáticos con condiciones de frontera Neumann.

La inclusión de dominios y la regularidad de las soluciones en estos contextos también requieren una interpretación precisa de los espacios de interpolación y las inclusiones de dominios en $H^2$. Por ejemplo, se demuestra que la solución de la ecuación de Stokes hidrostática puede ser expresada en términos de la proyección en $H^{2+m,r}(\Omega; H)$, lo que indica la capacidad de transferir la regularidad de las funciones en diferentes espacios, permitiendo abordar problemas más generales y complejos.

El uso de la interpolación y las transformaciones entre espacios funcionales, junto con el análisis detallado de las propiedades de los operadores y sus dominios, es esencial para tratar los problemas en ecuaciones diferenciales estocásticas en contextos funcionales avanzados. Esto permite comprender mejor los fenómenos que ocurren en sistemas complejos y la relación entre las condiciones iniciales, las condiciones de frontera y las soluciones de las ecuaciones de Stokes y otros modelos hidrodinámicos.