¿Cómo afecta el ruido de transporte a las ecuaciones primitivas estocásticas?

El estudio de las ecuaciones primitivas estocásticas ha sido objeto de una investigación profunda, particularmente en relación con los sistemas lineales y no lineales perturbados por ruidos multiplicativos en el tiempo. En trabajos previos, como los de GLATT-HOLTZ y TEMAM, se utilizó un enfoque de Galerkin para mostrar la existencia de soluciones martingala, y más tarde se dedujeron resultados de unicidad a nivel de trayectorias, lo que llevó a la demostración de la existencia de soluciones locales a nivel de trayectorias. La existencia global de soluciones se abordó mediante estimaciones de energía, considerando el ruido como una perturbación del sistema lineal.

Un aspecto complejo de este tipo de problemas es la gestión de la presión, sobre todo al intentar obtener estimaciones en espacios $L^p$ para valores de $p > 2$. Para superar estas dificultades, los autores propusieron considerar el problema de Stokes con el término de ruido, demostrando estimaciones para la diferencia entre la solución del problema no lineal completo y la solución del problema de Stokes. Esta diferencia resultó en una ecuación diferencial estocástica parcial, lo que permitió utilizar herramientas analíticas para estimar el término de presión. Sin embargo, este enfoque tiene limitaciones, ya que exige que la solución del problema de Stokes sea suficientemente suave, lo que impide la inclusión de ruido de transporte en este tipo de formulaciones.

En trabajos más recientes, como el de BRZEŹNIAK y SLAVÍK, se adoptó un enfoque similar para la existencia local, pero en lugar de considerar el problema de Stokes, impusieron condiciones sobre el ruido para que este no afectara directamente a la presión. Usando una versión hidrostática de la proyección de Helmholtz, pudieron aplicar estimaciones determinísticas a la presión. Este enfoque excluye el ruido de transporte actuando sobre el campo de velocidad completo, permitiendo que solo el promedio vertical de $v$ sea transportado por el ruido.

Sin embargo, el enfoque que presentamos supera ambos inconvenientes. Nuestro método permite manejar el ruido de transporte que actúa directamente sobre la presión, lo que representa una diferencia clave en relación con los enfoques previos. Para el caso del ruido aditivo, existe una transformación que convierte la dependencia probabilística en un parámetro para un sistema determinista, lo que permite también demostrar la existencia de un atractor aleatorio invertido, como se demostró en estudios previos. Además, se ha obtenido una cota para los momentos logarítmicos en el espacio $H^2$, que se utiliza para probar la existencia de medidas invariantes ergódicas soportadas en $H^1$.

Otro aspecto relevante de la investigación es el tratamiento del ruido multiplicativo y la existencia de soluciones débiles-martingala, que tienen regularidad tanto en el espacio como en el tiempo correspondiente a una solución débil. Este tipo de soluciones se construye mediante un esquema de Euler implícito, y en el caso de ruidos multiplicativos pequeños, se han demostrado principios de grandes desviaciones, lo que resalta la relevancia de la regularidad en estos sistemas.

En cuanto a las ecuaciones primitivas estocásticas en dos dimensiones espaciales, se ha empleado un enfoque de Galerkin para construir soluciones débiles-fuertes para ruido blanco multiplicativo en el tiempo. La dinámica a largo plazo de las soluciones débiles se ha estudiado en varios trabajos, y también se ha demostrado la existencia de soluciones fuertes a nivel de trayectorias bajo ciertas condiciones iniciales.

Los trabajos sobre las ecuaciones primitivas estocásticas hasta la fecha se han centrado principalmente en condiciones de frontera no estocásticas. Sin embargo, la introducción de condiciones de frontera estocásticas plantea nuevos desafíos, ya que afecta directamente la estructura de las soluciones y la formulación matemática del problema. En este contexto, la teoría de regularidad máxima en espacios $L^p$ ha cobrado especial relevancia, dado que ofrece una forma más general de abordar los problemas estocásticos en comparación con los enfoques deterministas clásicos.

La teoría de regularidad máxima $L^p$ en espacios de Banach busca estimaciones para convoluciones del tipo $\hat{t} \, \| Ae^{ -(t-s)A} f(s) ds \|_{L^p(0, \infty; X)}$, donde $f \in L^p(0, \infty; X)$ es conocido y la convolución es la solución del problema abstracto de Cauchy $(\partial_t + A) u = f, u(0) = 0$. Los estudios realizados por WEIS han permitido caracterizar la existencia de tales estimaciones en términos de la $R$-sectorialidad del operador $A$ en $X$, lo que ha sido fundamental para el desarrollo de métodos en espacios $L^p$. Esta perspectiva de regularidad ha sido aplicada también al estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas, donde la integración estocástica en espacios $L^p$ ha sido ampliamente estudiada.

Existen diferencias clave entre las estimaciones de regularidad máxima en los casos determinista y estocástico. En el caso determinista, la convolución se mapea en $L^p(0, \infty; D(A))$, mientras que en el caso estocástico, se mapea en $L^p(\Omega \times (0, \infty); D(A^{1/2}))$, lo que introduce propiedades adicionales de regularidad respecto al tiempo. Además, en el caso estocástico, los valores de $p$ permitidos son solo aquellos en el intervalo $(2, \infty)$, siendo $p = 2$ solo si $X$ es un espacio de Hilbert. Estas restricciones pueden representar desafíos significativos cuando se aplican a problemas cuasi-lineales o semi-lineales.

El estudio de las ecuaciones semi-lineales y cuasi-lineales en el marco de la regularidad máxima $L^p$ ha sido abordado en trabajos recientes, como los de AGRESTI y VERAAR, quienes han desarrollado una teoría para el caso cuasi-lineal. Su enfoque toma una nueva perspectiva al considerar pares de operadores en lugar de solo un operador, lo que permite modelar ruido de transporte y otras influencias estocásticas en el sistema. Este enfoque ha abierto nuevas vías para el análisis de las ecuaciones estocásticas primitivas con ruido de transporte, lo que será explorado a continuación en este contexto.

¿Cómo se produce la existencia de soluciones débiles para la ecuación de Euler en 2D con ruido estocástico?

La introducción de ruido estocástico en los sistemas de ecuaciones de Navier-Stokes ha abierto una nueva perspectiva en el estudio de las ecuaciones de fluidos. Este enfoque no solo ayuda a modelar fenómenos reales, sino que también permite explorar la existencia y unicidad de soluciones en el contexto de ecuaciones estocásticas. En particular, la ecuación de Euler en dos dimensiones (2D) ha sido un caso de interés para los matemáticos interesados en la teoría de soluciones débiles en sistemas estocásticos. A continuación, se presenta un resultado de existencia de soluciones débiles para la ecuación de Euler 2D bajo la influencia de ruido estocástico.

Los cálculos previos revelan un hecho fundamental que está en el corazón de la prueba del Teorema 2.1: el ruido de Stratonovich ∇ω · ◦dW se desacopla en un ruido de Itô ∇ω · dW, que escala (en un sentido débil) como ‖θ‖∞, según se establece en la ecuación (2.12), y un corrector Itô-Stratonovich ∇ · (Q(0)∇ω), que escala como ‖θ‖2 2 según la ecuación (2.7). El truco consiste en elegir θ tal que ‖θ‖2 = 1 y ‖θ‖∞ ≫ 1, de modo que la ecuación (2.10) se acerque arbitrariamente a la que tiene el ruido de Itô apagado, lo que da exactamente las ecuaciones deterministas de Navier-Stokes en 2D (2.3).

Este resultado de existencia se construye a través de estimaciones a priori y técnicas de compacidad, que son clave para la construcción de soluciones débiles. En particular, la existencia de soluciones débiles ω a la ecuación (2.1) se puede garantizar bajo ciertas condiciones sobre el estado inicial ω0 y la función θ. Según la proposición 2.1, si ω0 pertenece al espacio L2 y θ satisface la hipótesis 2.2, entonces existe una solución débil ω en el sentido de la Definición 2.1 que está definida en el intervalo [0, +∞). Además, esta solución satisface ciertas cotas que aseguran que, por ejemplo, la norma L2 de ω en cualquier tiempo t es controlada por la norma L2 de ω0 de manera casi segura.

En el proceso de demostración, se establece que las soluciones ωn de aproximación suave, asociadas a perturbaciones regulares de ruido Wn que convergen a W, son esenciales para lograr la existencia de una solución débil. Estas soluciones ωn satisfacen ciertas estimaciones, como se describe en la ecuación (2.13), lo que garantiza la compacidad de las leyes de ωn en espacios de funciones continuas. La compacidad es crucial en este contexto porque, gracias al teorema de Prokhorov, se puede extraer una subsecuencia convergente que, después de un cambio de espacio de probabilidad, se convierte en la solución débil ω que buscábamos. La ley de la solución débil ω sigue las mismas propiedades que las soluciones ωn, y se cumple la conservación de la norma L2 de ω en todos los tiempos t, como se muestra en la identidad (2.16).

A pesar de que la existencia de soluciones débiles es un resultado importante, aún queda abierta la cuestión de la unicidad de estas soluciones. En el contexto de vorticidad L2, la unicidad de las soluciones sigue siendo un problema sin resolver. Este desafío se mantiene en pie, ya que la no unicidad podría tener implicaciones significativas para la física y las matemáticas aplicadas a los fluidos estocásticos.

La existencia de soluciones débiles también está asociada con el estudio de la continuidad en Holder de los procesos estocásticos que describen la evolución de la vorticidad ω. El uso de técnicas clásicas de compactación y continuidad permite obtener estimaciones precisas sobre la regularidad de las soluciones. En particular, los resultados relacionados con la continuidad en Holder γ de las soluciones ω proporcionan información adicional sobre la estructura de las soluciones estocásticas a las ecuaciones de Euler en 2D.

En resumen, el enfoque estocástico de la ecuación de Euler 2D permite obtener soluciones débiles bajo ciertas condiciones iniciales. El uso de ruido estocástico introduce una nueva capa de complejidad, pero también abre la puerta a métodos poderosos como las estimaciones a priori y las técnicas de compacidad. Aunque la unicidad de las soluciones sigue siendo un problema abierto, la existencia de soluciones débiles proporciona una base sólida para el desarrollo de teorías más avanzadas en dinámica de fluidos estocásticos. Es fundamental entender que la aparición de soluciones débiles no implica que todas las soluciones sean únicas ni que las dinámicas estocásticas se comporten de manera intuitiva en todos los casos. Las propiedades de estas soluciones deben estudiarse más a fondo, especialmente en cuanto a su regularidad y comportamiento asintótico.